陕西省黄陵中学2021届高三（本部）上学期期中考试数学（文）试题（教师版） Word版含答案

www.ks5u.com2020---2021学年度第一学期本部高三（文）数学期中试题及答案

一．选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的)

1．已知集合A＝{x|x－1≥0}，B＝{0,1,2}，则A∩B＝(　C　)

A．{0}　　 B．{1}

C．{1,2}　　 D．{0,1,2}

[解析]　本题考查集合的运算．∵A＝{x|x－1≥0}＝{x|x≥1}，B＝{0,1,2}，

∴A∩B＝{1,2}，故选C.

2.命题“∀x∈R，x3－3x≤0”的否定为(　C　)

A．“∀x∈R，x3－3x>0”　　 B．“∀x∈R，x3－3x≥0”

C．“∃x0∈R，x－3x0>0”　　 D．“∃x0∈R，x－3x0<0”

[解析]　因为全称命题的否定是特称命题，所以“∀x∈R，x3－3x≤0”的否定为“∃x0∈R，x－3x0>0”．故选C.

3.命题“若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是(　D　)

A．若a2＋b2≠0，则a≠0且b≠0            B．若a2＋b2≠0，则a≠0或b≠0

C．若a＝0且b＝0，则a2＋b2≠0            D．若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0

[解析]　命题“若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是“若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0”，故选D.

4.设a，b∈R，则“2a－b<1”是“ln a<ln b”的(　B　)

A．充分不必要条件　　 B．必要不充分条件

C．充要条件　　 D．既不充分也不必要条件

[解析]　由2a－b<1得a<b，由ln a<ln b得0<a<b，∴“2a－b<1”是“ln a<ln b”的必要不充分条件，故选B.

5.若f(x)是幂函数，且满足＝3.则f()＝(　C　)

A．3　      B．－3　      C．      D．－

[解析]　设f(x)＝xα，则＝＝＝2α＝3，所以f()＝()α＝＝.故选C.

6.(2020·河南南阳一中模拟)已知函数f(x)＝则f[f()]＝(　A　)

A．－　 B．－1　 

C．－5　 D．

[解析]　由题意知f()＝log2，∴f[f()]＝2log2－2＝－.故选A．

7.已知，，，则的大小关系为（ A  ）

A.           B.             C.           D.

解析 由题意，可知，

．
，所以最大，，都小于1．
因为，，而，
所以，即，所以．故选A．

8.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为，而可观测宇宙中普通物质的原子总数约为．则下列各数中与最接近的是

（参考数据：≈0．48）

A．     B．       C．     D．

[解析]　设，两边取对数得，，

所以，即最接近，选D．

9.已知函数，则不等式的解集是（    ）．

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】作出函数和的图象，观察图象可得结果.

【详解】因为，所以等价于，

在同一直角坐标系中作出和的图象如图：

两函数图象的交点坐标为，不等式的解为或.

所以不等式的解集为：.故选：D.

10.若tan α＝，则cos2α＋2sin 2α＝(　A　)

A．　 B．　

C．1　 D．

[解析]　cos2α＋2sin 2α＝＝＝，故选A.

11.已知函数f(x)的导函数是f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋ln ，则f(1)＝(　B　)

A．－e         B．2　       C．－2　        D．e

[解析]　由已知得f′(x)＝2f′(1)－，令x＝1，得f′(1)＝2f′(1)－1，解得f′(1)＝1，则f(1)＝2f′(1)＝2.

12.函数y=xcosx+sinx在区间[–π，+π]的图象大致为（ ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】首先确定函数的奇偶性，然后结合函数在处的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.

【详解】因为，则，

即题中所给的函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称，据此可知选项CD错误；

且时，，据此可知选项B错误.故选：A.

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．)

13．函数的定义域为    ．

【解析】要使函数有意义，则，即，则函数

的定义域是

14.曲线在点处的切线方程为____________．

解析：因为，所以，
所以当时，，所以在点处的切线斜率，
又所以切线方程为，即．

15.若函数f(x)＝－x2＋4ax在[1,3]内不单调，则实数a的取值范围是     

[解析]　由题意得：1<2a<3，得<a<.

16.函数f(x)＝xsinx＋cosx在[，π]上的最大值为　　.

