2023年河南省商丘市柘城县中考数学会考试卷-普通用卷

2023年河南省商丘市柘城县中考数学会考试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列标志中，可以看作是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列几何体中，其主视图、俯视图和左视图分别是图中三个图形的是(    )
 

A.  B.  C.  D.

3.  如图，四边形内接于，且点是优弧的中点，连接，若，，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

4.  一个不透明的袋子中装有个红球、个蓝球，小球除颜色外其他均相同，若同时从袋子中任取两个小球，则摸到的两个小球中，至少有一个小球为蓝色的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，四边形为的内接四边形，已知，，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

6.  如果三点，和在抛物线的图象上，那么，与之间的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知的圆心到直线的距离是一元二次方程的一个根，若与直线相离，的半径可取的值为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是(    )

A.  B. 或
C.  D. 或

9.  如图，平面直角坐标系中，为第一象限一点，，，，将绕点逆时针旋转，此时点的对应点的坐标为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图，平面直角坐标系中，反比例函数的图象交平行四边形于点，交平行四边形的对角线于点，点在轴的正半轴上，已知平行四边形的面积是，则点的坐标为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则 ______ ．

12.  在中，，，，则的面积为______ ．

13.  如图，在中，，分别是，上的点，，，，的角平分线交于点，交于点，则的值为______ ．

14.  如图，在中，，，将绕着点顺时针旋转至的位置，使过点，点恰好落在边上，若，则图中阴影部分的周长为______ ．

15.  已知在中，，，如图，把绕着点按顺时针方向旋转，将点、的对应点分别记为点，，如果为直角三角形，那么点与点的距离为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共73.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：；
解方程：．

17.  本小题分
已知关于的方程：．
求证：无论为何值，方程总有两个不相等的实数根；
若该方程的两个实数根恰好为斜边为的直角三角形的两直角边长，求的值．

18.  本小题分
如图，在矩形中，点是边上一点，且，点是的中点，连接并延长交于点．
求证：∽；
若，，求的值．

19.  本小题分
如图，四边形为正方形．点的坐标为，点的坐标为反比例函数图象经过点，一次函数的图象经过点、
求反比例函数与一次函数的解析式；
观察图象，在第四项限内写出使得成立的自变量的取值范围；
若点是反比例函数图象上的一点，且的面积恰好等于正方形的面积，求点的坐标．

20.  本小题分
在一次课外实践活动中，九年级数学兴趣小组准备测量学校旁边的一座古塔的高度，同学们设计了两个测量方案如下：

根据以上数据请你判断，第______ 小组无法测量出古塔的高度？原因是______ ；
请根据表格中的数据，依据正确的测量方案求出古塔的高度精确到，参考数据：，，
 

21.  本小题分
请阅读下列材料，完成相应的任务：
罗狄斯托勒密，约年年，“地心说”的集大成者，生于埃及，著名的天文学家，地理学家、占星学家和光学家．
托勒密定理实出自依巴谷之手，托勒密从他的书中摘出并加以完善．
托勒密定理：圆的内接四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．
如图，四边形内接于，求证：
下面是该结论的证明过程：
证明：如图，作，交于点，依据，∽依据，，，，，，，即，
任务：
托勒密定理的逆命题是        ；上述证明过程中的“依据”为        ；依据”为        ；
请完成后续证明；
如图，以为直径的中，点为上一点，且，的角平分线交于点，连接，，若，求的长．

 

22.  本小题分
如图，在正方形中，边长为，，将绕点旋转，其中边分别与射线、直线交于、两点，边与射线交于点；连接，且与直线交于点．
如图，点在线段上时，求证：；求证：垂直平分；
当时，求的长．

 

