2021届甘肃省会宁县第一中学高三上学期第四次月考数学（文）试题

2021届甘肃省会宁县第一中学高三上学期第四次月考数学（文）试题

一、选择题：(每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)

1．复数z1在复平面内对应的点为（1，3），z2＝﹣2+i（i为虚数单位），则复数的虚部为（　　）

A． B． C． D．

2．已知全集U＝R，集合A＝{x|2x＜1}，B＝{x|log2x＜1}，则（∁UA）∩B＝（　　）

A．{x|0≤x＜1} B．{x|1≤x＜2} C．{x|0＜x＜2} D．{x|0≤x＜2}

3．下列判断正确的是（　　）

A．若命题p为真命题，命题q为假命题，则命题“p∧q”为真命题 

B．命题“∀x∈R，2x＞0”的否定是“∃x0∈R，2≤0” 

C．“”是“α＝”的充分不必要条件 

D．命题“若xy＝0，则x＝0”的否命题为“若xy＝0，则x≠0”

4．设a＝，b＝，c＝2，则（　　）

A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．b＜a＜c

5．设函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），且函数f（x）在x＝﹣3处取得极大值，则函数y＝xf′（x）的图象可能是（　　）

A． B． 

C． D．

6．数列{an}中，a1＝2，an+1＝2an﹣1，则a10＝（　　）

A．511 B．513 C．1025 D．1024

7．已知二次不等式﹣2x2+bx+c＜0的解集为{x|x＜或x＞}，则关于x的不等式cx2﹣bx﹣2＞0的解集为（　　）

A．{x|2＜x＜3} B．{x|﹣2＜x＜3} C．{x|﹣3＜x＜2} D．{x|﹣3＜x＜﹣2}

8．已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinA，sinB，sinC成等比数列，则角B的取值范围（）

A． B． C． D．

9．函数f（x）＝sin（ωx+φ）（其中ω＞0，0＜φ＜）的图象如图所示，为了得到y＝sinx图象，则需将y＝f（x）的图象（　　）

A．横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位 

B．B．横坐标缩短到原来的，再向左平移个单位 

C．横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位 

D．横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位

10．已知向量＝（4sinα，1﹣cosα），＝（1，﹣2），若＝﹣2，则＝（　　）

A．1 B．﹣1 C． D．

11．已知是两个不共线的向量，若，+，，则（　　）

A．A，B，C 三点共线 B．A，C，D 三点共线 

C．A，B，D 三点共线 D．B，C，D 三点共线

12．已知在x＝1处取得极值，则的最小值是（　　）

A． B．2 C． D．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卷相应位置上.）

13．已知函数f（x）＝，若f（x﹣4）＜f（2x﹣3），则实数x的取值范围是　   　．

14．已知α∈（0，），β∈（0，），sin（α﹣β）＝，α+β＝，则cos2α的值为　   　．

15．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n2+3n﹣1，则an的通项为　   　．

16．不等式mx2﹣mx﹣2＜0对任意x∈R恒成立的充要条件是m∈　   　．

三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

17（本小题满分12分）已知函数．

（1）求f（x）的最小正周期及单调增区间；

（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，sinA＝2sinB，

求△ABC的周长．

18（本小题满分12分）已知向量，满足：||＝4，||＝3，（﹣）•（+2）＝0．

（1）求|2+|的值；

（2）若向量⊥（+λ），求实数λ的值．

19（本小题满分12分）设Sn为首项不为零等差数列{an}的前n项和，已知a4a5＝3a9，S5＝20．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设Tn为数列的前n项和，求的最大值．

20（本小题满分12分）已知f（x）为R上的偶函数，当x≥0时，f（x）＝ln（3x+2）．

（1）证明y＝f（x）在[0，+∞）单调递增；

（2）求f（x）的解析式；

（3）求不等式f（x+2）≤f（2x）的解集．

21（本小题满分12分）已知曲线f（x）＝ax+bx2lnx在点（1，f（1））处的切线是y＝2x﹣1．

（1）求实数a，b的值；

（2）若f（x）≥kx恒成立，求实数k的最大值．

选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22（本小题满分10分）已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ+4sinθ．

