湖北省黄冈中学2013-2014学年高二上学期期末考试 数学理试题 Word版含答案

湖北省黄冈中学2013年秋季高二数学（理）期末考试试题

命题：陈思锦         审稿：汤彩仙         校对：袁 进

第Ⅰ卷(选择题  共50分)

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．下列结论不正确的是 (　   )

A．若，则               B．若，则

  C．若，则         D．若，则

2．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：

计算得

参照附表一（见Ⅰ卷后），得到的正确结论是（     ）

A．在犯错误的概率不超过的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”

B．在犯错误的概率不超过的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”

C．有以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”

D．有以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”

3．若曲线在点处的切线方程是，则=（    ）

A． 5 B． 4 C． 3 D． 2

4．设，则等于（　　）

Ａ．1.6 B．3.2 C．6.4 D．12.8

5．两变量与的回归直线方程为，若,则的值为（    ）

A． B． C． D．

6．右图实线是函数的图象，它关于点对称. 如  

果它是一条总体密度曲线，则正数的值为（    ）

A． B．          C． D．

7.为长方形，，，为的中点，在长方形

内随机取一点，取到的点到的距离大于的概率为 (　　 )

A．         B．       C．   D．   

8．如图为函数的图象，为函数的导函数，则不等式

的解集为（    ）

A．           B．                          

C．                   D．

9．已知函数在上为减函数，函数在上为增函数，则的值等于（    ）

A．1           B． C．2             D．3

10．已知为R上的可导函数，且对，均有，则有（    ）

A. 

 B. 

  C. 

 D. 

 附表一：

第Ⅱ卷(非选择题  共100分)

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡相应位置上．

11．已知随机变量X服从正态分布，则          ．

12．从4名女生和2名男生中选出3名组成课外学习小组，如果按性别比例分层抽样，则组成此课外学习小组的概率是         ．          

13．若曲线存在垂直于轴的切线，则实数的取值范围是         ．

14．现有10元、20元、50元人民币各一张，100元人民币两张，从中至少取一张，共可组成不同的币值种数是         ．

15．设是函数的导函数的导数，定义：若，且方程有实数解，则称点为函数的对称中心.有同学发现“任何一个三次函数都有对称中心”，请你运用这一发现处理下列问题：

设，则

（1）函数的对称中心为          ；

（2）          ．

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16．（本小题满分12分）

如图，已知直线以及上一点,直线，求圆心在上且与直线相切于点的圆的方程．

17．（本小题满分12分）

已知函数的图象过点,且在点处的切线方程为.

（1）求函数的解析式；

（2）求函数的单调区间．

18．（本小题满分12分）

一组数据、、、、,是这组数据的中位数,设.   

（1）求的展开式中的项的系数；    

（2）求的展开式中系数最大的项和系数最小的项．

19．（本题满分12分）

黄冈中学学生篮球队假期集训，集训前共有6个篮球，其中3个是新球（即没有用过的球），3 个是旧球（即至少用过一次的球）．每次训练，都从中任意取出2个球，用完后放回．

（1）设第一次训练时取到的新球个数为，求的分布列和数学期望；

（2）在第一次训练时至少取到一个新球的条件下，求第二次训练时恰好取到一个新球的概率．

20．（本小题满分13分）

在淘宝网上，某店铺专卖黄冈某种特产.由以往的经验表明，不考虑其他因素，该特产每日的销售量（单位：千克）与销售价格（单位：元/千克，）满足：当时，，；当时，.已知当销售价格为元/千克时，每日可售出该特产千克；当销售价格为元/千克时，每日可售出千克.

（1）求的值，并确定关于的函数解析式；

（2）若该特产的销售成本为元/千克，试确定销售价格的值，使店铺每日销售该特产所获利润最大（精确到元/千克）.

21．（本小题满分14分）

已知函数（为常数,）.

（1）若是函数的一个极值点，求的值；

（2）当时，判断在上的单调性；

（3）若对任意的，总存在，使不等式成立，求实数

的取值范围.

