2022年广东省东莞市清溪镇中考一模数学试卷（含解析）

2022年广东省东莞市清溪镇中考一模数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．的相反数是（　　）

A．2022 B． C． D．

2．地球上的陆地面积约为平方公里，把用科学记数法表示正确的是（    ）

A． B． C． D．

3．如图是一个空心圆柱体，其主视图是（　　）

A． B．

C． D．

4．下列运算正确的是(　　）

A．  B．  C．  D．

5．如图，直线，直线，若，则（    ）

A． B． C． D．

6．一组数据2，4，x，6，8的众数为2，则这组数据的中位数为 （    ）

A．2 B．4 C．6 D．8

7．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是(　　)

A．  B．  C．且 D．且

8．如图，是的直径，若，∠D=60°，则长等于（　　）

A．4 B．5 C． D．

9．如图，等边三角形中，将边逐渐变成以为半径的，其他两边的长度不变，则的度数大小由60变为（　　）

A． B． C． D．

10．如图，已知点A，B在反比例函数的图象上，点P沿C→A→B→O的路线(图中“→”所示路线)匀速运动，过点P作PM⊥x轴于点M，设点P的运动时间为t，POM的面积为S，则S关于t的函数图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

二、填空题

11．的系数是________.

12．分解因式：8a﹣2a3＝______．

13．不等式组的所有整数解的和为___________．

14．如图，某科技兴趣小组在操场上活动，此时无人机在离地面的点处，无人机测得操控者的俯角为，测得点处的俯角为．又经过人工测量操控者和教学楼之间的水平距离为，教学楼的高度________．（注：点，，，在同一平面上，参考数据：，结果保留整数）

15．如图，在边长为4的正方形中，点E是边上的动点（点E不与B，C重合），连接，过点B作于点F，点G是点C关于直线的对称点，连接，，则当取得最小值时，的面积是____________．

三、解答题

16．计算：．

17．先化简，再求值：，其中

18．如图，四边形ABCD是平行四边形，AC为对角线．

(1)尺规作图：请作出AC的垂直平分线，分别交AD，BC，AC于点E，F，G，连接CE，AF．不写作法，保留作图痕迹；

(2)请判断四边形AFCE的形状，并说明理由．

19．某校数学社团活动小组进行“用数据谈生活节水”的项目研究，从该学校随机抽取部分学生所在的家庭进行月用水量x（单位：立方米）调查，绘制如下不完整的统计图表：

请根据图表提供的信息，回答下列问题：

(1)直接写出m，n的值，并补全频数分布直方图；

(2)数学社团活动小组从用水量为5≤x＜10立方米的甲，乙，丙，丁4户家庭中随机抽取2户进行采访，恰好选中甲和乙两户家庭的概率是多少？

20．如图，平行四边形ABCD放置在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，0），B（﹣6，0），D（0，3），点C在反比例函数y的图象上．

（1）直接写出点C坐标，并求反比例函数的表达式；

（2）将平行四边形ABCD向上平移得到平行四边形EFGH，使点F在反比例函数y的图象上，GH与反比例函数图象交于点M．连结AE，求AE的长及点M的坐标．

21．由于新冠肺炎疫情暴发，某公司根据市场需求代理A、B两种型号的空气净化器，每台A型净化器比每台B型净化器进价多200元，用5万元购进A型净化器与用4.5万元购进B型净化器的数量相等．

(1)求每台A型、B型净化器的进价各是多少元？

(2)公司计划购进A、B两种型号的净化器共50台进行试销，其中A型净化器为m台，购买资金不超过9.8万元，试销时A型净化器每台售价2500元，B型净化器每台售价2180元，公司决定从销售A型净化器的利润中按每台捐献75元作为公司帮扶疫区贫困居民，设公司售完50台净化器并捐献扶贫资金后获得的利润为W，求W的最大值．

