2023年黑龙江省九年级数学中考模拟题分项选编：二次函数

2023年黑龙江省九年级数学中考模拟题分项选编：二次函数一、单选题1．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市萧红中学校考二模）抛物线的顶点坐标是（    ）A． B． C． D．2．（2023·黑龙江哈尔滨·统考一模）抛物线的顶点坐标是（　　）A． B． C． D．3．（2023·黑龙江哈尔滨·校考模拟预测）抛物线的顶点坐标是（　　）A． B． C． D．4．（2023·黑龙江哈尔滨·统考模拟预测）抛物线y＝﹣3（x﹣4）2+5的顶点坐标是（   ）A．（4，5） B．（﹣4，5） C．（4，﹣5） D．（﹣4，﹣5）5．（2023·黑龙江哈尔滨·统考模拟预测）将抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位后所得到的拋物线解析式为（    ）A． B． C． D．6．（2023·黑龙江牡丹江·统考一模）对称轴为直线的抛物线（，，为常数，且）如图所示，小明同学得出了以下结论：①；②；③；④；⑤（为任意实数），其中正确结论的个数是（   ）  A．3个 B．4个 C．5个 D．6个7．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第四十七中学校考二模）通过平移的图象，可得到的图象，平移方法正确的是（   ）A．向左移动1个单位，再向上移动3个单位 B．向右移动1个单位，再向上移动3个单位C．向左移动1个单位，再向下移动3个单位 D．向右移动1个单位，再向下移动3个单位8．（2023·黑龙江牡丹江·校考模拟预测）将抛物线的图象向右平移个单位，再向下平移个单位，得到的抛物线必定经过点( )A． B． C． D．9．（2023·黑龙江绥化·校考模拟预测）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移个单位，所得图象的解析式为（     ）A． B． C． D．10．（2023·黑龙江齐齐哈尔·校联考一模）已知二次函数的图象如图所示，并且关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数有（    ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个11．（2023·黑龙江齐齐哈尔·校联考一模）二次函数的图象如图所示．对称轴是直线，有以下结论；①；②；③；④若抛物线上三点坐标为，，，则；⑤，其中正确的结论是（    ）A．①②③ B．②③④ C．①③⑤ D．②③⑤12．（2023·黑龙江大庆·大庆一中校考一模）如图，已知抛物线的对称轴在y轴右侧，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴的正半轴交于点C，且，则下列结论：①；②；③；④当时，在x轴上方的抛物线上一定存在关于对称轴对称的两点M，N（点M在点N左边），使得．其中正确的有（    ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个13．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考二模）如图，二次函数（）的图象与轴交于两点，与轴的正半轴交于点，它的对称轴为直线，有下列结论：①；②；③；④当时，；⑤若，是方程的两根，则方程的两根（）满足且；其中正确的个数为（        ）  A．2个 B．3个 C．4个 D．5个14．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考一模）如图，抛物线，与轴正半轴交于两点， 与轴负半轴交于点．①；               ②；③若点的坐标为，且，则；④若抛物线的对称轴是直线，为任意实数；则．上述结论中，正确的个数是（　　）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个15．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考一模）如图，在中，，，点分别从点和点同时出发，以相同的速度沿射线向左匀速运动，过点作，垂足为，连接，设点运动的距离为，的面积为，则能反映与之间的函数关系的图象大致为（　　）A． B．C． D．二、填空题16．（2023·黑龙江哈尔滨·统考二模）二次函数的最大值是______．17．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六十九中学校校考二模）二次函数的最大值是______．18．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六十九中学校校考模拟预测）抛物线的顶点坐标是______．19．（2023·黑龙江佳木斯·校联考一模）二次函数的顶点坐标是______．20．（2023·黑龙江大庆·大庆一中校考模拟预测）二次函数（为常数且）的图象始终经过第二象限内的定点．设点的纵坐标为，若该函数图象与在内没有交点，则的取值范围是______．21．（2023·黑龙江牡丹江·统考一模）将二次函数的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，得到的新图象函数的表达式为______．