2023年北京市丰台区中考二模数学试题（含解析）

这是一份2023年北京市丰台区中考二模数学试题（含解析），共26页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年北京市丰台区中考二模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．下图是某几何体的展开图，该几何体是（    ）
  
A．圆柱 B．三棱柱 C．圆锥 D．球
2．如图，，点E为上一点，，若，则的度数为（    ）
  
A．35° B．45° C．55° D．65°
3．实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（    ）
  
A． B． C． D．
4．以下图形绕点O旋转一定角度后都能与原图形重合，其中旋转角最小的是（    ）
A．   B．    C．   D．  
5．已知，，，，那么精确到的近似值是（    ）
A． B． C． D．
6．掷一枚质地均匀的硬币m次，正面向上n次，则的值（    ）
A．一定是 B．一定不是
C．随着m的增大，越来越接近 D．随着m的增大，在附近摆动，呈现一定的稳定性
7．我国明代数学读本《算法统宗》一书中有这样一道题：一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托，索和竿子各几何?（1托为5尺）其大意为：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长5尺，如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺，那么绳索和竿各长几尺?设绳索长为x尺，竿长为y尺，根据题意列方程组，正确的是（    ）
A． B． C． D．
8．下面三个问题中都有两个变量：
①如图1，货车匀速通过隧道（隧道长大于货车长），货车在隧道内的长度y与从车头进入隧道至车尾离开隧道的时间x；
②如图2，实线是王大爷从家出发匀速散步行走的路线（圆心O表示王大爷家的位置），他离家的距离y与散步的时间x；
③如图3，往空杯中匀速倒水，倒满后停止，一段时间后，再匀速倒出杯中的水，杯中水的体积y与所用时间x

其中，变量y与x之间的函数关系大致符合下图的是（    ）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③

二、填空题
9．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_______．
10．分解因式：____．
11．正十边形的外角和为______．
12．如图所示，正方形网格中，三个正方形A，B，C的顶点都在格点上，用等式表示三个正方形的面积之间的关系___________．

13．在平面直角坐标系中，反比例函数和的图象如图所示，k的值可以是___________．（写出一个即可）．

14．若，则代数式的值为__________．
15．下图是某书店2022年7月至12月教育类图书销售额占当月全部图书销售额的百分比折线统计图．小华认为，8月份教育类图书销售额比7月份减少了．他的结论___________（填“正确”或“错误”），理由是_______．
  
16．甲地组织20辆汽车装运食品、药品、生活用品三种物资共100吨到乙地．每辆汽车可装运物资的运载量和每吨所需运费如下表．
物资种类
食品
药品
生活用品
每辆汽车运载量/吨
6
5
4
每吨所需运费/元
120
160
100
如果20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种物资且必须装满，每种物资至少装运1辆车，那么总运费最少的车辆安排方案为：装运食品、药品、生活用品的汽车辆数依次是_______，此时总运费为____元．

三、解答题
17．计算：
18．解方程：
19．下面是过直线外一点，作已知直线的平行线的两种方法．请选择一种作法，使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹），并完成证明．
已知：如图，直线l及直线外一点P．
求作：直线，使得．

作法一：如图，

①在直线l上取一点A，作射线，以点A为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点B；
②在直线l上取一点C（不与点A重合），作射线，以点C为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点Q；
③作直线PQ，所以直线就是所求作的直线．
作法二：如图，

①在直线l上取两点A，B，连接；
②分别以点P，点B为圆心，，的长为半径画弧，两弧在l上方交于点Q；
③作直线．
所以直线就是所求作的直线．
证明：∵________，__________，
∴（    ）
（填推理的依据）
证明：连接，
∵________，__________，
∴四边形是平行四边形（    ）（填推理的依据）
∴（    ）
（填推理的依据）
20．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：该方程总有两个不相等的实数根；
(2)选择一个m的值，使得方程至少有一个正整数根，并求出此时方程的根．
21．如图，在中，，点D为的中点，连接，过点C作，且，连接，．
  
