专题1.4复数（知识点清单）——高一数学下学期期末重难点专项复习学案+期末模拟卷（沪教版2020）

专题1.4复数【知识梳理】

一、理解复数的有关概念

（1）虚数单位:它的平方等于-1，即.

（2）复数的定义与表示：

形如的数叫复数，叫复数的实部，记作；叫复数的虚部，

记作；全体复数所成的集合叫做复数集，用字母表示.

复数的代数形式: 复数通常用字母z表示，即，把复数表示成的形式，叫做复数的代数形式.

（3）复数的分类以及复数与实数、虚数、纯虚数及的关系：

对于复数，当且仅当时，复数是实数，；

当时，复数叫做虚数；当且时，叫做纯虚数；

当且仅当时，就是实数0.

（4）两个复数相等的定义：

如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等.

这就是说，如果、、、，那么

（5）复数集与其它数集之间的关系：.

（6）共轭复数：

实部相等而虚部互为相反数的两个复数，叫做共轭复数，也称这两个复数互相共轭.复数的共轭复数用表示，也就是当时，.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.

（7）复数的模：

复数在复平面内所对应的点到坐标原点的距离叫做复数的模，记作.

由模的定义，可知.

二、理解复数的有关运算及性质

（1）复数的四则运算：设，则

①加减：；    

②乘法：；

③除法：.

（2）共轭复数的运算：

  　　①；  ② ；　③；  ④；

　　  ⑤；  ⑥； 　⑦若z为纯虚数；⑧.

（3）模的运算：

　　① ； ②； ③；  ④；

　　⑤（当z≠0时，）； 　*⑥；

　　⑦；

　  ⑧非零复数，，

对应向量（矩形的对角线相等）.

（4） 重要结论：

①对复数和自然数有；

② ，，，；，，，；

③ ，；④ ；

⑤ 1的立方根是； 的立方根是.

三、复数的平方根与立方根

1．复数的平方根的定义

若复数，满足，则称是的平方根．

2．复数的平方根的求法

即利用复数相等，把复数平方根问题转化为实数方程组来求．

3．复数的平方根的性质

复数总有两个平方根，，且（见图1）．

4．复数的立方根的定义

类似的，若复数，满足，则称是的立方根．

5．1的立方根

设复数，则都是1的立方根．

6．的性质

①，

②，

③．

可运用这些性质化简相关问题（见图2）．

7．其他有用结论

，

四、实系数一元二次方程

实系数一元二次方程中的为根的判别式，那么

（1）方程有两个不相等的实根；

（2）方程有两个相等的实根；

（3）方程有两个共轭虚根，

在（3）的情况下，方程的根与系数关系（韦达定理）仍然成立．

求解复数集上的方程的方法：

（1）设化归为实数方程来解决（化归思想）．

（2）把看成一个未知数（而不是实部和虚部两个未知数），用复数的性质来变形（整体思想）．

（3）对二次方程，直接用一元二次方程的求根公式（公式法）．

【考点1】 复数的概念

1.【2020·上海奉贤一中期中】已知z＝（a﹣i）（1+i）（a∈R，i为虚数单位）为纯虚数，则a＝_____.

【答案】﹣1.

【解析】因为,因为为纯虚数，所以 且，解得.

【考点2】 复数的运算

2.（2019·上海普陀区·曹杨二中高二期末）（1）已知，求复数；

（2）已知复数满足为纯虚数，且，求复数．

【答案】（1）；（2）或或.

【分析】（1）设复数，根据复数的运算法则和复数相等得出关于、的方程组，解出这两个未知数，即可得出复数；

（2）设复数，根据为纯虚数和列出关于、的方程组，解出这两个未知数，可得出复数.

【详解】（1）设复数，由，得，

根据复数相等得，解得，因此，；

（2）设复数，

则，

由题意可得，.

，得，

所以有，解得或.

因此，或或.

【点睛】本题考查复数的求解，常将复数设为一般形式，根据复数的相关运算列举出方程组进行求解，考查运算求解能力，属于中等题.

【考点3】 复数的坐标表示及几何意义

3.【2020甘肃武威一中期中】如图，在复平面内点P对应的复数，将点P绕坐标原点O逆时针旋转到点Q，则点Q对应的复数的虚部为(   )

A． B． C． D．

【分析】由题意求得点对应的复数，则其虚部可求．

【解析】设点对应的向量为，向量绕坐标原点逆时针旋转得到对应的复数为，点对应的复数的虚部为，故选．

【考点4】复数的平方根与立方根

4.求及的平方根．

【难度】★

【答案】的平方根为或；的平方根为或

【考点5】实系数一元二次方程

5.已知方程，求方程的解．

【难度】★

【答案】

当时，即时，；

当时，即时，；

当时，即时，．