新教材适用2024版高考数学一轮总复习练案10第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ第四讲幂函数与二次函数

这是一份新教材适用2024版高考数学一轮总复习练案10第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ第四讲幂函数与二次函数，共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
练案[10]　 第四讲　幂函数与二次函数A组基础巩固一、单选题1．幂函数y＝f(x)的图象经过点(3，)，则f(x)是( D )A．偶函数，且在区间(0，＋∞)内是增函数B．偶函数，且在区间(0，＋∞)内是减函数C．奇函数，且在区间(0，＋∞)内是减函数D．非奇非偶函数，且在区间(0，＋∞)内是增函数[解析]　设幂函数f(x)＝xα，则f(3)＝3α＝，解得α＝，则f(x)＝x＝，是非奇非偶函数，且在区间(0，＋∞)内是增函数．2．(2023·天津模拟)已知幂函数f(x)＝(m2－3m＋3)xm＋1为偶函数，则m＝( A )A．1  B．2C．1或2  D．3[解析]　因为f(x)＝(m2－3m＋3)xm＋1为幂函数，所以m2－3m＋3＝1，解得m＝1或m＝2.当m＝2时，f(x)＝x3，函数f(x)不是偶函数，舍去；当m＝1时，f(x)＝x2，函数f(x)是偶函数．3.(2022·青岛模拟)若幂函数y＝x－1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为( D )A．－1<m<0<n<1B．－1<n<0<mC．－1<m<0<nD．－1<n<0<m<1[解析]　对于幂函数y＝xα，当α>0时，y＝xα在(0，＋∞)上为增函数，且0<α<1时，图象上凸，∴0<m<1；当α<0时，y＝xα在(0，＋∞)上为减函数，不妨令x＝2，根据图象可得2－1<2n，∴－1<n<0.4．(2022·清华附中统练)函数f(x)＝ax2－(a－1)x－3在区间[－1，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是( D )A.  B．(－∞，0]C.  D．[解析]　若a＝0，则f(x)＝x－3，f(x)在区间[－1，＋∞)上单调递增，符合题意，若a≠0，因为f(x)在区间[－1，＋∞)上单调递增，故解得0<a≤.综上，0≤a≤.故选D.5．一次函数y＝ax＋b(a≠0)与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图象大致是( C )[解析]　若a>0，则一次函数y＝ax＋b为增函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，故可排除A；若a<0，一次函数y＝ax＋b为减函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，故可排除D；对于选项B，看直线可知a>0，b>0，从而－<0，而二次函数的对称轴在y轴的右侧，故应排除B，选C.6．(2022·浙江模拟)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则( D )A．b<a＋c，c2<ab  B．b<a＋c，c2>abC．b>a＋c，c2<ab  D．b>a＋c，c2>ab[解析]　由题图知，a>0，b>0，c<0，f(1)＝a＋b＋c＝0，f(－1)＝a－b＋c<0，所以c＝－(a＋b)，b>a＋c，所以c2－ab＝[－(a＋b)]2－ab＝a2＋b2＋ab>0，即c2>ab.故选D.7．(2023·河南省实验中学质检)已知函数f(x)＝3x2－2(m＋3)x＋m＋3的值域为[0，＋∞)，则实数m的取值范围为( A )A．{0，－3}B．[－3,0]C．{0,3}D．(－∞，－3]∪[0，＋∞)[解析]　依题意，得Δ＝4(m＋3)2－4×3(m＋3)＝0，则m＝0或m＝－3，∴实数m的取值范围是{0，－3}．8．(2022·山东模拟)已知f(x)＝－2x2＋bx＋c，不等式f(x)>0的解集为(－1,3)．若对任意的x∈[－1,0]，f(x)＋m≥4恒成立，则m的取值范围是( B )A．(－∞，2]  B．[4，＋∞)C．[2，＋∞)  D．(－∞，4][解析]　因为f(x)>0的解集为(－1,3)，所以－2x2＋bx＋c＝0的两个根为－1,3，所以得令g(x)＝f(x)＋m，则g(x)＝－2x2＋4x＋6＋m＝－2(x－1)2＋8＋m.