2018北京师达中学初一（下）期末数学（教师版）

2018北京师达中学初一（下）期末

数    学

一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．

1．（2分）9的平方根是　　

A． B． C．3 D．

2．（2分）点所在的象限为　　

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．（2分）以下列各组长度的线段为边，能构成三角形的是　　

A．、、  B．、、 

C．、、  D．、、

4．（2分）下列各数中的无理数是　　

A． B． C． D．

5．（2分）下列调查中，最适合采用全面调查（普查）方式的是　　

A．对重庆市辖区内长江流域水质情况的调查 

B．对乘坐飞机的旅客是否携带违禁物品的调查 

C．对一个社区每天丢弃塑料袋数量的调查 

D．对重庆电视台“天天630”栏目收视率的调查

6．（2分）下列邮票中的多边形中，内角和等于的是　　

A． B．C． D．

7．（2分）若实数，，在数轴上对应位置如图所示，则下列不等式成立的是　　

A． B． C． D．

8．（2分）如图，在中，，，．点在边上，以为腰作等腰直角三角形，使，．若点由点运动到中点停止，则点运动的路程为　　

A．1 B． C． D．2

二、填空题（本题共16分，每小题2分）

9．（2分）如果的值是非正数，则的取值范围是______．

10．（2分）从方程组中得到与的关系式为______．

11．（2分）若已知点在轴上，则点到原点的距离是______．

12．（2分）等腰三角形一边等于5，另一边等于2，则周长是______．

13．（2分）算筹是中国古代用来记数、列式和进行各种数与式演算的一种工具．在算筹计数法中，以“立”，“卧”两种排列方式来表示单位数目，表示多位数时，个位用立式，十位用卧式，百位用立式，千位用卧式，以此类推．《九章算术》的“方程”一章中介绍了一种用“算筹图”解决一次方程组的方法．如图1，从左向右的符号中，前两个符号分别代表未知数，的系数．因此，根据此图可以列出方程：．请你根据图2列出方程组　　．

14．（2分）若一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是　　，这个多边形对角线有　　条．

15．（2分）在平面直角坐标系中，已知点，，，存在另一点，使和全等，写出所有满足条件的点的坐标 　　．

16．（2分）对于平面直角坐标系内的彼此都不重合的三点，，的“准矩形面积”，定义：是任意两点纵坐标之差的最大值，是任意两点横坐标之差的最大值，

规定：“准矩形面积” ．

已知：，，．

关于，，三点的“准矩形面积”为8，点的坐标为　　；关于，，三点的“准矩形面积”取最小值时的取值范围为　　．

三、解答题（本大题共6小题，17-22题每小题5分，共30分）

17．（5分）计算：．

18．（5分）解方程组：．

19．（5分）如图，已知．

（1）画的高（画图工具不限）；

（2）画中线（画图工具不限）；

（3）尺规作图：作的角平分线（保留作图痕迹，不写作法）．

20．（5分）如图，在平面直角坐标系中，已知．

（1）过点分别向轴和轴作垂线，垂足分别为，，则正方形的面积为　　；

（2）平移（1）中的三角形，若顶点平移后的对应点为，

①画出平移后的三角形；

②直接写出四边形的面积为　　．

21．（5分）如图，平分，为延长线上一点，交于点，，，求的度数．

22．（5分）已知：如图，点是线段的中点，，，求证：．

四、解答题（本大题共6小题，23-26题每题6分，27、28题每题7分，共38分）

23．（6分）阅读材料后解决问题

2016年北京市春季学期初中开放性科学实践活动共上线1009个活动项目，资源单位为学生提供了三种预约方式：自主选课、团体约课、送课到校，其中少年创学院作为首批北京市开放性科学实践平台入选单位，在2015年下半年就已经分别为北京教育学院附属丰台实验学校分校、清华大学附属中学永丰学校、北京市八一中学、中国人民大学附属中学等多所学校提供送课到校服务，并以高质量的创客课堂赢得大家的认可．

全市初一学生可以通过网络平台进行开放性科学实践平台选课，活动项目包括六个领域，：自然与环境，：健康与安全，：结构与机械，：电子与控制，：数据与信息，：能源与材料．

某区为了解学生自主选课情况，随机抽取了初一部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请根据统计图回答下列问题：