(1)求证：四边形是菱形；
(2)连接，当，时，求的长．
22．某校兴趣小组在学科实践活动中，从市场上销售的A，B两个品种的花生仁中各随机抽取30粒，测量其长轴长度，然后对测量数据进行了收集、整理和分析．下面是部分信息．

a．两种花生仁的长轴长度统计表：
花生仁长轴长度（mm）
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
A品种花生仁粒数
5
10
6
7
2
0
0
0
0
0
B品种花生仁粒数
0
0
2
3
6
4
5
4
4
2
b.两种花生仁的长轴长度的平均数、中位数、众数、方差如下：

平均数
中位数
众数
方差
A品种花生仁
a
13.5
c
1.4
B品种花生仁
17.5
b
16
3.9
根据以上信息，回答下列问题：
(1)兴趣小组的同学在进行抽样时，以下操作正确的是_________（填序号）；
①从数量足够多的两种花生仁中挑取颗粒大的各30粒；
②将数量足够多的两种花生仁分别放在两个不透明的袋子中，摇匀后从中各取出30粒；
(2)写出a，b，c的值；
(3)学校食堂准备从A，B两个品种的花生仁中选购一批做配菜食材，根据菜品质量要求，花生仁大小要均匀，那么兴趣小组应向食堂推荐选购_____（填“A”或“B”）品种花生仁，理由是_______________________
23．在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象经过点．
(1)求这个一次函数的表达式；
(2)当时，对于x的每一个值，正比例函数的值大于一次函数的值，直接写出m的取值范围．
24．如图，是的外接圆，是的直径，点是的中点，点是的延长线上的一点，，的延长线交于点．
  
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长．
25．学校新建的体育器材室的一面外墙如图1所示，它的轮廓由抛物线和矩形构成．数学兴趣小组要为器材室设计一个矩形标牌，要求矩形的顶点E，H在抛物线上，顶点F，G在矩形的边上．为了设计面积最大的矩形，兴趣小组对矩形的面积与它的一边的长之间的关系进行研究．

具体研究过程如下，请补充完整．
(1)建立模型：
以的中点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，通过研究发现，抛物线满足函数关系．设矩形的面积为，的长为，则另一边的长为_______m（用含a的代数式表示），得到S与a的关系式为：_________；
(2)探究函数：
列出S与a的几组对应值：

…
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
…

…
0.49
0.94
1.29
1.50
1.52
1.31
0.82
…
在下面的平面直角坐标系中，描出表中各组数值对应的点，并画出该函数的图象；

(3)解决问题：
结合函数图象得到，的长约为__________m时，矩形面积最大．
26．在平面直角坐标系中，点在抛物线上．
(1)求抛物线的对称轴；
(2)若点在抛物线上，求a的取值范围；
(3)若点在抛物线上，对于任意的，都有，直接写出a的取值范围．
27．如图，在等边中，点D，E分别在，的延长线上，且，的延长线交于点F．

(1)求的度数；
(2)延长至点G，使，连接交于点H．依题意补全图形，猜想线段与的数量关系，并证明．
28．对于和的弦，以为边的正方形为关于的“关联正方形”在平面直角坐标系中，已知点，点，以点为圆心，的长为半径作，点为上的任意一点（不与点重合）．
(1)当时，若直线上存在点在关于的“关联正方形”上，求的取值范围；
(2)若点在关于的“关联正方形”上，点与点的最大距离，当取最小值时，直接写出此时和的值．