22．如图1，为直径，与相切于点A，C为上一点，连接，若．

(1)求证：为的切线；

(2)如图2，在图1的基础上，过点B作交延长线于点E，连接交于点F，若，求的长．

23．已知：如图，在矩形ABCD中，在上取一点点是边上的一个动点，以为一边作菱形使点落在边上，点落在矩形内或其边上．若的面积为

(1)当四边形EFMN是正方形时，求x的值；

(2)当四边形EFMN是菱形时，求S与x的函数关系式；

(3)当x=___________时，的面积S最大：当x=___________时，的面积S最小；

(4)在的面积S由最大变为最小的过程中，请直接写出点M运动的路线长．

参考答案：

1．A

【分析】只有符号不同的两个数叫做互为相反数，根据定义即可得到答案．

【详解】解：的相反数是，

故选：A．

【点睛】此题考查了相反数，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．

2．C

【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数．

【详解】解：148000000用科学记数法表示为：，

故选C．

【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

3．B

【分析】找到从前面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．

【详解】解：从前面观察物体可以发现：它的主视图应为矩形，

又因为该几何体为空心圆柱体，故中间的两条棱在主视图中应为虚线，

故选：B．

【点睛】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图；注意看得到的棱画实线，看不到的棱画虚线．

4．B

【分析】根据同底数幂的乘法、除法法则、幂的乘方法则、合并同类项法则逐项判断即可．

【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，不符合题意；

B、，正确，符合题意；

C、，原计算错误，不符合题意；

D、，原计算错误，不符合题意．

故选：B．

【点睛】本题主要考查幂的乘方、同底数幂的乘法和除法运算法则、合并同类项等知识点．掌握各运算法则是解题关键．

5．B

【分析】根据平行线的性质及垂直的意义可进行求解．

【详解】解：∵直线，，

∴，

∵直线，

∴．

∴．

故选：B．

【点睛】本题主要考查平行线的性质及垂直的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．

6．B

【分析】先根据众数的概念求出x，再根据中位数的概念进行求解即可.

【详解】∵数据2，4，x，6，8的众数为2，

∴，

则数据重新排列为2、2、4、6、8，

所以中位数为4，

故选B．

【点睛】本题考查了众数和中位数的概念，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数，熟练掌握其性质是解决此题的关键．