23.  本小题分
如图，已知抛物线的顶点坐标为，且与轴交于点和点，与轴交于点．
求抛物线的解析式和点的坐标；
若点是抛物线对称轴上的一个动点，当周长最小时，求点的坐标；
如图，若点是抛物线第二象限内一点，连接，过点作交轴于点，连接，是否存在点，使得的面积存在最大值若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：图形不是中心对称图形，不符合题意；
图形不是中心对称性，不符合题意；
图形是中心对称图形，符合题意；
图形是中心对称图形，不符合题意；
故选：．
把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，由此即可判断．
本题考查中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的定义．
 

2.【答案】 

【解析】解：从主视图可以看出左边的一列有两个，右边的两列只有一行第二行；
从左视图可以看出右边的一列有两个，左边的一列只有一行第二行；
从俯视图可以看出左边的一列有两个，右边的两列只有一行第一行．
故选：．
根据三视图想象立体图形，从主视图可以看出左边的一列有两个，左视图可以看出右边一列有两个，俯视图中左边的一列有两个，综合起来可得解．
本题考查由三视图想象立体图形．做这类题时要借助三种视图表示物体的特点，从主视图上弄清物体的上下和左右形状；从俯视图上弄清物体的左右和前后形状；从左视图上弄清楚物体的上下和前后形状，综合分析，合理猜想，结合生活经验描绘出草图后，再检验是否符合题意．
 

3.【答案】 

【解析】解：连接，如图，
点是优弧的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故选：．
连接，如图，根据圆周角定理得到，再根据圆内接四边形的性质得到，则可计算出，然后利用得到的度数．
本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．也考查了圆周角定理．
 

4.【答案】 

【解析】解：列表如下：

共有种等可能，至少有一个小球为蓝色的有种结果，
摸到的两个小球中，至少有一个小球为蓝色的概率为，
故选：．
列举出所有可能出现的情况，让摸到至少有一个小球为蓝色的情况数除以情况总数即可解答．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

5.【答案】 

【解析】解：四边形是的内接四边形，
，
，
由圆周角定理得，，
弧的长为，
故选：．
根据圆内接四边形的性质求出的度数，根据圆周角定理求出的度数，利用弧长公式计算即可．
本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理以及弧长的计算，掌握圆内接四边形的对角互补、弧长公式是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：抛物线的开口向下，对称轴是直线，
当时，随的增大减小，关于称轴是直线的对称点是，
，
，
故选：．
先求出抛物线的对称轴和开口方向，根据二次函数的性质比较即可．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质，能熟记二次函数的性质是解此题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
，，
的圆心到直线的距离是一元二次方程的一个根，
，
与直线相离，
的半径，
即，
故选：．
先求方程的根，可得的值，由直线与圆的位置关系的判断方法可求解．
本题考查的是直线与圆的位置关系，解一元二次方程，熟练掌握直线与圆的位置关系是解决问题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：点的坐标为，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，
点的对应点的坐标为或，
即或，
故选：．
根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或解答．
本题考查的是位似变换的性质，掌握在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图，过点作轴于，过点作于．

，，，
，，，
，
，
，
绕点逆时针旋转得到，则，
，，
点的坐标是，
故选：．
利用勾股定理求出的长即可解决问题．
本题考查坐标与图形的性质，勾股定理，旋转变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

10.【答案】 

【解析】解：把点代入到反比例函数解析式中得，
，
反比例函数解析式为；
设直线的解析式为，
，
，
直线的解析式为，
设，则，
，
平行四边形的面积是，
，
，
解得负值舍去，
，
故选：．
先求出反比例函数解析式为，再求出直线的解析式为，设，则，则，由平行四边形的面积是，得到，解得，则．
本题主要考查了反比例函数的几何意义，掌握一次函数与反比例函数综合，平行四边形的性质，正确推出是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，
，，
解得，，
．
故答案为：．
根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点的对称点是，进而得出答案．
此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆关于原点对称点的性质是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：在中，，，，
，
，
的面积

