【期末满分攻略】2022-2023学年人教版八年级数学下册讲学案-专题12 等边三角形中的378和578模型（3大类型）（原卷版+解析版）

专题12  等边三角形中的378和578模型（3大类型）

【典例分析】

【典例1】在△ABC中，AB＝16，AC＝14，BC＝6，则△ABC的面积为（　　）

A．24 B．56 C．48 D．112

【答案】A

【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB于D，

在△ABC中，AB＝16，AC＝14，BC＝6，

∴设BD＝x，则AD＝16﹣x，

在△DBC与△ADC中，

∵CD2＝BC2﹣BD2＝AC2﹣AD2，

∴62﹣x2＝142﹣（16﹣x）2，

解得：x＝3，

∴CD＝3，

∴＝24．

故选：A

【变式1】已知直角三角形的两直角边分别为6和8，则该直角三角形斜边上的高为（　　）

A． B．10 C．5 D．

【答案】D

【解答】解：∵直角三角形的两直角边为6和8，

∴斜边长为：＝10，

设直角三角形斜边上的高是h，

∴×6×8＝×10×h，

解得：h＝．

故选：D

【典例2】已知在△ABC中，AB＝5，BC＝8，AC＝7，则∠B的度数为（　　）

A．30° B．45° C．60° D．70°

【答案】C

【解答】解：过A作AD⊥BC于D，设BD＝x，则CD＝8﹣x，

在Rt△ABD中，AD2＝AB2﹣BD2，

在Rt△ACD中，AD2＝AC2﹣CD2，

∵AB＝5，AC＝7，

∴25﹣x2＝49﹣（8﹣x）2，

解得：x＝，

∴BD＝2.5，

∵AB＝5，

∴AB＝2BD，

∴∠BAD＝30°

∴∠B的度数是60°．

故选：C．

【变式2-1】已知在△ABC中，AB＝7，AC＝8，BC＝5，则∠C＝（　　）

A．45° B．37° C．60° D．90°

【答案】C

【解答】解：过点A作AD⊥BC于D，如图所示：

设CD＝x，

则BD＝BC﹣CD＝5﹣x，

在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD2＝AB2﹣BD2，

在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD2＝AC2﹣CD2，

∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，

即：72﹣（5﹣x）2＝82﹣x2，

解得：x＝4，

∴CD＝4，

∴CD＝AC，

∴∠CAD＝30°，

∴∠C＝90°﹣30°＝60°，

故选：C．

【变式2-2】边长为5，7，8的三角形的最大角和最小角的和是（　　）

A．90° B．150° C．135° D．120°

【答案】D

【解答】解：如图，△ABC中，AB＝7，AC＝8，BC＝5，

过点A作AD⊥BC于D，

设CD＝x，

则BD＝BC﹣CD＝5﹣x，

在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD2＝AB2﹣BD2，

在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD2＝AC2﹣CD2，

∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，

即：72﹣（5﹣x）2＝82﹣x2，

解得：x＝4，

∴CD＝4，

∴CD＝AC，

∴∠CAD＝30°，

∴∠C＝90°﹣30°＝60°，

∴∠BAC+∠ABC＝180°﹣60°＝120°，

故选：D．

【典例3】在△ABC中，AB＝24，AC＝21，BC＝15，则△ABC的面积是 　   　．

【答案】

【解答】解：∵AB＝24，AC＝21，BC＝15，

∴P＝，

∴S△ABC＝

＝

＝．

故答案为：．

【变式3】当两个三角形的边长分别为3，7，8和5，7，8时，则这两个三角形的面积之和是 　    ．

【答案】16　

【解答】解：当三角形的边长为：3，7，8时，P＝，

∴S＝

＝

＝；

当三角形的边长为：5，7，8时，P＝，

∴S＝

＝

＝，

则两个三角形的面积之和为：．

故答案为：．

【夯实基础】

1．若一个等腰三角形的周长为16cm，一边长为6cm，则该等腰三角形的面积

为 　　       cm2．

【答案】8或12

【解答】解：当腰为6cm时，底边长＝16﹣6﹣6＝4cm，6，6，4能构成三角形，其他两边长为6cm，4cm，

∴等腰三角形的底边上的高为（cm），

∴该等腰三角形的面积为（cm2）；

当底为6cm时，三角形的腰＝（16﹣6）÷2＝5cm，6，5，5能构成三角形，其他两边长为5cm，5cm，