（1）扇形统计图中值为　 　．

（2）这次被调查的学生共有　 　人．

（3）请将统计图2补充完整．

（4）该区初一共有学生2700人，根据以上信息估计该区初一学生中选择电子与控制的人数．

24．（6分）如图，在中，，，是的平分线，延长至，使．求证：．

25．（6分）如果一元一次方程的根是一元一次不等式组的一个解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．

（1）在方程①，②，③中，不等式组的关联方程是　　；填序号

（2）若不等式组的一个关联方程的根是整数，则这个关联方程可以是　　；写出一个即可

（3）若方程，都是关于的不等式组的关联方程，直接写出的取值范围　　．

26．（6分）已知：在平面直角坐标系中，的顶点、分别在轴、轴上，且，．

（1）如图1，，，当点在第四象限时，则点的坐标为　　；

（2）如图2，若平分，交于，过作轴，垂足为，则与之间的数量关系是　　，并证明；

（3）如图3，当点在轴正半轴上运动，点在轴正半轴，点在第四象限时，作轴于点，试判断①与②中是定值（只填序号），定值为　　．

27．（7分）在中，

（1）如图1，为的角平分线，于，于，，，请补全图形，并直接写出与面积的比值　　；

（2）如图2，分别以的边、为边向外作等边三角形和，与相交于点，求证：；

（3）如图3，分别以的边、为边向外作等腰三角形和，，，，与相交于点，连接．若设，，则用表示为：　　．

28．（7分）已知，如图1，直线，线段，点在直线上，且，，，连接、，．

（1）写出的度数　　（可以用含的代数式表示）；

（2）如图2，当点在点下方，点在线段的延长线上，且，直线与交于点，试求的度数．

参考答案

一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．

1．【分析】根据平方根的含义和求法，可得9的平方根是：，据此解答即可．

【解答】解：9的平方根是：

．

故选：．

【点评】此题主要考查了平方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．

2．【分析】点横坐标为负，纵坐标为正，根据象限内点的符号，确定象限．

【解答】解：，，

点在第二象限，

故选：．

【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．

3．【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．

【解答】解：、，不能组成三角形，故此选项不合题意；

、，不能组成三角形，故此选项不符合题意；

、，不能组成三角形，故此选项不合题意；

、，能组成三角形，故此选项符合题意；

故选：．

【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．

4．【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．

【解答】解：、是分数，是有理数，选项错误；

、是无限循环小数，是有理数，选项错误；

、正确；

、是整数，是有理数，选项错误．

故选：．

【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数．

5．【分析】逐项分析四个选项中案例最适合的调查方法，即可得出结论．

【解答】解：、对重庆市辖区内长江流域水质情况的调查，

应采用抽样调查；

、对乘坐飞机的旅客是否携带违禁物品的调查，

应采用全面调查；

、对一个社区每天丢弃塑料袋数量的调查，

应采用抽样调查；

、对重庆电视台“天天630”栏目收视率的调查，

应采用抽样调查．

故选：．

【点评】本题考查了全面调查与抽样调查，解题的关键是逐项分析四个选项应用的调查方法．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，联系实际选择调查方法是关键．

6．【分析】根据边形的内角和公式为，由此列方程求边数即可得到结果．

【解答】解：设这个多边形的边数为，

则，

解得．

故选：．

【点评】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．

7．【分析】在数轴上，从左到右数值依次增大，可得，再由不等式的性质得出结果即可．

【解答】由数轴可得：，．．

由不等式的性质1：不等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．

．

选项错误．

．

由不等式的性质1：不等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．．选项错误

．

由不等式的性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．

选项错误．

．

由不等式的性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．

选项正确．

故选：．

【点评】此题主要考察不等式的性质、数轴上的点的位置和数值的关系．关键在于牢记不等式的性质以及数轴的基本知识．

8．【分析】根据等腰三角形的性质和全等三角形的判定与性质，可以得到，则点运动的路程就是的长，然后根据，，，可以得到斜边的中线的长度，从而可以得到点运动的路程．

【解答】解：，

，

在和中，

，

，

，

是等腰直角三角形，，

斜边上的中线的长是1，

点由点运动到中点停止，则点运动的路程为1，

故选：．

【点评】本题考查等腰直角三角形、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是求得，利用数形结合的思想解答．