，
故答案为：．
在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，然后利用勾股定理求出，从而利用三角形的面积进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形，三角形的面积，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：，，，
，
，
∽，
的角平分线交于点，交于点，
，
．
故答案为：．
先证明，再根据相似三角形的判定得∽，根据相似三角形的性质得结果．
本题主要考查了相似三角形的性质与判定，关键是正确应用判定条件证明三角形相似．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图：设、交于点，

将绕着点顺时针旋转至的位置，
，，
，
，
，
，
图中阴影部分的周长为．
故答案为：．
根据旋转的性质得，，根据平行线的性质得，则，等角对等边得，即可得图中阴影部分的周长为，即可求解．
本题考查的是图形旋转的性质及平行线的性质、等腰三角形的性质，熟知图形旋转的性质是解答此题的关键
 

15.【答案】或 

【解析】解：分两种情况：
当点在线段上时，为直角三角形，

，，，
，
，，
；
当点在线段的延长线上时，为直角三角形，

同理可得，，，
；
综上所述，点与点的距离为或．
故答案为：或．
根据为直角三角形，分两种情况：当点在线段上时，为直角三角形；当点在线段的延长线上时，为直角三角形，依据线段的和差关系进行计算即可得到点与点的距离．
本题考查了旋转的性质，勾股定理，锐角三角函数的应用，运用分类思想是本题的关键．
 

16.【答案】解：原式

；
，
，
，
，，，
，
，
，． 

【解析】利用特殊角的三角函数值计算即可；
利用公式法求解即可．
本题考查了特殊角的三角函数值以及解一元二次方程公式法，掌握特殊角的三角函数值和求根公式是解答本题的关键．
 

17.【答案】证明：，，，


，
，
，
即，
无论为何值，方程总有两个不相等的实数根；
解：根据题意可得，
，，
，
，
，
，
，，，
，
，
，． 

【解析】根据题意可得，，，，即可算出，化简得，根据非负数的性质即可得出答案；
根据根与系数的关系，，，可得，再根据勾股定理可得，，代入应用公式法解一元二次方程即可得出答案．
本题主要考查了根与系数的关系，根的判别式及解一元二次方程，熟练掌握根与系数的关系，根的判别式及解一元二次方程的方法进行求解是解决本题的关键．
 

18.【答案】证明：四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
即，
，
是直角三角形，
在中，
点是斜边的中点，
，
，，
，
，
，
∽；
如图，

连接，
四边形是矩形，
，，
和是直角三角形，
在中，
，
，
，，
，
由结论可知，
，
，
，
，
，
，
，
是直角三角形，，
在中，
，
点是斜边的中点，
，
在中，
，
，
，
，
的值为． 

【解析】先得出，再得出，最后根据相似三角形的判定得出结论；
连接，根据勾股定理得出和的值，最后根据三角形的面积公式得出结果．
本题考查了矩形的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质及勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．
 

19.【答案】解：点的坐标为，点的坐标为，
，
四边形为正方形，
点的坐标为
反比例函数的图象经过点，
，解得，
反比例函数的解析式为；
一次函数的图象经过点，，
，
解得，
一次函数的解析式为；

由图象知：点的坐标为，
当时，；

设点的坐标为，
的面积恰好等于正方形的面积，
，
，解得．
当时，，
当时．，
点的坐标为或 

【解析】先根据正方形的性质求出点的坐标为，再将点坐标代入反比例函数中，运用待定系数法求出反比例函数的解析式；同理，将点，的坐标代入一次函数中，运用待定系数法求出一次函数函数的解析式；
当时，；
设点的坐标为，先由的面积恰好等于正方形的面积，列出关于的方程，解方程求出的值，再将的值代入，即可求出点的坐标．
本题考查了正方形的性质，反比例函数与一次函数的交点问题，运用待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式，三角形的面积，难度适中．运用方程思想是解题的关键．
 

