陕西省黄陵中学2021届高三（高新部）上学期期中考试数学（理）试题 Word版含答案

www.ks5u.com黄陵中学2020-2021学年度第一学期

高新高三数学（理）期中考试试题

一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A＝{0,2,3,5},B={2,3,4,5}，则(　　)

A．{2,3,5}      B．{0,3,5}       C．{0,2,5}       D．{0,2,3}

2．设x∈R，则“3－x≥0”是“|x－1|≤1”的(　　)

A．必要不充分条件      B.  充分不必要条件

C．充要条件            D．既不充分也不必要条件

3.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝，c＝2，cos A＝，则b＝(　　)

A.        B.3        C．2        D．

4．“∀x∈R，x2－πx≥0”的否定是(　　)

A．∀x∈R，x2－πx<0     B．∀x∈R，x2－πx≤0

C．∃x0∈R，x－πx0<0    D．∃x∈R，x－πx0≤0

5.下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lg x的定义域和值域相同的是(　　)

A．y＝x                 B．y＝

C．y＝2x                         D．y＝lg x

6．已知函数f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是(　　)

A．[－2，2]             B．[－1，1]

C． [1，3]              D．[0，4]

7.若函数f(x)＝则f(f(－1))＝(　　)

A．         B.       C.2     D．log37

8．函数y＝2|x|sin 2x的图象可能是(　　)

9.函数f(x)＝ln x－的零点所在的区间为(　　)

A．(0，1)   B．(2，3)

C．(1，2)   D．(3，4)

10．函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是(　　)

11.已知sin＝，则cos的值等于(　　)

A.－ B. C． D．－

12.已知函数f(x)＝－2cos ωx(ω>0)的图象向

左平移φ个单位，所得的部分函数

图象如图所示，则φ的值为(　　)

A. B.  C.   D.

二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）

13．已知集合A＝{x|x2－5x－14≤0}，集合B＝{x|m＋1<x<2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围为________．

14．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋2)＝－，当2≤x≤3时，f(x)＝x，则f(105.5)＝________．

15．在△ABC中，若b＝a，B＝2A，则△ABC为________三角形．

16．由抛物线y2＝2x与直线y＝x－4围成的平面图形的面积为________.

三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17．(本小题满分10分)

设p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，q：实数x满足|x－3|<1.

若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；

18．(本小题满分12分)

已知函数f(x)＝excos x－x.

(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；

(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值．

19．(本小题满分12分)

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A＝，sin B＝3sin C.

(1)求tan C的值；

(2)若a＝，求△ABC的面积．

20.（本小题12分）

设f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a＞0，a≠1)，且f(1)＝2.

(1)求a的值及f(x)的定义域；

(2)求f(x)在区间上的最大值

21.（本小题12分）

已知函数f(x)＝4cos ωx·sin(ω>0)的最小正周期是π.

(1)求函数f(x)在区间(0，π)上的单调递增区间；

(2)求f(x)在上的最大值．

22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax＋ln x，x∈[1，e]．

(1)若a＝1，求f(x)的最大值；

(2)若f(x)≤0恒成立，求实数a的取值范围．

17．(本小题满分10分)解：(1)由x2－4ax＋3a2<0得(x－3a)(x－a)<0，

当a＝1时，1<x<3，即p为真时，实数x的取值范围是1<x<3.

由|x－3|<1得－1<x－3<1，解得2<x<4，

即q为真时，实数x的取值范围是2<x<4，

若p∧q为真，则p真且q真，

所以实数x的取值范围是2<x<3.

18．(本小题满分12分)解：(1)因为f(x)＝excos x－x，所以f(0)＝1，

f′(x)＝ex(cos x－sin x)－1，所以f′(0)＝0，

所以y＝f(x)在(0，f(0))处的切线方程为y＝1.

(2)f′(x)＝ex(cos x－sin x)－1，令g(x)＝f′(x)，

则g′(x)＝－2sin x·ex≤0在上恒成立，且仅在x＝0处等号成立，

所以g(x)在上单调递减，

所以g(x)≤g(0)＝0，所以f′(x)≤0且仅在x＝0处等号成立，

所以f(x)在上单调递减，

所以f(x)max＝f(0)＝1，f(x)min＝f＝－.

19．(本小题满分12分)

解：(1)因为A＝，所以B＋C＝，故sin＝3sin C，所以cos C＋sin C＝3sin C，

即cos C＝sin C，得tan C＝.

(2)由＝，sin B＝3sin C，得b＝3c.

在△ABC中，由余弦定理，得

a2＝b2＋c2－2bccos A＝9c2＋c2－2×(3c)×c×＝7c2，又因为a＝，所以c＝1，b＝3，

所以△ABC的面积为S＝bcsin A＝.

20（本小题12分）

解：(1)因为f(1)＝2，

所以loga4＝2(a＞0，a≠1)，

所以a＝2.

由得－1＜x＜3，

所以函数f(x)的定义域为(－1，3)．

(2)f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x)

＝log2[(1＋x)(3－x)]

＝log2[－(x－1)2＋4]，

所以当x∈(－1，1]时，f(x)是增函数；

当x∈(1，3)时，f(x)是减函数，

故函数f(x)在上的最大值是f(1)＝log24＝2.

21.（本小题12分）

解：(1)f(x)＝4cos ωx

＝2sin ωxcos ωx－2cos2 ωx＝sin 2ωx－cos 2ωx－1

＝2sin－1，

因为f(x)的最小正周期为π，所以T＝＝π.又ω>0，所以ω＝1，

所以f(x)＝2sin－1.

令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，

得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，

所以函数f(x)在(0，π)上的单调递增区间为和.

(2)当∈时，2x∈，≤2x－≤.

当2x－＝，即x＝时，f(x)取得最大值1.

22．(本小题满分12分)

解：(1)若a＝1，则f(x)＝x＋ln x，

f′(x)＝1＋＝.

因为x∈[1，e]，所以f′(x)>0，所以f(x)在[1，e]上为增函数，所以f(x)max＝f(e)＝e＋1.

(2)依题意，不等式ax＋ln x≤0对x∈[1，e]恒成立，

等价于a≤－，x∈[1，e]恒成立．

令g(x)＝－，x∈[1，e]，

则g′(x)＝，

因为x∈[1，e]，所以g′(x)≤0，

所以g(x)在[1，e]上单调递减，

所以g(x)min＝g(e)＝－，所以a≤－.

所以实数a的取值范围是.