参考答案：
1．C
【分析】根据各几何体的展开图，进行判断即可．
【详解】解：∵圆锥的展开图为一个扇形和一个圆形，
∴这个几何体是圆锥．
故选：C．
【点睛】本题考查了几何体的展开图，熟练掌握各几何体的展开图是解本题的关键．
2．A
【分析】根据三角形内角和定理求得的度数，再根据两直线平行，内错角相等得出的度数，即可得出答案．
【详解】解：∵，且，，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了平行线的性质以及三角形内角和定理，熟知两直线平行，内错角相等是解本题的关键．
3．C
【分析】根据数轴上点的位置，得到，，，再结合绝对值和相反数的意义，逐一进行判断即可得到答案．
【详解】解：由数轴可知，，，，
A、，原结论错误，不符合题意，选项错误；
B、，原结论错误，不符合题意，选项错误；
C、，原结论正确，符合题意，选项正确；
D、，原结论错误，不符合题意，选项错误，
故选C．
【点睛】本题主要考查了数轴上点表示的数，以及利用数轴比较大小，绝对值和相反数的意义，利用数轴确定实数a，b，c的正负和大小是解题关键．
4．D
【分析】求出各旋转对称图形的最小旋转角度，再比较即可．
【详解】解：A选项：最小旋转角度；
B选项：最小旋转角度；
C选项：最小旋转角度；
D选项：最小旋转角度；
综上可得：旋转的角度最小的是D．
故选：A．
【点睛】本题考查了旋转对称图形中旋转角度的确定，求各图形的最小旋转角度时，关键要看各图形可以被平分成几部分，被平分成n部分，旋转的最小角度就是．
5．B
【分析】先根据无理数的估算确定的取值范围，再利用四舍五入找出近似值即可．
【详解】解：，
，
，，
精确到的近似值是，
故选B．
【点睛】本题考查了无理数的估算，熟练掌握估算方法是解题关键．
6．D
【分析】根据频率与概率的关系以及随机事件的定义判断即可．
【详解】解：投掷一枚质地均匀的硬币正面向上的概率是，而投掷一枚质地均匀的硬币正面向上是随机事件，是它的频率，随着m的增加，的值会在附近摆动，呈现出一定的稳定性．
故选：D．
【点睛】本题考查对随机事件的理解以及频率与概率的联系与区别．解题的关键是理解随机事件是都有可能发生的事件．
7．A
【分析】设绳索长为x尺，竿长为y尺，根据“用绳索去量竿，绳索比竿长5尺”可得方程，根据“将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺”可得方程，即可列出方程组．
【详解】设绳索长为x尺，竿长为y尺，
根据题意列方程组：
，
故选A．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，正确理解题意列出方程组是解题的关键．
8．A
【分析】根据y值随x的变化情况，逐一判断．
【详解】解：①当货车开始进入隧道时y逐渐变大，当货车完全进入隧道，由于隧道长大于货车长，此时y不变且最大，当货车开始离开隧道时y逐渐变小．故①正确；
②王大爷距离家先y逐渐变大，他走的是一段弧线时，此时y不变且最大，之后逐渐离家越来越近直至回家，即y逐渐变小，故②正确；
③往空杯中匀速倒水，倒满后停止，一段时间后，再匀速倒出杯中的水，杯中水的体积y与所用时间x，变量y与x之间的函数关系是一条折线段，故③错误；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了函数图象的读图能力．要理解函数图象所代表的实际意义是什么才能从中获取准确的信息．
9．
【分析】根据二次根式有意义的条件，即可求解．
【详解】解：根据题意得：，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键．
10．
【分析】先提公因式，再利用平方差公式因式分解即可得解．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先要提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
11．/度
【详解】解：正十边形的外角和为：．
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了多边形的外角和，熟记多边形的外角和等于是解题的关键．
12．
【分析】根据勾股定理以及正方形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：，，
正方形C的边长为，
∴，
∴之间的关系为，
故答案为：，
【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
13．2（答案不唯一）
【分析】先确定的取值范围，然后在范围内去一个值即可．
【详解】如图，在上任取一点，作轴，交与点，作轴，过点作轴，

设，则，
∴，．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴k的值可以是2．
故答案为：2．（答案不唯一）
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
14．2
【分析】先化简代数式，再整体代入求解．
【详解】解：原式

