2023年青海省西宁市中考二模数学试题（含解析）

这是一份2023年青海省西宁市中考二模数学试题（含解析），共26页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年青海省西宁市中考二模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．下列实数中，是负数的是（    ）
A． B． C．0 D．
2．如图所示几何体是由一个球体和一个圆柱组成的，它的俯视图是（    ）

A． B． C． D．
3．下列调查中，适宜采用抽样调查的是（    ）
A．调查某班学生的身高情况
B．调查亚运会100m游泳决赛运动员兴奋剂的使用情况
C．调查某批汽车的抗撞击能力
D．调查一架“歼10”隐形战斗机各零部件的质量
4．下列计算正确的是（    ）
A． B．
C． D．
5．如图，已知是的直径，是的弦，，垂足为．若，则的余弦值为（    ）

A． B． C． D．
6．如图，的顶点，点在轴的正半轴上．以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，交于点；分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内相交于点；画射线，交于点，则点A的坐标为（    ）

A． B． C． D．
7．如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，点在轴上．若四边形是正方形，且面积为9，则的值为（    ）
  
A．11 B．15 C． D．
8．如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，直线经过点．以下结论中错误的是（    ）

A．
B．关于的方程有两个解是
C．若，则
D．关于的不等式的解集是

二、填空题
9．的相反数是_____________．
10．计算（﹣xy2）3＝_____．
11．计算：__________．
12．若是方程的两个实数根，则的值______________．
13．为了解某种电动汽车一次充电后行驶的里程数，抽检了10辆车，对一次充电后行驶的里程数进行了统计，结果如图所示．这组数据的中位数是____________．

14．如图，正方形格点图中，点A、B、C、D、E、F均在格点上，若以D、E、F为顶点的三角形与△ABC全等，请写出一个满足条件的F点坐标___________．

15．如图，在菱形中，对角线相交于点，点是边的中点，若，，则____________．

16．在平面直角坐标系中，两点的坐标分别为，点在轴上，且使线段的值最小，则点的坐标是___________．
17．如图，用一个半径为的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点旋转了，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了_____．

18．已知△ABC中，AB=10，AC=2，∠B=30°，则△ABC的面积等于_____．

三、解答题
19．计算：．
20．解不等式组．
21．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求a的取值范围；
（2）若a为正整数，求方程的根．
22．圆周率是无限不循环小数，中国古代数学家对圆周率的研究做出了重大贡献．历史上，我国数学家张衡、刘徽、祖冲之都对有过深入研究．有研究发现：随着小数部分位数的增加，0～9这10个数字出现的频率趋于稳定并接近相同．
(1)从的小数部分随机取出一个数字，估计是数字8的概率为___；
(2)某校进行数学活动的环境布置，需要两位数学家的画像，现从张衡，刘微，祖冲之3幅数学家的画像中随机选取2幅，请用画树状图或列表的方法求其中有1幅是祖冲之的概率，并列出所有等可能的结果．
23．如图，在四边形中，，点在上，，过点作，垂足为．

(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，求的度数．
24．某品牌汽车销售店销售某种品牌的汽车，每辆汽车的进价16（万元）．当每辆售价为22（万元）时，每月可销售4辆汽车．根据市场行情，现在决定进行降价销售．通过市场调查得到了每辆降价的费用（万元）与月销售量（辆）（）满足某种函数关系的五组对应数据如下表：

4
5
6
7
8

0
0.5
1
1.5
2
(1)请你根据所给材料和初中所学的函数知识写出与的关系式________；
(2)每辆原售价为22万元，不考虑其它成本，降价后每月销售利润y=(每辆原售价--进价)x，请你根据上述条件，求出月销售量为多少时，销售利润最大？最大利润是多少？
25．如图，在中，，，在上截取，过点作于点，连接AD，以点为圆心、的长为半径作．

(1)求证：是⊙A的切线；
(2)若，，求的长．
26．【问题背景】数学综合实践课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论：如图1，已知是的角平分线，可证．

请将小慧的证明过程补充完整：
证明：过点作，交的延长线于点
∴  
又∵∠_____∠______（           ）
∴△__________△_________（    ）
∴（相似三角形的对应边成比例）
∵平分 ，
∴，
又∵  ，
∴∠________∠__________，
∴（等角对等边），
∴；
【解决问题】如图2，在中，，点在边上，连结，将沿所在直线折叠，点恰好落在边上的点处．若，，求的长．
27．如图，二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点，且顶点的坐标为，对称轴与直线交于点，与轴交于点，连接．
  