20.【答案】二  没有测量的长度 

【解析】解：第二组的数据无法算出大楼高度，理由如下：
第二小组测量了从点处测得点的仰角为，，没有测量的长度，无法算出大楼高度．
故答案为：二；没有测量的长度；

根据第一组测量的数据，

过点作交于点，
，
点在上，则，
在中，，
是等腰直角三角形，
，
设，
则在中，，，
，
，
解得：，
．
答：古塔的高度为．
第二组没有测量有关线段长度；
根据第一组的测量数据，延长交于点，可得是等腰直角三角形，得，在中，由锐角三角函数定义求解即可．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题中仰角问题，等腰直角三角形的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握仰角俯角定义，根据锐角三角函数解决实际问题．
 

21.【答案】如果一个四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，那么这个四边形是圆的内接四边形  同弧所对的圆周角相等  两个角分别对应相等的两个三角形相似 

【解析】解：托勒密定理的逆命题是如果一个四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，那么这个四边形是圆的内接四边形．
证明过程中的“依据”为：同弧所对的圆周角相等；
依据”为：两个角分别对应相等的两个三角形相似．
故答案为：如果一个四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，那么这个四边形是圆的内接四边形；同弧所对的圆周角相等；两个角分别对应相等的两个三角形相似；
证明：如图，作，交于点，

，
，
∽，
，
，
，
，
，
，
即．
∽，
，
．
．
；
解：为直径，
，
，，
，．
的角平分线交于点，
，
，
为等腰直角三角形，
．
四边形为圆的内接四边形，
．
，
．
利用逆命题的意义，圆的有关性质和相似三角形的判定定理解答即可；
利用相似三角形的判定定理和性质定理，等式的性质解答即可；
利用圆的有关性质，等腰直角三角形的性质，含角的直角三角形的性质分别求得四边形的边长，再利用的结论解答即可得出结论．
本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，含交的直角三角形的性质，逆命题的意义，本题是阅读型题目，理解并熟练应用新结论是解题的关键．
 

22.【答案】证明：四边形是正方形，
，，
，
，
，
．
，
，，
，
，
，，
∽，
，
，，
∽，
，
，
，，
，
垂直平分线段．
解：


当点在线段上时，作于，于．
在中，，
，
，设，
，
，
，，，
∽，
，
．
 

当点在的延长线上时，作于，于．
在中，，
，
，设，
，
，
，，，
∽，
，
．
综上所述，的长为或．

【解析】只要证明即可解决问题；
利用相似三角形的性质证明即可解决问题；
当点在线段上时，作于，于由∽，可知，想办法求出，，即可解决问题；当点在的延长线上时，作于，于，方法类似．
本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形和相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
 

23.【答案】解：抛物线的顶点坐标为，
设，
把代入，得，
解得：，
，
即，
当时，，
；

，
抛物线的对称轴为直线，
则点关于的对称点，
记直线与直线的交点为，点即为所求，
设直线的解析式为，
将点、代入，得：，
解得：，
直线的解析式为；
由可得，
点坐标为；

存在，
如图，连接，，过点作轴交轴于点，交直线于点，

由 得抛物线解析式为，
，
，
直线的解析式为，
设点坐标为，则点坐标为，
，
，
当时，取得最大值，即取得最大值．此时点的坐标为 

【解析】可设出抛物线的顶点式，再利用点坐标可求得抛物线解析式；当时，求出的值，即可得到点的坐标；
点关于对称轴的对称点是点，连接与对称轴的交点即为所求点，先求得直线解析式，继而可得直线与直线的交点坐标；
连接，，过点作轴交轴于点，交直线于点，根据两直线平行得，设点坐标为，则点坐标为，由，根据二次函数的最值即可求解．
本题是二次函数的综合问题，主要考查待定系数法求函数解析式、轴对称最短路线问题，两直线平行问题，二次函数的性质等知识点．熟练掌握二次函数的图象及性质，轴对称求最短距离的方法，平行线的性质是解题的关键．