∴等腰三角形的底边上的高为（cm），

∴该等腰三角形的面积为（cm2）；

故答案为：8或12．

2．已知：在△ABC中，BC＝8，AC＝7，∠B＝60°，则AB为 　  　．

【答案】3或5

【解答】解：如图所示：作AD⊥BC交BC于点D，

则∠ADC＝90°．

∵∠B＝60°，

∴∠BAD＝30°．

设BD为x，则CD为（8﹣x），AB为2x．

∵sinB＝，AC＝7，

∴AD＝．

∴（x）2+（8﹣x）2＝72．

解得x1＝，x2＝．

∴当x＝时，AB＝2x＝3；

当x＝时，AB＝2x＝5．

故AB为3或5．

故答案为：3或5．

3．如图，△ABC为等边三角形，AB＝6，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE＝CD，过点D作DF⊥BE，垂足为F．

（1）求BD的长；

（2）求证：BF＝EF．

【解答】（1）解：∵BD是等边△ABC的中线，

∴BD⊥AC，BD平分AC，

∵AB＝6，

∴AD＝3，

∴由勾股定理得，BD＝＝3．

（2）证明：∵BD是等边△ABC的中线，

∴BD平分∠ABC，

∴∠DBE＝∠ABC＝30°，

又∵CE＝CD，

∴∠E＝∠CDE，∠E＝∠ACB＝30°．

∴∠DBE＝∠E，

∴DB＝DE．

∵DF⊥BE，

∴DF为底边上的中线．

∴BF＝EF．

4．如图，△ABC的边AB＝8，BC＝5，AC＝7．求BC边上的高．

【解答】解：作AD⊥BC于D，

由勾股定理得，AD2＝AB2﹣BD2，AD2＝AC2﹣CD2，

∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，即82﹣（5﹣CD）2＝72﹣CD2，

解得，CD＝1，

则BC边上的高AD＝＝4．

5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AC＝20，BC＝15．

求：（1）CD的长；

（2）AD的长．

【解答】解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得，

AB＝＝＝25，

∵CD⊥AB，

∴S，

∴CD＝＝12；

（2）在Rt△BDC中，由勾股定理得，

BD＝＝＝9，

AD＝25﹣9＝16．

6．如图，方格纸中小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点都在小正方形的格点上，求：

（1）边AC、AB、BC的长；

（2）求△ABC的面积；

（3）点C到AB边的距离．

【解答】解：（1）AC＝＝，

AB＝＝，

BC＝＝；

（2）△ABC的面积＝3×3﹣×1×2﹣×3×2﹣×1×3＝；

（3）点C到AB边的距离为h，

则×AB×h＝，即××h＝，

解得，h＝．

7．如图，在△ABC中，AC＝5，D为BC边上一点，且CD＝1，AD＝，BD＝4，点E是AB边上的动点，连接DE．

（1）求AB的长；

（2）当△BDE是直角三角形时，求AE的长．

【解答】解：（1）在△ACD中，

∵AC2＝25，CD2＝1，AD2＝26，

∴AC2+CD2＝AD2，

∴△ACD是直角三角形，且∠C＝90°，

∵BD＝4，

∴BC＝4+1＝5，

∴在Rt△ACB中，AB＝＝5，

∴AB＝5；

（2）∵AC＝BC＝5，∠C＝90°，

∴∠B＝45°，

∴△BDE是直角三角形需分两种情况分析：

①当∠BDE＝90°时，BD＝DE＝4，

∴在Rt△BDE中，BE＝＝4，

∴AE＝AB﹣BE＝5﹣4＝，

②当∠BED＝90°时，S△ABD＝AB•DE＝BD•AC，即5DE＝4×5，

解得：DE＝2，

∴BE＝DE＝2，

∴AE＝AB﹣BE＝5﹣2＝3；

综上所述，AE的长为或3．

8．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AC＝5，BC＝9，AD＝4，求AB的长．

【解答】解：∵AD⊥BC于D，AC＝5，BC＝9，AD＝4，

在Rt△ACD中，CD＝，

∴BD＝BC﹣CD＝6，

在Rt△ABD中，AB＝．

故AB的长度为：．

9．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，∠BCA＝60°，AC＝2，DA＝1，CD＝3．求四边形ABCD的面积．

【解答】解：∵∠B＝90°，∠BCA＝60°，AC＝2，

∴BC＝，

∴AB＝＝＝，

又∵DA＝1，CD＝3，AC＝2，

∴DA2+AC2＝12+（2）2＝1+8＝9＝CD2，

∴△ACD是直角三角形，

∴四边形ABCD的面积＝S△ACD+S△ABC＝AD•AC+AB•BC＝×1×2+××＝+．