(1)求二次函数的解析式；
(2)点在上方二次函数图象上，且的面积等于6，求点的坐标；
(3)在二次函数图象上是否存在一点，使得？若存在，求出直线与轴的交点的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案：
1．A
【分析】先去括号和绝对值，将各数化简之后即可得出哪个是负数．
【详解】解：，，
∴只有是负数，
故选：A．
【点睛】本题考查了负数的定义、实数的分类和绝对值的化简，掌握实数的分类是解题的关键．
2．C
【分析】根据俯视图的意义和画法可以得出答案．
【详解】根据俯视图的意义可知，从上面看物体所得到的图形，选项C符合题意，
故答案选：C．
【点睛】本题主要考查组合体的三视图，注意虚线、实线的区别，掌握俯视图是从物体的上面看得到的视图是解题的关键．
3．C
【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．
【详解】解：A．调查某班学生的身高情况，适合全面调查，故本选项不符合题意；
B．调查亚运会100m游泳决赛运动员兴奋剂的使用情况，适合全面调查，故本选项不符合题意；
C．调查某批汽车的抗撞击能力，适合抽样调查，故本选项符合题意；
D．调查一架“歼10”隐形战斗机各零部件的质量，适合全面调查，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
4．C
【分析】根据零指数幂，负整数指数幂，单项式除以单项式，平方差公式进行计算即可求解．
【详解】A. 当时，，故该选项不正确，不符合题意；    
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项正确，符合题意；    
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，单项式除以单项式，平方差公式，熟练掌握零指数幂，负整数指数幂，单项式除以单项式，平方差公式是解题的关键．
5．B
【分析】先根据垂径定理求出，再根据余弦的定义进行解答即可．
【详解】解：∵是的直径，．
∴，，，
∴．
故选：B．
【点睛】此题考查的是垂径定理，锐角三角函数的定义，熟练掌握垂径定理，锐角三角函数的定义是解答此题的关键．
6．A
【分析】由题意可设点，然后可得，进而根据勾股定理可进行求解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
由作图可知平分，
∴，
∴，
∴，
由点可设，
∴，
∴，
解得：，
∴；
故选：A．
【点睛】本题主要考查勾股定理、平行四边形的性质及图形与坐标，熟练掌握勾股定理、平行四边形的性质及图形与坐标是解题的关键．
7．B
【分析】根据正方形性质求出、纵坐标，利用图形即可求出横坐标，最后将点代入反比例函数中即可求出答案.
【详解】解：四边形是正方形，且面积为9，
，
的纵坐标为3，的纵坐标为3.
点在反比例函数的图象上，
的横坐标为：，
的横坐标为：.
.
点在反比例函数的图象上，
.
故选：B.
【点睛】本题考查了反比例函数的几何意义，熟练掌握反比例函数的几何意义是解题的关键.
8．D
【分析】根据函数与x轴有两个交点可知；根据抛物线与一次函数图象的交点横坐标可得关于方程的解；先根据抛物线与轴的交点得到抛物线的对称轴，再结合函数图象可知的解集；结合函数图象可得不等式的解集．
【详解】A.根据函数与x轴有两个交点可知；
故A说法正确；
B.根据抛物线与一次函数图象的交与B、C两点，可得关于方程的解为；
故B说法正确；
C.抛物线与轴交于点，
∴对称轴为，
点C关于对称轴的对称点横坐标为4，
∴当时，则；
故C说法正确；
D.由图象可知，关于的不等式的解集是或．
故D选项说法错误，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，利用数形结合的思想是解题的关键．
9．
【分析】根据相反数的定义求解即可．
【详解】解：的相反数是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了相反数的定义，求一个数的相反数，熟知只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0是解题的关键．
10．﹣x3y6
【分析】直接利用积的乘方运算法则计算得出答案．
【详解】原式=﹣x3•y6=﹣x3y6．
故答案为：﹣x3y6．
【点睛】本题考查了积的乘方运算，正确掌握运算法则是解题的关键．
11．
【分析】根据分式的乘法运算法则即可解答．
【详解】解：，
故答案为；
【点睛】本题考查了分式的乘法运算法则，熟记分式的乘法运算法则是解题的关键．
12．2023
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可进行求解．
【详解】解：由是方程的两个实数根可得：，
∴；
故答案为：2023．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
13．215
【分析】根据中位数的定义进行解答即可．
【详解】解：共有10个数据，故中位数是第5、6位的平均数，
由条形图可知：第5位数据是：210，第6位数据是：220，
故中位数是：．
故答案为：215．
【点睛】此题考查了中位数的定义，根据题目的条件找到正确的中位数是解题的关键．
14．（4，-2）（答案不唯一）