，
∵，
所以原式，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了代数式求值，涉及到了完全平方公式的应用，解题关键是先化简代数式，再整体代入．
15． 错误 没有提供7月和8月份教育类图书销售额的数据
【分析】分别计算出7月和8月份教育类图书销售额，比较即可得出答案．
【详解】解：只知道7月和8月份教育类图书销售额的占比，不知道7月和8月份教育类图书销售额，无法比较8月份教育类图书销售额比7月份是增加还是减少了．
故答案为：错误；没有提供7月和8月份教育类图书销售额的数据．
【点睛】本题考查的是折线统计图．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．折线图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况．
16．
【分析】设辆汽车装运食品，辆汽车装运药品，则装运生活用品的车辆数为，
根据三种物资共100吨列出等式，求出，再根据每种物资至少装运1辆车，求出的取值范围，最后列出总费用与的函数关系式，利用函数的性质即可解决问题．
【详解】解：设辆汽车装运食品，辆汽车装运药品，则装运生活用品的车辆数为，
由题意，得：，
∴．
∴．
∵每种物资至少装运1辆车，
∴．
解得：，
设总费用为，则
，
∵，
∴随的增大而减小．
∵，且为整数，
∴当时，总费最少，最少费用为元．
此时．
故答案为：；．
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，用两个未知数表示出运送生活用品的车辆数是列出方程的关键，也是解决本题的突破点，利用一次函数的增减性求出最小值是本题的难点．
17．；
【分析】根据特殊角的三角函数值，有理数乘方的运算法则，化简二次根式，负指数幂的运算法则即可解答．
【详解】解：


；
【点睛】本题考查了含有特殊角的三角函数的混合运算，掌握二次根式的性质及负指数幂的运算法则是解题的关键．
18．
【分析】去分母，将分式方程化成整式方程求解，最后检验方程的根．
【详解】解：
去分母得：，
去括号并合并同类项得：，
解得：，
经检验，是方程的根，
∴原方程的解为．
【点睛】本题考查解分式方程，解题的关键是将分式方程化为整式方程．
19．尺规作图见解析；，，三角形的中位线定理，，，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，平行四边形的对边平行
【分析】先根据作图步骤画出图形，作法一根据三角形中位线的性质证明即可，作法二根据平行四边形的性质证明即可．
【详解】作法一：如图

证明：∵，，
∴（三角形的中位线定理）
作法二：如图

证明：连接，

∵，，
∴四边形是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）
∴（平行四边形的对边平行）
故答案是，，三角形的中位线定理，，，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，平行四边形的对边平行．
【点睛】本题主要考查了尺规作图，三角形的中位线的性质，平行四边形的判定和性质，解题的关键是根据作法正确作图，并明确作图的依据．
20．(1)证明见解析
(2)当时，方程的根是（答案不唯一）

【分析】（1）根据根的判别式即可证明；
（2）先根据方程至少有一个正整数根，求出，在此范围内取，即可求出方程的根．
【详解】（1）∵，
∴该方程总有两个不相等的实数根．
（2）∵，
∴．
∵方程至少有一个正整数根，
∴．
∴．
当时，一元二次方程可化为，
解得：．
【点睛】本题主要考查了根的判别式以及一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程的根的情况之间的关系是解题的关键．
21．(1)证明见解析；
(2)

【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再利用直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到，即可证明四边形是菱形；
（2）根据菱形的性质，证明四边形是平行四边形，再根据30度角所对的直角边等于斜边一半，推出，进而证明四边形是菱形，然后利用勾股定理，求得的长，即可求出的长．
【详解】（1）证明：，，
四边形是平行四边形，
在中，，点D为的中点，
，
四边形是菱形；
（2）解：四边形是菱形，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
四边形是菱形，
，，，
在中，，
．
  
【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，直角三角形的特征，勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定和性质是解题关键．
22．(1)②
(2)，，
(3)A，A的方差小于B的方差．

【分析】（1）抽样时应当尽量避免主观因素的影响据此即可解答；
（2）根据平均数、中位数、众数的定义求解即可；
（3）根据方差的意义即可解答．
【详解】（1）解：抽样时应当尽量避免主观因素的影响，则②符合题意．
故答案为②．
（2）解：A品种花生仁的平均数为：；
A品种花生仁的样本中13出现了10次，次数最多，则众数为；
B品种花生仁的样本有30个数据，从小到大排列处于中间为第15和第16的数据分别是17,18，则中位数为．
（3）解：由于菜品质量要求，花生仁大小要均匀，即数据波动小，方差小；因为A品种花生仁的方差1.4小于B品种花生仁的方差,则应选A．
故答案为：A，A的方差小于B的方差．
【点睛】本题主要考查了抽样调查、平均数、中位数、众数、方差等知识点，理解平均数、中位数、众数、方差的意义是解答本题的关键．
23．(1)一次函数的解析式；
(2)．