（Ⅰ）求直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；

（Ⅱ）若直线l与圆C相交于A，B两点，求|AB|．

23（本小题满分10分）已知函数f（x）＝|x+2|+|x﹣a|．

（1）当a＝1时，求不等式f（x）≤5的解集；

（2）对任意x∈R，f（x）≥1﹣a成立，求实数a的取值范围．

高三第四次月考文科数学答案

一、选择题

1-4   BCBD      5-8   DBDA       9-12   CCCD

二、填空题

13、（，+∞）．  14、．     15、an＝．16、（﹣8，0]

三、解答题

17、解：（1）因为f（x）＝cosx（sinx+cosx）﹣

＝sinxcosx+cos2x﹣

＝sin2x+cos2x

＝sin（2x+）；

所以f（x）的最小正周期为T＝＝π，

令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z；

解得﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z；

所以f（x）的单调增区间为，k∈Z．

（2）由，得sin（2C+）＝；

又C∈（0，π），所以2C+∈（，），

所以2C+＝，

解得；

由sinA＝2sinB，得a＝2b；…①

利用余弦定理得c2＝a2+b2﹣2abcosC，

即a2+b2﹣ab＝12；…②

由①②联立，解得b＝2，a＝4；

所以△ABC的周长为．

18、解：（1）∵，

∴＝，

∴，

∴＝＝；

（2）∵，

∴＝16+2λ＝0，解得λ＝﹣8．

19、解：（1）设{an}的公差为d，则由题知

解得或，

∴an＝2+（n﹣1）×1＝n+1．………………………………（5分）

（2）∵，

∴．………………………………………………（8分）

∴＝＝×≤＝．

当且仅当，即n＝2时，“＝”成立，

即当n＝2时，取得最大值．…………………………………………（12分）

20、（1）证明：任取0≤x1≤x2，

f（x1）﹣f（x2）＝ln（3x1+2）﹣ln（3x2+2）＝ln，

∵0≤x1≤x2，∴＜1，即ln＜0，

∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），

∴y＝f（x）在[0，+∞）单调递增．

（2）解：设x＜0，则﹣x＞0，

∵f（x）为偶函数，

∴f（﹣x）＝ln（﹣3x+2）＝f（x），

故f（x）的解析式为f（x）＝．

（3）解：∵f（x）为R上的偶函数，

∴原不等式等价于f（|x+2|）≤f（|2x|），

又y＝f（x）在[0，+∞）单调递增，

∴|x+2|≤|2x|，解得x≤或x≥2，

故不等式的解集为{x|x≤或x≥2}．

21、解：（1）f'（x）＝a+2bxlnx+bx，

则f（1）＝a＝1，f'（1）＝a+b＝2，

解得：b＝1；

（2）若f（x）≥kx恒成立，

即k≤1+xlnx在（0，+∞）恒成立，

令g（x）＝1+xlnx，则g′（x）＝lnx+1，

令g′（x）＞0，解得：x＞，令g′（x）＜0，解得：0＜x＜，

故g（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增，

故g（x）min＝g（）＝1﹣，

故k的最大值是1﹣．

22、解：（1）直线l的参数方程为（t为参数），转换为普通方程是x﹣2y﹣1＝0，

圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ+4sinθ根据，转换为圆的直角坐标方程是x2+y2﹣2x﹣4y＝0，

转换为标准的圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2＝5．

（2）由（1）的圆心（1，2）到直线l的距离．

由于圆半径，

所以|．

23、解：（1）a＝1时，f（x）＝|x+2|+|x﹣1|，

∴f（1）≤5即为|x+2|+|x﹣1|≤5，

当x≥1时，x+2+x﹣1＜5，解得1≤x＜2，

当﹣2＜x＜1时，x+2+1﹣x＜5，成立，

x≤﹣2时，﹣x﹣2+1﹣x＜5，解得﹣3＜x≤﹣2，

综上，不等式的解集是

（2）f（x）≥1﹣a对任意实数x都成立，即|x+2|+|x﹣a|≥1﹣a恒成立，

∵|x+2|+|x﹣a|≥|x+2+a﹣x|＝|2+a|，

∴|2+a|≥1﹣a，

解得a≥﹣，

故实数a的取值范围[﹣，+∞）．