【分析】三角形的各个顶点都在格点上，所以任意长度都可用勾股定理计算得出，本题可以采用“三边对应相等”或“两组对应边及夹角相等”进行判定三角形全等．
【详解】根据图中可以判断∠CAB=45°+90°=135°，且AB边等于两格长度，如下图中找出符合条件的F点，构造全等三角形，由图可知，符合条件的F点有四个，坐标是：（4，-2），（2，-4），（-1，-1），（1，1）．

故答案为：（4，-2）（答案不唯一）
【点睛】本题考查了三角形全等的判定，在网格中判定三角形全等一般采用的判定是SSS或SAS，根据图形特点进行灵活选择是解题的关键．
15．3
【分析】由菱形的性质及直角三角形斜边中线定理可进行求解．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∵，
∴，
在中，点是边的中点，
∴；
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查菱形的性质、等边三角形的性质与判定及直角三角形斜边中线定理，熟练掌握菱形的性质、等边三角形的性质与判定及直角三角形斜边中线定理是解题的关键．
16．
【分析】作点B关于x轴的对称点，根据题意得到当点，P，A三点共线时，的值最小，即的长度，然后求出直线的表达式，即可求出点P的坐标．
【详解】如图所示，作点B关于x轴的对称点，

∴，
∴，
∴当点，P，A三点共线时，的值最小，即的长度，
∵点B的坐标为，
∴点的坐标为，
∴设直线的表达式为，
∴将，代入得，，
∴解得，
∴，
∴当时，即，解得，
∴点P的坐标为．
故答案为：．
【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，会待定系数法求函数解析式是解题的关键．
17．/厘米
【分析】利用题意得到重物上升的高度为定滑轮中所对应的弧长，然后根据弧长公式计算即可．
【详解】解：根据题意，重物的高度为
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了弧长公式：(弧长为，圆心角度数为，圆的半径为)．
18．15或10
【分析】作AD⊥BC交BC（或BC延长线）于点D，分AB、AC位于AD异侧和同侧两种情况，先在Rt△ABD中求得AD、BD的值，再在Rt△ACD中利用勾股定理求得CD的长，继而就两种情况分别求出BC的长，根据三角形的面积公式求解可得．
【详解】解：作AD⊥BC交BC（或BC延长线）于点D，
①如图1，当AB、AC位于AD异侧时，

在Rt△ABD中，∵∠B=30°，AB=10，
∴AD=ABsinB=5，BD=ABcosB=5，
在Rt△ACD中，∵AC=2，
∴CD=，
则BC=BD+CD=6，
∴S△ABC=•BC•AD=×6×5=15；
②如图2，当AB、AC在AD的同侧时，

由①知，BD=5，CD=，
则BC=BD-CD=4，
∴S△ABC=•BC•AD=×4×5=10．
综上，△ABC的面积是15或10，
故答案为15或10．
【点睛】本题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握三角函数的运用、分类讨论思想的运算及勾股定理．
19．
【分析】根据绝对值的性质、特殊角的三角函数值，有理数的乘方运算法则即可解答．
【详解】解：

；
【点睛】本题考查了绝对值的性质，特殊角的三角函数值，有理数的乘方运算法则，掌握绝对值的性质及有理数的乘方运算法则是解题的关键．
20．．
【分析】先分别求出两个不等式的解，再找出它们的公共部分即为不等式组的解集．
【详解】解：，
解不等式①得，，
解不等式②得，，
则不等式组的解集为．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题关键．
21．（1）a＜；（2）
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式Δ=b2-4ac＞0，即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围；
（2）由（1）的结论结合a为正整数，即可得出a=1，将其代入原方程，再利用公式法解一元二次方程，即可求出原方程的解．
【详解】解：（1）∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴＞0，
解得a＜，
∴的取值范围为a＜．
（2）∵a＜，且a为正整数，
∴，代入，
此时，方程为．
∴解得方程的根为
【点睛】本题考查了根的判别式以及公式法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）利用因式分解法求出方程的两个根．
22．(1)
(2)，见解析

【分析】（1）由题意得出从的小数部分随机取出一个数字共有10种等可能结果，其中出现数字8的只有1种结果，利用概率公式求解即可；
（2）将祖冲之、刘徽、韦达三位数学家分别记作甲、乙、丙，列表得出所有等可能结果及符合条件的结果数，根据概率公式求解即可．
【详解】（1）解：随着小数部分位数的增加，这10个数字出现的频率趋于稳定，
从的小数部分随机取出一个数字共有10种等可能结果，其中出现数字8的只有1种结果，
从的小数部分随机取出一个数字，估计是数字8的概率为，
故答案为：；
（2）解：列表如下：





