新教材适用2024版高考数学一轮总复习第1章集合常用逻辑用语不等式第5讲一元二次不等式及其解法课件

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这是一份新教材适用2024版高考数学一轮总复习第1章集合常用逻辑用语不等式第5讲一元二次不等式及其解法课件，共60页。PPT课件主要包含了知识梳理·双基自测，名师讲坛·素养提升，考点突破·互动探究，判别式，Δ≥0，两相异，两相等，－14，－72，－∞1等内容，欢迎下载使用。

第五讲　一元二次不等式及其解法
知识梳理 · 双基自测
知识点一　一元二次不等式的解法(1)将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数________零的不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)．(2)计算相应的__________.(3)当__________时，求出相应的一元二次方程的根．(4)利用二次函数的图象与x轴的________确定一元二次不等式的解集．
知识点二　三个二次之间的关系
{x|x>x2或 x{x|x∈R且x≠x1}
{x|x11．ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的充要条件是：a>0且b2－4ac<0(x∈R)．2．ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要条件是：a<0且b2－4ac<0(x∈R)．注意：在题目中没有指明不等式为二次不等式时，若二次项系数中含有参数，应先对二次项系数为0的情况进行分析，检验此时是否符合条件．3．二次不等式解集的“边界值”是相应二次方程的根．
4．简单分式不等式的解法
5．简单的指数与对数不等式的解法(1)若a>1，af(x)>ag(x)⇔f(x)>g(x)；若0ag(x)⇔f(x)1，lgaf(x)>lgag(x)⇔f(x)>g(x)>0；若0lgag(x)⇔0题组一　走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)不等式(x＋1)(2－x)<0的解集为(－1,2)．( 　　)(2)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(x1，x2)，则a<0.( 　　)(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.( 　　)(4)关于x的不等式ax2＋bx＋c≤0(a≠0)在R上恒成立的条件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0.( 　　)
题组二　走进教材2．(必修1P53T1改编)不等式(x－1)23．(必修1P55T3改编)已知集合A＝{x|x2－x－6>0}，则∁RA等于( 　　)A．{x|－23}D．{x|x≤－2}∪{x|x≥3}
[解析]　∵x2－x－6>0，∴(x＋2)(x－3)>0，∴x>3或x<－2，即A＝{x|x>3或x<－2}．在数轴上表示出集合A，如图所示．由图可得∁RA＝{x|－2≤x≤3}．故选B.
题组三　走向高考5．(2019·天津高考)设x∈R，使不等式3x2＋x－2<0成立的x的取值范围是____________.[解析]　3x2＋x－2<0⇒(x＋1)(3x－2)<0，
考点突破 · 互动探究
角度1　不含参数的不等式 (1)集合A＝{x|x>2}，B＝{x|x2－2x－3>0}，则A∩B＝( 　　)A．(3，＋∞)B．(－∞，－1)∪(3，＋∞)C．(2，＋∞)D．(2,3)
{x|－2≤x<－1，或2[解析]　(1)B＝{x|x2－2x－3>0}＝(－∞，－1)∪(3，＋∞)，A＝{x|x>2}，故A∩B＝(3，＋∞)．
解一元二次不等式的一般步骤(1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式．(2)判：计算对应方程的判别式．(3)求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根．(4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集．
角度2　含参数的不等式解下列关于x的不等式：(1)ax2－(a＋1)x＋1<0(a<0)；(2)x2－2ax＋2≤0(a∈R)．
[引申1]把本例(1)中a<0改为a>0呢？
[引申2]若再改为a∈R呢？再增加a＝0情况．[解析]　若a＝0，原不等式等价于－x＋1＜0，解得x＞1.
含参数的不等式的求解往往需要分类讨论(1)若二次项系数为常数，若判别式Δ≥0，可先考虑分解因式，再对根的大小分类讨论(分点由x1＝x2确定)；若不易分解因式，可考虑求根公式，以便写出解集，若Δ<0，则结合二次函数图象写出解集，若判别式符号不能确定，则需对判别式分类讨论(分点由Δ＝0确定)．(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，然后讨论二次项系数大于零、小于零，以便确定解集形式．
(3)解简单分式不等式是通过移项、通分化为整式不等式求解，要注意分母不能为零．(4)解简单的指数、对数不等式时，若底含有参数，则需对其是否大于1分类求解，注意对数的真数必须为正．
(2)(角度2)解不等式x2－(a＋1)x＋a<0(a∈R)．[解析]　(1)因为不等式[x]2＋[x]－12≤0，所以([x]－3)([x]＋4)≤0，即－4≤[x]≤3，又因为[x]表示不小于实数x的最小整数，所以不等式[x]2＋[x]－12≤0的解可以为3，－4.5，故选BC.