22．（2023·黑龙江绥化·校考二模）我们规定：若，则．例如，则．已知，且，则的最大值是________．23．（2023·黑龙江大庆·统考一模）函数（k为常数）的图象与坐标轴有两个交点，则k的值为____________________．24．（2023·黑龙江大庆·统考一模）已知抛物线（a，b，c是常数，），且，．下列四个结论：①对于任意实数，恒成立；②若，则不等式的解集是；③一元二次方程有一个根；④点，在抛物线上，若，则当时，总有．其中正确的是__________．（填写序号）25．（2023·黑龙江哈尔滨·统考一模）一名男生参加抛实心球测试，已知球的高度与水平距离之间的关系是，则这名男生抛实心球的成绩是_____．三、解答题26．（2023·黑龙江牡丹江·统考一模）如图，已知抛物线经过，两点，与轴的另一个交点为．  (1)求该抛物线的解析式；(2)若该抛物线顶点为，求的面积．注：抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是．27．（2023·黑龙江大庆·大庆一中校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，与轴交于点，线段轴，交该抛物线于点．  (1)求该抛物线的解析式；(2)当二次函数的自变量满足时，此函数的最大值为，最小值为，且，求的值；(3)平移抛物线，使其顶点始终在直线上移动，当平移后的抛物线与射线只有一个公共点时，设此时抛物线的顶点的横坐标为，请直接写出的取值范围．28．（2023·黑龙江鸡西·校考二模）如图，抛物线与x轴交于点A，B，交y轴于点，且，请解答下列问题：(1)求抛物线的解析式；(2)过点B的直线把的面积分成两部分，且交抛物线的对称轴于P点，则点P的坐标为_________．29．（2023·黑龙江佳木斯·统考一模）如图，抛物线经过点和点，顶点为C，D是抛物线上一点．(1)求抛物线的解析式和顶点C的坐标；(2)若，请直接写出点D的坐标．30．（2023·黑龙江鸡西·校考一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与y轴交于点C，连接．(1)求抛物线的函数表达式，并直接写出抛物线顶点Р的坐标；(2)D是抛物线上位于第四象限内的一点，连接，E是的中点，连接，，直接写出面积的最小值．31．（2023·黑龙江齐齐哈尔·校联考一模）在平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴的交点为，两点，与轴交于点，顶点为，其对称轴与轴交于点．(1)求二次函数解析式；(2)连接，，，试判断的形状，并说明理由；(3)点为第三象限内抛物线上一点，的面积记为，求的最大值及此时点的坐标；(4)在线段上，是否存在点，使为等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．32．（2023·黑龙江牡丹江·校考模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线经过点．(1)求这条抛物线的解析式．(2)直接写出抛物线的顶点坐标．33．（2023·黑龙江佳木斯·校考二模）若二次函数的图象经过点，，其对称轴为直线，与x轴的另一交点为C．(1)求二次函数的表达式；(2)若点M在直线上，且在第四象限，过点M作轴于点N．①若点N在线段上，且，求点M的坐标；②以为对角线作正方形（点P在右侧），当点P在抛物线上时，求点M的坐标．34．（2023·黑龙江大庆·统考一模）已知抛物线：y＝ax2﹣2ax＋c（a＞0）过点（﹣1，0）与（0，﹣3）．直线y＝x﹣6交x轴、y轴分别于点A、B．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P是抛物线上的任意一点．连接PA，PB，使得△PAB的面积最小，求△PAB的面积最小时，P的横坐标；（3）作直线x＝t分别与抛物线y＝ax2﹣2ax＋c（a＞0）和直线y＝x﹣6交于点E，F，点C是抛物线对称轴上的任意点，若△CEF是以点E或点F为直角顶点的等腰直角三角形，求点C的纵坐标．35．（2023·黑龙江大庆·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．(1)求抛物线的函数解析式及顶点的坐标；(2)连接，若点在线段上运动（不与点重合），过点作轴于点，对称轴交轴于点．设，当为何值时，与的面积之和最小？(3)将抛物线在轴左侧的部分沿轴翻折，保留其他部分得到新的图象，在图象上是否存在点，使为直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．36．（2023·黑龙江牡丹江·校考模拟预测）某电商准备销售甲，乙两种特色商品，已知每件甲商品的进价比每件乙商品的进价多20元，用5000元购进甲型商品的数量与用4500元购进乙商品的数量相等．甲，乙两种商品的销售单价分别为在其进价基础上增加60%和50%．(1)求甲、乙两种商品每件进价分别为多少元？(2)该电商平均每天卖出甲商品200件，乙商品100件，经调查发现，甲，乙两种商品销售单价都降低1元，这两种商品每天都可多销售2件，为了使每天获取更大的利润，该电商决定把甲，乙两种商品的销售单价都下降m元，在不考虑其他因素的条件下，当m定为多少时，才能使商店每天销售甲，乙两种商品获取的总利润最大？参考答案：1．B【分析】直接根据二次函数的顶点坐标式进行解答即可．