——




——




——
共有6种等可能的情况，其中有一幅是祖冲之的有4种结果，
其中有一幅是祖冲之的概率为．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出，再从中选出符合事件的结果数目，然后根据概率公式求出事件的概率．
23．(1)见解析
(2)

【分析】（1）先证明得到，则，再由，即可证明四边形是平行四边形；
（2）证明平分，则
【详解】（1）证明：∵，
∴和是直角三角形
在和中
∵  
∴
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵，
∴，
又∵，
∴平分，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，全等三角形的性质与判定，角平分线的判定等等，灵活运用 所学知识是解题的关键．
24．(1)；(2)月销售量为8辆时，销售利润最大，最大利润是32万元
【分析】(1)观察表格中数据可知，与的关系式为一次函数的关系，设解析式为，再代入数据求解即可；
(2)根据已知条件“每月销售利润y=(每辆原售价--进价)x”，求出y的表达式，然后再借助二次函数求出其最大利润即可．
【详解】解：(1)由表中数据可知，与的关系式为一次函数的关系，设解析式为，
代入点(4,0)和点(5,0.5)，
得到，解得，
故与的关系式为；
(2)由题意可知：降价后每月销售利润y=(每辆原售价--进价)x，
即：，其中，
∴是的二次函数，且开口向下，其对称轴为，
∴当时，有最大值为万元，
答：月销售量为8辆时，销售利润最大，最大利润是32万元．
【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式以及二次函数的应用，读懂题意，根据题中已知条件列出表达式是解决本题的关键．
25．(1)见解析
(2)

【分析】（1）过点作于，根据同旁内角互补证得，可证得，利用可证得，则可证得，根据切线的判定即可求证结论．
（2）根据角相等即可得，利用相似三角形的性质即可求解．
【详解】（1）过点作于，如图所示，

，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，且为的半径，
是的半径，
是的切线．
（2），
，
，
，，
，
，
，解得，
的长为．
【点睛】本题考查了切线判定、三角形全等的判定及性质、相似三角形的判定及性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质，切线的判定及相似三角形判定及性质是解题的关键．
26．；对顶角相等；；两角分别相等的两个三角形相似；；解决问题：
【分析】根据平行线的性质及对顶角相等得到，再利用相似三角形的性质及角平分线的定义，最后利用折叠的性质及勾股定理得到的长即可解答．
【详解】证明：过点作，交的延长线于点，
∴ ，
∵（对顶角相等）
∴（ 两角分别相等的两个三角形相似）
∴（相似三角形的对应边成比例）
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴（等角对等边），
∴；
故答案为：；对顶角相等；；两角分别相等的两个三角形相似；；
【解决问题】∵折叠得到，  
∴，
∴  ， ，
∴平分   ，
∴，
在中 ， ，，
∴，
设，
∴  ，
解得，
∴的长为．
【点睛】本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定与性质，角平分线的定义，全等三角形的性质，勾股定理，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
27．(1)
(2)
(3)存在，或

【分析】（1）由题意可设二次函数的解析式为，然后把点A的坐标代入求解即可；
（2）由题意可得，则可得直线的解析式为，然后可得，进而问题可求解；
（3）由题意可分①当在内部且时，令直线与轴的交点为点，②当在外部，且时，令直线与轴的交点为点，然后根据等腰直角三角形的性质及勾股定理可进行求解．
【详解】（1）解：设二次函数的解析式为设二次函数的解析式为，
把顶点代入，得，把点代入得：
，
∴，
∴二次函数的解析式为；
（2）解：∵，
∴，
设直线的解析式为，把的坐标代入，得，
解得，
∴直线的解析式为，
∵二次函数的对称轴是直线，
∴点的横坐标为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点的横坐标为，
∴，
∴；
（3）解：存在，理由如下：
∵点坐标为，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵抛物线的顶点，
∴两点关于直线对称，
∴点坐标为，
①当在内部且时，令直线与轴的交点为点，
∵，，
∴，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，
∴点的坐标为，
∴直线与轴的交点的坐标为；
  
②当在外部，且时，令直线与轴的交点为点，
∵，，
∴，即过点作的垂线与抛物线的交点为为则在中，，
∴
  
解得，
∴与轴的交点的坐标为，
综上所述，直线与轴的交点的坐标为或．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．