7．C

【分析】根据一元二次方程的定义，以及一元二次方程根的判别式得出不等式组，解不等式组即可求解．

【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，

∴且，即，

解得且．

故选：C．

【点睛】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．

8．D

【分析】根据圆周角定理得出，，求出，根据含度角的直角三角形的性质求出，再根据勾股定理求出即可．

【详解】解：∵是的直径，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

故选：D．

【点睛】本题考查了圆周角定理和直角三角形的性质，熟练应用圆周角定理是解此题的关键．

9．A

【分析】设的度数为，根据弧长的计算公式把已知条件代入计算即可．

【详解】解：设的度数大小由60变为，

则，由，

解得，，

故选A．

【点睛】本题考查的是弧长的计算和等边三角形的性质，掌握弧长的计算公式是解题的关键．

10．D

【分析】分点P在AC、曲线AB、OB上三种情况讨论，分别讨论出函数类型即可得出答案．

【详解】解：当P在CA上时，

∵△OMP的底OM不变，高PM变化，

∴这部分对应的函数图像类型为一次函数；

当P在曲线AB上时，

∵为定值，

∴△OMP的面积不变，

∴该部分对应的图像为平行于x轴的线段；

当P在OB上时，

∵△OMP的底OM和高PM都在变化，

∴这部分对应的函数图像类型为二次函数；

故选：D．

【点睛】本题考查动点问题的函数图像，关键是要根据动点的坐标位置判断出对应的函数类型．

11．

【分析】根据单项的系数即为单项式的数字因数，解答即可．

【详解】解：的系数是．

故答案为：．

【点睛】本题考查了单项式系数的概念，熟记定义是解本题的关键．

12．2a（2+a）（2﹣a）

【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．

【详解】解：原式＝2a（4﹣a2），

＝2a（2+a）（2﹣a）．

故答案为：2a（2+a）（2﹣a）．

【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，准确分析化简是解题的关键．

13．0

【分析】分别求出不等式组中的每一个不等式的解，再取它们的公共部分，最后取正整数解即可．

【详解】解：

,

,

,

符合条件的整数解：,

故答案为0．

【点睛】本题主要考查求不等式组的特殊解，熟练掌握解不等式组的基本步骤，求出不等式组的解，是解题的关键．

14．15

【分析】过点D作于点E，过点C作于点F，由锐角三角形函数的定义得到，接着求出，再求出，即可解决问题．

【详解】如图：

过点D作于点E，过点C作于点F，则四边形是矩形，

由题意得：，，

在中，

四边形是矩形

在中，

故答案为：15．

【点睛】本题考查了直角三角形的应用中仰角、俯角问题，正确做出辅助线构造直角三角形是解题关键．

15．

【分析】由，可知F点在以为直径的半圆上，连接，延长交于点M，再由点G是点C关于直线的对称点，可得，则当O、F、C三点共线时，取最小值，此时也取最小值；连接，取的中点N，可得，再由，求出，连接交的延长线于点M，可证明，则，由对称性可知，，可得，过点G作交于点K，由，求出，则G点的距离为，再求即可．

【详解】解：∵，

∴，

∴F点在以为直径的半圆上，

连接，延长交于点M，

∵点G是点C关于直线的对称点，

∴，

当O、F、C三点共线时，取最小值，此时也取最小值，

连接，取的中点N，

∴，

∴，即，

∵，

∴，

∴，

∴，

解得，

∴，

∴，

∵，

由面积相等得：

∴，

连接交的延长线于点M，

∴，

∵，

∴，

∴，

由对称性可知，，

∴，

过点G作交于点K，

∵，

∴

∵

∴，

∴G点的距离为，

∴，

故答案为：．

【点睛】本题考查正方形的综合应用，熟练掌握正方形的性质，直角三角形的性质，轴对称的性质，点与圆的位置关系是解题的关键．

16．2

【分析】先由绝对值运算、特殊角的三角函数值运算、负整数指数幂运算及零整数指数幂运算分别求解，再结合实数混合运算法则求解即可得到答案．

【详解】解：

．

【点睛】本题考查实数混合运算，涉及绝对值运算、特殊角的三角函数值、负整数指数幂运算、零整数指数幂运算、二次根式运算及实数混合运算法则等，熟练掌握相关运算法则是解决问题的关键．

17．；

【分析】根据分式的化简，通过通分、约分化简得到的式子，把代入求值即得．

【详解】原式

，

把代入得

原式．

【点睛】考查分式的化简求值，化简中用到因式分解、约分，注意因式分解，约分符号问题，最后使得式子最简．

18．(1)见解析

(2)四边形AFCE为菱形．理由见解析

【分析】（1）根据题意作出AC的垂直平分线，分别交AD，BC，AC于点E，F，G，连接CE，AF；

（2）根据作图以及已知条件可得，证明，可得EG＝FG ，可得AC与EF互相垂直平分，根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形即可证明四边形AFCE为菱形．

【详解】（1）如图，EF为所作；

（2）四边形AFCE为菱形．

理由如下：

∵EF垂直平分AC，

∴AG＝CG，

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴ADBC，

∴∠EAG＝∠FCG，

在△AGE和△CGF中，

，

∴△AGE≌△CGF（ASA），

∴EG＝FG，

∴AC与EF互相垂直平分，

∴四边形AFCE为菱形．

【点睛】本题考查了用尺规作垂直平分线、平行四边形的性质和菱形的判定，掌握垂直平分线的性质，菱形的判定是解题的关键．

19．(1)，，频数分布直方图见解析

(2)

【分析】（1）求出该学校随机抽取的学生所在的家庭户数，即可解决问题；

（2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲和乙两户家庭的结果有2种，再由概率公式求解即可．

【详解】（1）解：（1）该学校随机抽取的学生所在的家庭户数为：（户，

，，

补全频数分布直方图如下：

（2）画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲和乙两户家庭的结果有2种，

恰好选中甲和乙两户家庭的概率为．

【点睛】本题考查的是树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适用两步或两步以上完成的事件．注意：概率所求情况数与总情况数之比．也考查了频数分布表和频数分布直方图．