当x∈[－1,0]时，g(x)min＝m，因为g(x)≥4在[－1,0]上恒成立，所以m≥4.故选B.二、多选题9．(2023·浙江衢州月考)已知幂函数f(x)＝xm，则下列结论正确的有( ACD )A．f(－32)＝B．f(x)的定义域是RC．f(x)是偶函数D．不等式f(x－1)≥f(2)的解集是[－1,1)∪(1,3][解析]　因为函数是幂函数，所以m＋＝1，得m＝－，即f(x)＝x－，f(－32)＝[(－2)5]－＝(－2)－4＝，故A正确；函数的定义域是{x|x≠0}，故B不正确；∵f(－x)＝f(x)，所以函数是偶函数，故C正确；函数f(x)＝x－在(0，＋∞)是减函数，不等式f(x－1)≥f(2)等价于|x－1|≤2，解得－2≤x－1≤2，且x－1≠0，得－1≤x≤3，且x≠1，即不等式的解集是[－1,1)∪(1,3]，故D正确．故选ACD.10．(2022·淄博模拟)设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，对任意实数t都有f(4＋t)＝f(－t)成立，则函数值f(－1)，f(1)，f(2)，f(5)中，最小的可能是( ACD )A．f(－1)  B．f(1)C．f(2)  D．f(5)[解析]　因为对任意实数t都有f(4＋t)＝f(－t)成立，所以函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴是x＝2，当a>0时，函数值f(－1)，f(1)，f(2)，f(5)中，最小的是f(2)；当a<0时，函数值f(－1)，f(1)，f(2)，f(5)中，最小的是f(－1)和f(5)．11．由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过点(1,0)，…，求证：这个二次函数的图象关于直线x＝2对称．根据现有信息，题中的二次函数可能具有的性质是( ABD )A．在x轴上截得的线段的长度是2B．与y轴交于点(0,3)C．顶点是(－2，－2)D．过点(3,0)[解析]　由已知得解得b＝－4a，c＝3a，所以二次函数为y＝a(x2－4x＋3)，其顶点的横坐标为2，所以顶点一定不是(－2，－2)，故选ABD.三、填空题12．已知幂函数f(x)的部分对应值如表：x1f(x)1则不等式f(|x|)≤2的解集是_[－4,4]__.[解析]　设幂函数为f(x)＝xα，则α＝，∴α＝，∴f(x)＝x，不等式f(|x|)≤2等价于|x|≤2，∴|x|≤4，∴－4≤x≤4.∴不等式f(|x|)≤2的解集是[－4,4]．13．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，若y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数，则实数a的取值范围为_(－∞，－6]∪[4，＋∞)__.[解析]　由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是x＝－a，所以要使f(x)在[－4,6]上是单调函数，应有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4.14．(2022·辽宁高一阶段练习)幂函数f(x)过点，则f(x)＝ x－　，若f(a＋1)<f(3－2a)，则实数a的取值范围是 　.[解析]　设幂函数解析式为f(x)＝xα，将代入得α＝－，所以f(x)＝x－，在(0，＋∞)上单调递减，所以a＋1>3－2a>0，可得a∈.15．(2023·江苏海安高级中学模拟)函数f(x)＝x2－4x＋2在区间[a，b]上的值域为[－2,2]，则b－a的取值范围是_[2,4]__.[解析]　解方程f(x)＝x2－4x＋2＝2，解得x＝0或x＝4，解方程f(x)＝x2－4x＋2＝－2，解得x＝2，由于函数f(x)在区间[a，b]上的值域为[－2,2]．若函数f(x)在区间[a，b]上单调，则[a，b]＝[0,2]或[a，b]＝[2,4]，此时b－a取得最小值2；若函数f(x)在区间[a，b]上不单调，且当b－a取最大值时，[a，b]＝[0,4]，所以b－a的最大值为4.所以b－a的取值范围是[2,4]．四、解答题16．已知二次函数f(x)＝ax2＋(b－2)x＋3，且－1,3是函数f(x)的零点．