【详解】∵二次函数的解析式为，其顶点坐标为：．故选B．【点睛】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键．2．C【分析】根据抛物线的顶点坐标是，即可求解．【详解】解：抛物线的顶点坐标是．故选：C【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握抛物线的顶点坐标是是解题的关键．3．C【分析】根据顶点式的顶点坐标为求解即可．【详解】解：抛物线的顶点坐标是，故C正确．故选：C．【点睛】本题考查了二次函数顶点式的顶点坐标为，掌握顶点式求顶点坐标是解题的关键．4．A【分析】已知抛物线解析式为顶点式，可直接写出顶点坐标．【详解】解：∵抛物线的解析式为y＝﹣3（x﹣4）2+5，∴其顶点坐标为：（4，5）．故选：A．【点睛】本题考查了二次函数的性质，将解析式化为顶点式，顶点坐标是，对称轴是直线．5．A【分析】根据二次函数的平移规律“左加右减，上加下减”即可解答．【详解】解：∵抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，∴平移之后二次函数的解析式为，故选．【点睛】本题考查了二次函数的平移规律“左加右减，上加下减”，熟记平移规律“左加右减，上加下减”是解题的关键．6．A【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】①由图象可知：，∵对称轴为直线，∴，∴，故①错误；②∵抛物线与x轴有两个交点，∴，∴，故②正确；③当时，，故③错误；④当时，，∴，故④正确；⑤当时，为最小值，当时，，∴，整理得：，故⑤正确．综上，正确的有②④⑤共三个，故选：A．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点确定．7．B【分析】根据平移前后两个抛物线的顶点坐标的变化来判定平移方法．【详解】解：抛物线的顶点坐标是，抛物线的顶点坐标是，则由二次函数的图象向右移动1个单位，向上移动3个单位，可得到的图象．故选：B．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换．解决本题的关键是根据顶点式得到新抛物线的顶点坐标．8．B【分析】先求出平移后的解析式，然后将选项中各点的横坐标代入，即可得到答案．【详解】根据题意，将抛物线的图象向右平移个单位，再向下平移个单位后得到的解析式为把，代入得，故A错误，不符合题意；把，代入得，故B正确，符合题意；把，代入得，故C错误，不符合题意；把，代入得，故D错误，不符合题意；故答案选B．【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键．9．D【分析】根据“上加下减，左加右减”的方式对原解析式进行变形即可．【详解】解：将二次函数 的图象向左平移 5 个单位，所得图象的解析式为，故选：D．【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，解题关键是掌握平移后解析式的变化规律．10．B【分析】直接利用抛物线与x轴交点个数以及抛物线与方程之间的关系、函数图象与各系数之间关系分析得出答案．【详解】解：观察图象得：二次函数的图象与x轴有两个交点，∴，故①错误；观察图象得：，对称轴，∴，∴，故②正确；观察图象得：当时，，∴，故③错误；观察图象得：二次函数图象开口向上，∴二次函数有最小值，最小值为-2，∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，∴二次函数的图象与直线有两个交点，∴，故④正确；故选：B【点睛】此题主要考查了二次函数图象与各项系数的关系，正确把握二次函数与方程之间的关系是解题的关键．11．D【分析】由抛物线开口向下，且交y轴于正半轴，得a，c的正负，由对称轴，得b的正负，即可判断；由时，，得，进而得的取值范围，即可判断；由函数图象与y轴的交点位置可知，，进而得出，即可判断；由函数的性质得出，，的大小关系，即可判断；由当时，，得，把a换成b，则可得出b，c的关系式，即可判断．【详解】解：抛物线开口向下，且交y轴于正半轴，，，对称轴，即，，，故错误；由图象知，当时，，，，，故正确；由函数图象与y轴的交点位置知，，，，，故正确；抛物线开口向下，对称轴是直线，，又，故选错误；由图象知，当时，，，，， 故正确；综上可知，正确，故选：D．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系及二次函数图象上点的坐标特征，需要充分掌握二次函数各系数的意义，以及它们跟二次函数图象之间的联系．12．D【分析】首先根据函数图象可判断a，b，c的符号，a0，c>0，从而可判断①正确；由OB＝2OC可推出点B（2c，0）代入解析式化简即可判断②正确；由抛物线与x轴的交点A（−2，0）和点B（2c，0），再结合韦达定理可得x1•x2＝＝（−2）×2c＝-4c，可得a＝-，即可判断③正确；根据a＝-， 4ac+2b＝-1，可得c＝2b+1，从而可得抛物线解析式为y＝-x2＋bx＋（2b+1），顶点坐标为（2b， b2＋2b+1），继而可求得A（−2，0），B（4b+2，0）．所以对称轴为直线x＝2b．要使AN⊥BM，由对称性可知，∠APB＝90°，且点P一定在对称轴上，则△APB为等腰直角三角形， PQ＝AB＝2b+2，得P（2b，2b+2），且2b+20．①：∵a0，∴a−b