20．（1）；（2），

【分析】（1）由与的坐标求出的长，根据四边形为平行四边形，求出的长，进而确定出坐标，设反比例解析式为，把坐标代入求出的值，即可确定出反比例解析式；

（2）根据平移的性质得到与横坐标相同，代入反比例解析式求出纵坐标得到平移的距离，即为的长，求出纵坐标，即为纵坐标，代入反比例解析式求出横坐标，即可确定出坐标．

【详解】解：（1）中，，，，

，，

，

设反比例解析式为，把坐标代入得：，

则反比例解析式为；

（2），

把代入反比例解析式得：，即，

平行四边形向上平移2个单位，即，

，

把代入反比例解析式得：，即．

【点睛】本题考查了平行四边形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，以及待定系数法求反比例函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法．

21．(1)每台A型净化器的进价是2000元，每台B型净化器的进价是1800元；

(2)20800元．

【分析】（1）设每台B型净化器的进价是x元，则每台A型净化器的进价是元，根据数量=总价÷单价结合用5万元购进A型净化器与用4.5万元购进B型净化器的数量相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；

（2）由总价=单价×数量结合购买资金不超过9.8万元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，根据总利润=每台的利润×销售数量，即可得出W关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．

【详解】（1）设每台B型净化器的进价是x元，则每台A型净化器的进价是元，

依题意，得：，

解得：，

经检验，是原方程的解，且符合题意，

∴．

答：每台A型净化器的进价是2000元，每台B型净化器的进价是1800元．

（2）∵购进A型净化器m台，

∴购进B型净化器台，

又∵购买资金不超过9.8万元，

∴，

∴．

依题意：获得的利润，

∵，

∴W随m的增大而增大，

∴当时，W取得最大值，最大值．

答：W的最大值为20800元．

【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的性质，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式及一次函数关系式．

22．(1)见解析；

(2)．

【分析】（1）连接，由切线的性质得出，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论；

(2)设，过点E作于M，则，由勾股定理求出，求出的长，则可得出答案．

【详解】（1）连接，

∵与相切于点A，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

又为半径，

∴为的切线；

（2）设，

∵，

∴为的切线，

∴为的切线，

∴，

∴，

过点E作于M，则，

在中，，

解得，

∴，

∴，

∵是直径，且，

∴，

又∵，

∴，

∴，

∴．

【点睛】本题考查了切线的判定与性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质,勾股定理,相似三角形的判定与性质等知识；正确的作出辅助线是解题的关键．

23．(1)

(2)

(3)

(4)

【分析】（1）只需证明即可得出结论．

（2）如图2所示：过点作于点连结由证明

进而即可得出结果．

（3）①如图所示，当点和点重合时，取最小值，故此时最大，在中，即可得出最大，②如图所示，当点在线段上时，取最大值，故此时最小，由得出所以在中，根据勾股定理可知得出即可得出．

（4）如图所示，在的面积由最大值变为最小的过程中，点的运动轨迹是平行的线段，即点运动的路线长的长，即可得出结论．

【详解】（1）如图1所示：

      （图1）

∵四边形EFMN是正方形，

（2）如图2所示：过点作于点连结

∵四边形EFMN是菱形，

（3）由表达式可知，当取最小值时，最大．

如图所示，当点和点重合时，取最小值，故此时最大．

∴在中，

同理，由表达式可知，当取最大值时，最小．

如图所示，当点在线段上时，取最大值，故此时最小．

根据矩形和菱形的对称性可知：

在中，

（4）如图所示，在的面积由最大值变为最小的过程中，点的运动轨迹是平行的线段，

即点运动的路线长的长

故答案为：

【点睛】本题主要考查了四边形综合题，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积，一次函数的应用等知识，寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题是解此题的关键．