(1)求f(x)的解析式，并解不等式f(x)≤3；(2)若g(x)＝f(sin x)，求函数g(x)的值域．[解析]　(1)由题意得解得∴f(x)＝－x2＋2x＋3，∴当－x2＋2x＋3≤3时，即x2－2x≥0，解得x≥2或x≤0，∴不等式的解集为(－∞，0]∪[2，＋∞)．(2)令t＝sin x，则g(t)＝－t2＋2t＋3＝－(t－1)2＋4，t∈[－1,1]，当t＝－1时，g(t)有最小值0，当t＝1时，g(t)有最大值4，故g(t)∈[0,4]．所以g(x)的值域为[0,4]．B组能力提升1．若f(x)是幂函数，且满足＝3，则f等于( C )A．3  B．－3C.  D．－[解析]　设f(x)＝xα，则＝3，∴f＝α＝.2．(多选题)(2023·江苏镇江月考)如图，函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交于点A(－1,0)，顶点坐标为(1，n)，与y轴的交点在(0,2)与(0,3)之间(包括端点)，则下列结论正确的为( AC )A．当x>3时，y<0  B．4a＋2b＋c＝0C．－1≤a≤－  D．3a＋b>0[解析]　由已知得图象与x轴另一交点为(3,0)，所以当x>3时，y<0，故A正确；当x＝2时，y＝4a＋2b＋c>0，故B错误；又∵y＝ax2＋bx＋c过点A(－1,0)，a<0，∴a－b＋c＝0，又－＝1，即b＝－2a，∴b＋2a＝0，则b＋3a<0，故D错误；又∵3a＋c＝0，∴c＝－3a，且2≤c≤3，∴2≤－3a≤3，∴－1≤a≤－，故C正确．故选AC.3．在同一平面直角坐标系中，函数f(x)＝xa(x>0)，g(x)＝logax的图象可能是( D )[解析]　由于本题中函数为y＝xa(x>0)与y＝logax，对于选项A，没有幂函数图象，故A错误；对于选项B，由y＝xa(x>0)的图象知a>1，而由y＝logax的图象知0<a<1，故B错误；对于选项C，由y＝xa(x>0)的图象知0<a<1，而由y＝logax的图象知a>1，故C错误；对于选项D，由y＝xa(x>0)的图象知0<a<1，而由y＝logax的图象知0<a<1，故选D.4．(2023·如皋调研)已知函数f(x)＝2x2－ax＋1，x∈[－1，a]，且f(x)最大值为f(a)，则实数a的取值范围为( C )A．(－∞，－4]B．(－∞，－1]∪[2，＋∞)C．[2，＋∞)D．[－4，＋∞)[解析]　函数f(x)＝2x2－ax＋1图象的对称轴方程为x＝，当－1<a≤0时，易得函数在[－1，a]上单调递减，则函数f(x)的最大值为f(－1)，不满足条件．当a>0时，要使f(x)的最大值为f(a)，则f(a)≥f(－1)，即2a2－a2＋1≥2＋a＋1，解得a≤－1(舍)或a≥2.5．函数f(x)＝x2＋2x，若f(x)>a在区间[1,3]上满足：①恒有解，则实数a的取值范围为_(－∞，15)__；②恒成立，则实数a的取值范围为_(－∞，3)__.[解析]　①f(x)>a在区间[1,3]上恒有解，等价于a<[f(x)]max，又f(x)＝x2＋2x且x∈[1,3]，当x＝3时，[f(x)]max＝15，故a的取值范围为a<15.②f(x)>a在区间[1,3]上恒成立，等价于a<[f(x)]min，又f(x)＝x2＋2x且x∈[1,3]，当x＝1时，[f(x)]min＝3，故a的取值范围为a<3.6．已知函数g(x)＝ax2－2ax＋1＋b(a>0)在区间[2,3]上有最大值4和最小值1.(1)求a，b的值；(2)若存在x∈[3,4]，使g(x)<2m2－tm＋7对任意的t∈[0,5]都成立，求m的取值范围；(3)设f(x)＝，若不等式f(2x)－k·2x≥0在x∈[－1,1]上有解，求实数k的取值范围．[解析]　(1)g(x)＝ax2－2ax＋1＋b＝a(x－1)2＋1＋b－a.∵a>0，∴g(x)在[2,3]上单调递增，∴⇒⇒(2)由(1)得g(x)＝x2－2x＋1，∵存在x∈[3,4]，使g(x)<2m2－tm＋7对任意的t∈[0,5]都成立，∴g(x)min＝g(3)＝4<2m2－tm＋7对任意的t∈[0,5]都成立，即－mt＋2m2＋3>0对任意的t∈[0,5]都成立，其中t看作自变量，m看作参数，∴解得m∈(－∞，1)∪.(3)由(1)得f(x)＝＝＝x＋－2，∴f(2x)－k·2x＝2x＋－2－k·2x≥0，令2x＝t，则不等式可化为k≤1＋－，∵不等式f(2x)－k·2x≥0在x∈[－1,1]上有解，∴k≤max，又∵1＋－＝2，≤t≤2⇒≤≤2，∴max＝1，k≤1，即实数k的取值范围是(－∞，1]．