专题1.1 三角（知识点清单）——高一数学下学期期末重难点专项复习学案+期末模拟卷（沪教版2020）

专题1.1 三角【知识梳理】

一、角的概念的推广

1.定义：角是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形。

   (1)规定：射线按逆时针方向旋转所形成的角为正角；射线按顺时针方向旋转所形成的角为负角；

   (2)射线没有旋转（终边与始边重合）也认为形成了一个角，该角叫做零角

   (3)象限角：顶点在原点，始边在轴的正半轴，终边落在第几象限就说这个角时第几象限的角。

   (4)终边相同的角：与角终边相同的角的集合为

二、弧度制

1. 1弧度：长度等于半径的弧所对的圆心角的大小

   (1) 角度制与弧度制换算关系：弧度

   (2) 常见特殊角的角度数与弧度数对照表：

   (3) 象限角的表示：

三、终边角上的正弦、余弦、正切、余切

1.定义：；；；；

四、弦与弦的转化计算

1.→ 或

2. →

五、弦与切的转化计算

1. ，

2. →

六、切与切的转化计算

1.

七、诱导公式

1.处理角度与角的关系，起到角的化简作用。

   (1)默认为锐角，则角视作正半轴（角的终边已旋转后再逆时针旋转一个锐角即可），角视作正半轴（角的终边已旋转后再顺时针旋转一个锐角即可）；

   (2)默认为锐角，则角视作负半轴（角的终边已旋转后再逆时针旋转一个锐角即可），角视作正半轴（角的终边已旋转后再顺时针旋转一个锐角即可）；

   (3)默认为锐角，类比（1）（2）则角视作角的终边已旋转后再逆时针旋转一个锐角即可），角角的终边已旋转后再顺时针旋转一个锐角即可；

2.结合角度的终边位置与角的终边，通过比对数据观察各三角比的值发现规律，得出诱导公式结论：奇变偶不变，符号看象限。

八、诱导公式下的三角计算

1.培养三角变形的处理技巧：优先看角，形成一定的思维模式

   (1)优先观察角与角不相同时是否具有角与角的关联，若具有结构，应优先利用诱导公式化简，化简结束后再进一步观察角的关联

   (2)在诱导公式处理完角度问题后，使得同角情况下去应该去观察三角比的关联，是弦与弦还是切与切还是弦切都具有，考虑其转化问题

九、和差公式

1.公式：，

 (1)两个角度不一致时存在和差关系；

 (2)两个角不同虽不存在和差关系，但存在三角比的关联

 (3)和差公式的逆向应用

辅助角公式：

十、倍角公式

1.

(1)两个角度不一致时存在倍数关系；

(2)两个角不同虽不存在倍数关系，但存在三角比的关联

(3)倍角公式的变式： ，，

十一、积化和差公式

1.积化和差公式：

2.和差化积公式：

十二、辅助角公式

1.，其中，

2.，其中，

十三、正弦定理

1.公式：

   (1)处理边与对角关系，已知三个条件中含边与对角可选取正弦定理的成比例计算

2.关联公式：

   (1)三角形内角和：，给定两内角等价于三个内角都给定

   (2)大边对大角，大角对大边：

   (3)三角形多解问题判断

十四、余弦定理

1. 公式：，，

   (1) 边与角的转换

   (2) 平方与乘积的转换

   (3) 锐角、直角、钝角的判断

十五、三角形面积公式

1.

2.

3.

【考点1】任意角及其度量

（2019·上海市晋元高级中学高一月考）设且，若，则______．

【答案】1

【分析】根据对数函数的运算性质，得到，再根据三角函数的基本关系，准确化简，即可求解，得到答案.

【详解】设且，若，

所以，所以，

又，所以，

又由，

则

所以

故答案为1．

【点睛】本题主要考查了三角函数的基本关系的化简求值问题，其中解答中合理利用三角函数的基本关系式，准确化简、计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

【考点2】同角三角比的关系和诱导公式

（2020·上海高一课时练习）已知关于的方程的两个根为.

（1）求的值；

（2）求的值；

（3）求方程的两个根及此时的值.

【答案】（1）或；（2）；（3）当方程的两个根分别时，此时．当方程的两个根分别时，此时．

【分析】（1）根据一元二次方程的根与系数的关系，可得，的关系．解出，的值，即可求解的值；（2）由即可得m的值；（3）由（1）可得方程的根和此时的值.

【详解】由的方程的两个根为，．

可得，，

，．

或

那么或．

当时，，

当时，，

（2）由，可得．

（3）当方程的两个根分别时，此时．

当方程的两个根分别时，此时．

【点睛】本题主要考查一元二次方程的根与系数的关系，同角三角函数的关系式的计算．属于基础题．

【考点3】两角和与差的正弦、余弦、正切公式

（2020·上海黄浦区·高一期末）若将化成（，）的形式，则________.

【答案】

【分析】利用辅助角公式及诱导公式化简即可得解.

【详解】方法一：，

由待定系数法，得，又，∴.

方法二：由辅助角公式及诱导公式可得，即.故答案为：

【点睛】本题考查辅助角公式及三角函数诱导公式，属于基础题.

【考点4】二倍角公式与三角变换的应用

（2020·上海市七宝中学高一期中）若，则______.

【答案】

【分析】直接使用二倍角余弦公式代入求值即可..

【详解】因为，

所以.故答案为：

【点睛】本题考查了二倍角余弦公式的应用，考查了代入思想，考查了数学运算能力.

【考点5】正弦定理、余弦定理和解三角形在实际生活中的应用

（2020·上海市行知中学高一期末）在中，，是的角平分线，，且，问_______时，最短.

【答案】

【分析】作出图形，设内角、、的对边分别为、、，由题意可得出，利用余弦定理结合基本不等式可求得的最小值及其对应的、，利用角平分线的性质可求得，利用余弦定理求得，进而利用余弦定理可求得的长，由此可求得的值.

【详解】在中，设内角、、的对边分别为、、，则，

，可得，

由余弦定理得

，

，则，所以，，

当且仅当时，即当时，等号成立，

由，解得，，

，则，此时，，

由于，则，

由余弦定理得，

在中，由余弦定理可得，则，

因此，.故答案为：.

【点睛】本题考查利用余弦定理与基本不等式求边的最值，同时也考查了三角形面积公式的应用，考查计算能力，属于难题.