期末考试数学参考答案（理科）

1、答案：B  解析：若，则，选B

2、答案：D

解析：由，而，故由独立性检验的意义可知选D.

3、答案：D  解析

4、答案：C 解析：，选C；

5、答案：B 解析：，

6、答案：A  解析：曲线与轴围成的面积为1，

7、答案：B    解析：:长方形面积为2,以O为圆心,1为半径作圆,在矩形内部的部分(半圆)面积为,因此取到的点到O的距离小于1的概率为， 取到的点到O的距离大于1的概率为

8、答案：D 解析：当时，，则，故是解集的一部分；同理也是解集的一部分.故选D.

9、答案：C   解析：在上单减，则在上单增，则在上恒成立，即恒成立，故，故.

10、答案：C 

解析：构造函数，求导得，故函数是定义在R上的减函数，故，即

，即

11、答案：0.28 解析：

12、答案：   解析：抽样比为，故应抽取女生2人，男生1人，所以组成此课外学习小组的概率是

13、答案： 解析：有正实数解，即有正实数解，

14、答案：23  解析：除100元人民币以外每张均有取和不取2种情况，100元人民币的取法有3种情况，再减去全不取的1种情况，所以共有种.

15、答案：；2014

解析： ，则

 又，．令得．故函数的对称中心为．

设在上可知关于对称点的对称点也在函数上，

∴．∴．

∵

．

16、解： 设圆心为，半径为，依题意，.

设直线的斜率，过两点的直线斜率，因，故，

∴，解得..

所求圆的方程为.

17、解：（1）由的图象经过P（0，2），知d=2，所以

由在处的切线方程是，知

故所求的解析式是

（2）

解得 当

当

故的单调增区间为和，

单调减区间为.

18、（1）解：依题意有：这组数据的中位数是7，即，

故的展开式中，由可知，故展开式中的项的系数为                                                       ．．．．．．．6分 

（2）的展开式中共8项，其中第4项和第5项的二项式系数最大，

而第5项的系数等于第5项二项式系数，故第5项的系数最大，

即最大项为，

第4项的系数等于第4项二项式系数的相反数，故第4项的系数最小，

即最小项为                                 ．．．．．．．12分

19、解：（1）的所有可能取值为0，1，2．            ．．．．．．．  1分

设“第一次训练时取到个新球（即）”为事件（0，1，2）．因为集训前共有6个篮球，其中3个是新球，3个是旧球，所以

，                                      ．．．．．．．3分

，                                     ．．．．．．． 4分

．                                    ．．．．．．． 5分

所以的分布列为（注：不列表，不扣分）

的数学期望为．            ．．．．．．．6分

（2）设“从6个球中任意取出2个球，恰好取到一个新球”为事件．

则“第二次训练时恰好取到一个新球”就是事件．而事件、互斥，

所以，．由条件概率公式，得

．          

所以，第二次训练时恰好取到一个新球的概率为

那么在第一次训练时至少取到一个新球的条件下，第二次训练时恰好取到一个新球的概率

20、解：（1）因为x=2时，y=700；x=3时，y=150，所以

解得

每日的销售量　；　　　　　．．．．．．．5分

（2）由（I）知， 当时：

 每日销售利润

  （）

，

当或时

当时，单增；当时，单减．

是函数在上的唯一极大值点，；．．．9分

当时：每日销售利润=

在有最大值，且．   　　．．．．．．．．．12分

综上，销售价格元/千克时，每日利润最大．　　　　　　　．．．．．．．．．．13分＇

21、解：.（1）由已知，得 且

，，，.

（2）当时，,,

当时，.又，，故在上是增函数.  

（3）时，由（Ⅱ）知，在上的最大值为，

于是问题等价于：对任意的，不等式恒成立.

记，（）

则，

当时，，在区间上递减，此时，，

由于，时不可能使恒成立，

故必有,.

若，可知在区间上递减，

在此区间上，有与恒成立矛盾，

故，这时，在上递增，恒有，满足题设要求，，即，所以，实数的取值范围为.