【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）根据题意列出关于m的不等式即可求解．
【详解】（1）解：∵一次函数的图象过点，
∴把代入得：，
解得：，
∴一次函数的解析式；
（2）解：由（1）得：一次函数的解析式，
当时，，
当时，对于x的每一个值，一次函数的值大于一次函数的值，
∴，
把代入得：，
∴，即，
∵，
∴，即．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，灵活掌握所学知识是解题关键．
24．(1)证明见解析；
(2)；

【分析】（1）根据中位线的定理得到，再根据直角三角形的性质得到即可解答；
（2）连接，设根据锐角三角形函数得到，再根据中位线定理及平行线分线段成比例得到即可解答．
【详解】（1）解：连接，
∵是的直径，
∴，，点是中点，
∵点是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵为半径，
∴是的切线；
  
（2）解：连接，
∵是的直径，
∴，，点是中点，
∵点是的中点，
∴是的中位线，
∴，，
∴，
∴，
∵，是的切线，
∴在中，，
∴，
设，
∴，
∵，
∴，，
∴．
  
【点睛】本题考查了中位线定理，直角三角形的性质，切线的判定与性质，锐角三角函数，掌握切线的判定与性质是解题的关键．
25．(1)；
(2)图象见解析
(3)

【分析】（1）把代入即可求出，然后利用矩形面积公式即可求出S与a的关系式；
（2）在平面直角坐标系中，描出表中各组数值对应的点，并画出该函数的图象即可；
（3）根据图象的顶点坐标即可得出答案．
【详解】（1）∵，
∴．
当时，，
∴．
∴．
故答案是；．
（2）正确画出该函数的图象，如下图：

（3）结合函数图象可得到，时，取得最大值，
∴的长约为时，矩形面积最大．
故答案是．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
26．(1)直线
(2)或
(3)或

【分析】（1）根据点在抛物线上，求出，代入对称轴公式即可求出对称轴；
（2）先确定抛物线顶点坐标为，然后分和两种情况分别讨论即可得出结论；
（3）先计算出，再由确定，然后分和两种情况分别讨论即可得出结论；．
【详解】（1）∵点在抛物线上，
∴．
∴．
∴．
∴抛物线的对称轴为直线．
（2）∵抛物线的对称轴为直线，，
∴．
∴抛物线顶点坐标为．
∵点在抛物线上，，
∴当时，，解得；
当时，，解得．
综上所述，或．
（3）当时，，
当时，，
∴．
∵，
∴．
∴当时，．
∴．
∴当时，．
∴．
∴或．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用二次函数的性质解决问题是解题的关键．
27．(1)
(2)补全图形见解析；；证明见解析

【分析】（1）证明得出，再利用三角形外角的性质得出；
（2）先根据题意补全图形，在上截取，连接，，证明，得出，，再证明，最后利用平行线分线段成比例定理得出．
【详解】（1）∵是等边三角形，
∴，．
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
即．
（2）补全图形，如下图：

猜想，理由如下：
在上截取，连接，，
∵，
∴ 是等边三角形，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，，
∴．
即．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∵，，
∴．
∴．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质以及平行线分线段成比例定理，熟练掌握相关定理，正确作出辅助线是解题的关键．
28．(1)；

(2)，．


【分析】（1）根据题意，找出符合题意的圆，再利用切线的性质求出线段长度即可；
（2）圆外一点与圆上一点距离，当三点共线时，有最大和最小值．
【详解】（1）如图，关于的“关联正方形”上的所有的点在以和点为圆心，为半径，以，和，为半径的五个圆上及圆内，由直线上存在点在关于的“关联正方形”上，
  
①当直线与相切时，设切点为，交轴于点，交轴于点
∵，
∴，
∴，此时；
②当直线与相切时，设切点为，交轴于点，
∵，
∴，此时，
综上所述，．
（2）如图，当时，取最小值，即点在点正上方时，
  
故有，解得：；
如图，
  
由上可知：，取最小值，
∴，
由勾股定理得：，
∴，
故写：．
【点睛】本题考查了圆的切线，有关计算，解题的关键是灵活运用圆的性质，涉及圆的最值问题难度较大．