(2)由x2－(a＋1)x＋a＝0，得(x－a)(x－1)＝0，∴x1＝a，x2＝1，①当a>1时，x2－(a＋1)x＋a<0的解集为{x|1(2)若不等式x2＋ax－2>0在区间[1,5]上有解，则a的取值范围是( 　　)
[分析]　(1)利用根与系数的关系求解．(2)令f(x)＝x2＋ax－2，Δ＝a2＋8>0恒成立，又两根之积为负值，所以只要f(1)≥0或f(1)<0且f(5)>0，于是得解；思路二：“正难则反”，求x2＋ax－2≤0在区间[1,5]上恒成立的a的取值集合，只需f(5)≤0，再求其补集即可；思路三：分离参数．
[解析]　(1)∵不等式ax2－bx－1>0的解集是
(2)令f(x)＝x2＋ax－2，则Δ＝a2＋8>0，∴方程f(x)＝0，有两个不等实根，又两根之积为负，∴方程有一正根和一负根．
[引申]若不等式x2＋ax－2<0在区间[1,5]上有解，则a的取值范围是______________.
已知不等式的解集，等于知道了与之对应方程的根，此时利用韦达定理或判别式即可求出参数的值或范围，为简化讨论注意数形结合，如本例(2)中对应的二次函数图象过点(0，－2)．
〔变式训练2〕(1)若关于x的不等式ax2－6x＋a2<0的解集为{x|10在区间(1,4)内有解，则实数a的取值范围是( 　　)A．(－∞，－2) B．(－2，＋∞)C．(－6，＋∞) D．(－∞，－6)
(2)解法一：由函数f(x)＝x2－4x－2－a图象的对称轴为x＝2.∴不等式x2－4x－2－a>0在区间(1,4)内有解⇔f(4)>0，即a<－2，故选A.解法二：(分离参数法)不等式x2－4x－2－a>0在区间(1,4)内有解等价于a<(x2－4x－2)max，令g(x)＝x2－4x－2，x∈(1,4)，∴g(x) 已知f(x)＝mx2－mx－1.(1)若对于x∈R，f(x)<0恒成立，求实数m的取值范围；(2)若对于x∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，求实数m的取值范围；(3)若对于|m|≤1，f(x)<0恒成立，求实数x的取值范围．[分析]　(1)二次项系数含有字母m，应分m＝0和m≠0讨论求解；(2)数形结合，分类讨论；(3)把二次不等式转化为含m的一次不等式，根据一次函数的性质求解．
[解析]　(1)要使mx2－mx－1<0恒成立，若m＝0，显然－1<0；
(3)将不等式f(x)<0整理成关于m的不等式为(x2－x)m－1<0.令g(m)＝(x2－x)m－1，m∈[－1,1]．
一元二次不等式恒成立问题1．在R上恒成立
2．在给定某区间上恒成立(1)当x∈[m，n]，f(x)＝ax2＋bx＋c≥0恒成立，结合图象，只需f(x)min≥0即可．(2)当x∈[m，n]，f(x)＝ax2＋bx＋c≤0恒成立，只需f(x)max≤0即可．3．解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是自变量，求谁的范围，谁就是参数．
4．“不等式f(x)≥0有解(或解集不空)的参数m的取值集合”是“f(x)<0恒成立的参数m取值集合”的补集；“f(x)>0的解集为∅”即“f(x)≤0恒成立．”
〔变式训练3〕(1)若不等式(a－3)x2＋2(a－3)x－4<0对一切x∈R恒成立，则实数a取值的集合为( 　　)A．(－∞，3) B．(－1,3)C．[－1,3] D．(－1,3](2)(2023·山西忻州第一中学模拟)已知关于x的不等式x2－4x≥m对任意的x∈(0,1]恒成立，则有( 　　)A．m≤－3 B．m≥－3C．－3≤m<0 D．m≥－4
(3)已知对于任意的a∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值总大于0，则x的取值范围是( 　　)A．{x|13}C．{x|12}[解析]　(1)当a＝3时，－4<0恒成立；
(2)令f(x)＝x2－4x，x∈(0,1]，∵f(x)图象的对称轴为直线x＝2，∴f(x)在(0,1]上单调递减，∴当x＝1时，f(x)取得最小值－3，∴m≤－3，故选A.(3)记g(a)＝(x－2)a＋x2－4x＋4，a∈[－1,1]，
名师讲坛 · 素养提升
设方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，Δ>0)有不相等的两根为x1，x2，且x1一元二次方程根的分布情况
表一：(两根与0的大小比较即根的正负情况)
表二：(两根与k的大小比较)
表三：(根在区间上的分布)
根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间(m，n)外，即在区间两侧x1n，(图形分别如下)需满足的条件是
对以上的根的分布表中，两根有且仅有一根在(m，n)内有以下特殊情况：
若关于x的一元二次方程(m－1)x2＋2(m＋1)x－m＝0，分别满足下列条件时，求m的取值范围．(1)一根在(1,2)内，另一根在(－1,0)内；(2)一根在(－1,1)，另一根不在(－1,1)内；(3)一根小于1，另一根大于2；(4)一根大于－1，另一根小于－1；(5)两根都在区间(－1,3)；(6)两根都大于0；(7)两根都小于1；(8)在(1,2)内有解．
[解析]　设f(x)＝(m－1)x2＋2(m＋1)x－m，Δ＝4(m＋1)2＋4m(m－1)＝8m2＋4m＋4＝4(2m2＋m＋1)>0.
〔变式训练4〕已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m的范围；(2)若方程两根均在区间(0,1)内，求m的范围．[解析]　(1)设函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1，与x轴的交点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，

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