二、填空题（本题共16分，每小题2分）

9．【分析】值是非正数，用小于等于0表示，列出不等式求解即可．

【解答】解：根据题意，得，

两边都乘以，得，

去括号，得，

移项，得．

故答案为：．

【点评】本题是简单的列不等式求解题，主要考查一元一次不等式的解法．

10．【分析】由于方程组中的系数较小，故利用加减消元法或代入消元法均可消去未知数，得到关于、的关系式．

【解答】解：，

①②得，．

【点评】本题考查的是解二元一次方程组的加减消元法和代入消元法，比较简单．

11．【分析】让横坐标为0求得的值，进而根据到原点的距离为点的纵坐标的绝对值求解即可．

【解答】解：点在轴上，

，，

点的坐标为，

点到原点的距离是7，

故答案为7．

【点评】考查点的坐标的相关知识；用到的知识点为：在轴上的点的横坐标为0；在轴上的点到原点的距离为点的纵坐标的绝对值．

12．【分析】因为等腰三角形的两边分别为5和2，但没有明确哪是底边，哪是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．

【解答】解：当5为底时，其它两边都为2，

所以2、2、5不可以构成三角形；

当4为腰时，其它两边为5和2，

所以5、5、2可以构成三角形，周长为12，

故答案为：12．

【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形三边关系；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．

13．【分析】由图1可得从左向右的算筹中，前两个算筹分别代表未知数，的系数，第三个算筹表示的两位数是方程右边的常数项：前面的表示十位，后面的表示个位，由此可得图2的表达式．

【解答】解：根据题意，图2可得方程组：

，

故答案为．

【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，主要培养学生的观察能力，关键是能够根据对应位置的算筹理解算筹表示的实际意义．

14．【分析】任意多边形的外角和均为，然后依据多边形的内角和公式列方程求解即可；根据多边形的对角线公式求解即可．

【解答】解：设这个多边形的边数为．

根据题意得：，

解得：；

这个多边形对角线有：（条，

故答案为：8；20．

【点评】此题主要考查了多边形的内角和与外角和，以及多边形的对角线，关键是熟练掌握计算公式．

15．【分析】根据题意画出符合条件的所有情况，根据点、、的坐标和全等三角形性质求出即可．

【解答】解：如图所示：有3个点，当在、、处时，和全等，

点的坐标是：，，，

故答案为：或或．

【点评】本题考查了全等三角形性质和坐标与图形性质的应用，关键是能根据题意求出符合条件的所有情况，题目比较好，但是一道比较容易出错的题目．

16．【分析】根据，，的“准矩形面积”定义，是定值，分和两种情况讨论；”准矩形面积“最小时应在1和2之间．

【解答】解：由题意知：，

①当时，，

则，

解得：，

点坐标为，

②当时，，

则，

解得：，

点坐标，

故答案为：，；

，

当”准距形面积“取最小值时，应在之间．

故答案为：．

【点评】本题考查矩形的性质和新定义，关键是对定义的理解．

三、解答题（本大题共6小题，17-22题每小题5分，共30分）

17．【分析】直接利用绝对值的性质以及二次根式的混合运算法则计算得出答案．

【解答】解：原式

．

【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．

18．【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．

【解答】解：，

①②得：，

把代入①得：，

解得：，

则方程组的解为．

【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．

19．【分析】（1）过点作于；

（2）取的中点，然后连接即可；

（3）利用基本作图作平分．

【解答】解：（1）如图，为所作；

（2）如图，为所作；

（3）如图，为所作．

【点评】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．

20．【分析】（1）利用点坐标得到正方形的边长为1，从而得到正方形的面积；

（2）①利用点和点的坐标特征得到平移的方向与距离，利用此平移规律写出、的坐标，然后描点即可；

②用一个矩形的面积分别减去两直角三角形的面积和一个正方形的面积去计算四边形的面积．

【解答】解：（1）轴，轴，

而，

，

正方形的面积为1；

故答案为1；

（2）①如图，三角形为所作；

②四边形的面积．

故答案为5．

【点评】本题考查了作图平移变换：作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．

21．【分析】根据角平分线的定义求出，再根据两直线平行，内错角相等可得，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出，再根据邻补角的定义求出，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．

【解答】解：平分，

，

，

，

在中，，

又，

．

【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，平行线的性质，以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键．