[解析]　因为f′(x)＝sinx＋xcosx－sinx＝xcosx，当x∈[，]时，f′(x)≥0，函数f(x)递增，当x∈(，π]时，f′(x)<0，函数f(x)递减，所以f(x)max＝f()＝.

三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.(本小题满分10分)已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P(－，－)．

(1)求sin (α＋π)的值；

(2)若角β满足sin (α＋β)＝，求cos β的值．

[解析]　本题主要考查三角函数及其恒等变换等基础知识，同时考查运算求解能力．

(1)由角α的终边过点P(－，－)得sin α＝－，所以sin (α＋π)＝－sin α＝.

(2)由角α的终边过点P(－，－)得cos α＝－，

由sin (α＋β)＝得cos (α＋β)＝±.

由β＝(α＋β)－α得

cos β＝cos (α＋β)cos α＋sin (α＋β)sin α，

所以cos β＝－或cos β＝.

18.(本小题满分12分).已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5]，

(1)当a＝－1时，求函数f(x)的最大值和最小值；

(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数．

[解析]　(1)a＝－1，f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，

因为x∈[－5,5]，所以x＝1时，f(x)取最小值1，

x＝－5时，f(x)取最大值37.

(2)f(x)的对称轴为x＝－a；因为f(x)在[－5,5]上是单调函数，

所以－a≤－5，或－a≥5，所以实数a的取值范围为(－∞，－5]∪[5，＋∞)．

19.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝.

(1)试判断f(x)在[1,2]上的单调性；

(2)求函数f(x)在[1,2]上的最值．

[解析]　(1)解法一：任取x1，x2∈[1,2]，且x1<x2，

则f(x2)－f(x1)＝－＝

＝，

＝

∵x1，x2∈[1,2]，∴－2≤x2－3≤－1，－2≤x1－3≤－1，

∴1≤(x2－3)(x1－3)≤4，∴(x1－3)(x2－3)－9<0.

又x2－x1>0，(x2－3)(x1－3)>0，

∴<0，即f(x2)<f(x1)．

∴f(x)在[1,2]上为减函数．

解法二：∵f(x)＝，

∴f′(x)＝＝，

∵1≤x≤2，∴f′(x)<0，∴f(x)在[1,2]上为减函数．

(2)由(1)知f(x)在[1,2]上为减函数，

∴f(x)min＝f(2)＝＝－4，f(x)max＝f(1)＝＝－.

20.(本小题满分12分)已知0<α<<β<π，且sin (α＋β)＝，tan ＝.

(1)求cos α的值；       (2）求sin β

[解析]　(1)因为tan ＝，所以tan α＝＝，所以，α∈(0，)，解得cos α＝.

另解：cos α＝cos2－sin2＝＝＝＝.

(2)由已知得<α＋β<，又sin (α＋β)＝，

所以cos (α＋β)＝－＝－，

又sin α＝＝，

sin β＝sin [(α＋β)－α]

＝sin (α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α

＝×－(－)×＝

21.(本小题满分12分)某自来水厂的蓄水池存有400吨水，水厂每小时可向蓄水池中注水60吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，t小时内供水总量为120 吨(0≤t≤24)．

(1)从供水开始到第几小时时，蓄水池中的存水量最少？最少存水量是多少吨？

(2)若蓄水池中水量少于80吨时，就会出现供水紧张现象，请问：在一天的24小时内，有几小时出现供水紧张现象．

[解析]　(1)设t小时后蓄水池中的存水量为y吨，

则y＝400＋60t－120，

令＝x，则x2＝6t，即t＝，

所以y＝400＋10x2－120x＝10(x－6)2＋40，(构建二次函数)

所以当x＝6，即t＝6时，ymin＝40，

即从供水开始到第6小时时，蓄水池中的存水量最少，最少存水量是40吨．

(2)由(1)及题意得400＋10x2－120x<80，即x2－12x＋32<0，

解得4<x<8，即4<<8，<t<.

因为－＝8，所以每天约有8小时出现供水紧张现象．

22.(本小题满分12分）设函数，曲线在点处的切线方程为，

（I）求，的值；

（II）求的单调区间.

【解析】（I），∴

∵曲线在点处的切线方程为

∴，

即    ①

      ②

由①②解得：，

（II）由（I）可知：，

  令，∴

∴的最小值是

∴的最小值为．

即对恒成立．

∴在上单调递增，无减区间．