22．【分析】求，可通过证它们所在的三角形全等，即证即可．

【解答】证明：

点是线段的中点，

，

，

，即，

在和中，

，

．

【点评】此题考查简单的线段相等，可以通过全等三角形来证明，要注意利用此题中的图形条件，等角的补角相等．

四、解答题（本大题共6小题，23-26题每题6分，27、28题每题7分，共38分）

23．【分析】（1）根据各组的百分比的和是1即可求得的值；

（2）根据喜欢其它类型的有20人，所占的百分比是，据此即可求得总人数；

（3）根据百分比的意义求得领域的人数，补全直方图；

（4）利用总人数乘以对应的百分比即可求解．

【解答】（1）．

（2）本次调查的人数是（人；

（3）领域的人数是：（人．

；

（4）估计该区初一学生中选择电子与控制的人数是（人．

【点评】本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．

24．【分析】在上截取，连，可得，得出对应边相等：，进而又得出，则，故．

【解答】解：在上截取，连，

是的平分线，

．

则在与中，

，

，

，

又，，

，，

，

，

，

，

，

，即．

【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．

25．【分析】（1）先求出一元一次方程的解和一元一次不等式组的解集，再得出答案即可；

（2）先求出不等式组的解集，再求出不等式的整数解，再得出方程即可；

（3）先求出不等式组的解集和一元一次方程的解，再得出关于的不等式组，求出不等式组的解集即可．

【解答】解：（1）解方程①得：，

解方程②得：，

解方程③得：，

解不等式组得：，

所以不等式组的关联方程是③，

故答案为：③；

（2）解不等式组得：，

不等式组的整数解是1，

这个不等式组的一个关联方程可以是，

故答案为：（答案不唯一）；

（3）解方程得：，

解方程得：，

解不等式组得：，

方程，都是关于的不等式组的关联方程，

，

解得：，

即的取值范围是，

故答案为．

【点评】本题考查了解一元一次方程和解一元一次不等式组，能理解不等式组的关联方程的含义是解此题的关键．

26．【分析】（1）过点作于，由“”可证，可得，；

（2）延长，交于点，由“”可证，可得，由“”可证，可得，即可求得；

（3）作，则，由“”可证，可得，可得，即可求解．

【解答】解：（1）过点作于，

，，

，，

，，

，

在和中，

，

，

，，

点坐标为，

故答案为；

（2），理由如下：延长，交于点，

，，

，

平分，

，，

在和中，

，

，

，

在和中，

，

，

，

，

故答案为；

（3）是定值，

理由如下：作于，则，

，，

，

在和中，

，

，

，

．

，

故答案为1．

【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．

27．【分析】（1）作于，由角平分线的性质可得，然后根据三角形的面积公式，即可推出两个三角形的面积之比．

（2）过点作于，于，由“”可证，可知它们的面积相等，即可推出，即可推出：；

（3）过点作于，于，由“”可证，可知它们的面积相等，即可推出，即可推出：，由可证，可得，即可求解．

【解答】解：（1）如图1所示，

为的角平分线，于，于，

，

，，，，

；

与面积的比值，

故答案为；

（2）如图2，过点作于，于，

和都是等边三角形，

，，．

，

，

，

，

，

，

，

点在的角平分线上，

；

（3）如图3，过点作于，于，

，

，

又，，

，

，

，

，

，

点在的角平分线上，

，

，

在和中，

，

，

，

，

，

，

，

故答案为：．

【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，角平分线的性质，灵活运用这些性质解决问题是解决本题的关键．

28．【分析】（1）分两种情况讨论，由“”可证可得，，即可求解；

（2）作辅助线，构建全等三角形，证明四边形是平行四边形，得，则，再根据证明，可得是等腰直角三角形，可得结论．

【解答】解：（1）如图1，点在点上方时，点在点右侧，

，，，

，，

，

点在点上方时，点在点左侧，

；

如图，点在点下方时，点在点右侧，

，，，

，，

，

点在点下方时，点在点左侧，

；

故答案为：或或；

（2）如图2，过作轴于，使，连接，，

，

，

轴，

，

四边形是平行四边形，

，

，

，，，

，

，，

，

，

，

是等腰直角三角形，

，

．

【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定，学会利用分类讨论的方法和正确作辅助线是本题的关键，有难度．