2022北京四中初三（下）4月月考数学（教师版）

这是一份2022北京四中初三（下）4月月考数学（教师版），共36页。试卷主要包含了填空题等内容，欢迎下载使用。
2022北京四中初三（下）4月月考
数 学
一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 有人说2021年12月2日是世界完全对称日．事实上，世界完全对称日更严谨的叫法是“回文日”．将年月日表示为YYYYMMDD的形式，如果倒过来写成DDMMYYYY，和原先的数相同，则称该日期为回文日期．将2021年的回文日用下图表示，则该图形为（ ）

A. 既是轴对称图形，又是中心对称图形 B. 是轴对称图形，不是中心对称图形
C. 是中心对称图形，不是轴对称图形 D. 既不是轴对称图形，又不是中心对称图形
2. 芝麻被称为“八谷之冠”，是世界上最古老的油料作物之一，它作为食物和药物，得到广泛的使用．经测算，一粒芝麻的质量约为0.00000201kg，将0.00000201用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
3. 如图，A，B，C，D是数轴上四个点，A点表示数为10，E点表示的数为，则数所对应的点在线段（ ）上．

A. B. C. D.
4. 从图1的正方体上截去一个三棱锥，得到一个几何体，如图2．从正面看图2的几何体，得到的平面图形是( )

A. B.
C. D.
5. 如果，那么代数式的值为
A. B. C. D.
6. 现有下列命题：①若，则；②若，则；③若，则，其中真命题有（ ）个．
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
7. 如图，和分别为内接正方形，正六边形和正n边形的一边，则n是（ ）．


A. 六 B. 八 C. 十 D. 十二
8. 如图1，抛物线y=-x2+bx+c的顶点为P，与x轴交于A，B两点．若A，B两点间的距离为m，n是m的函数，且表示n与m的函数关系的图象大致如图2所示，则n可能为（　　）

A. PA+AB B. PA-AB C. D.
二、填空题（共16分，每小题2分）
9. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是______．
10. 如果实数m，n满足方程组，那么=______．
11. 与 最接近的自然数是 ________．
12. 一个不透明的盒子中放入四张卡片，每张卡片上都写有一个数字，分别是．卡片除数字不同外其它均相同，从中随机抽取两张卡片，抽取的两张卡片上数字之积为0的概率是___________．
13. 在平面直角坐标系中，已知点A（4，0）、B（﹣6，0），点C是y轴上的一个动点，当∠BCA=45°时，点C的坐标为___．
14. 已知函数y＝mx2+（m﹣3）x+1的图象与x轴的交点至少有一个在原点右侧，则m的取值范围是 _____．
15. 为了传承中华文化，激发学生的爱情怀，提高学生的文学素养（9）班举办了“古诗词”大赛，现有小恩、小地、小奕三位同学进入了最后冠军的角逐，规定：每轮分别决出第1，2，3名（没有并列），b，c（a＞b＞c且a，b，c均为正整数）．选手最后得分为各轮得分之和，得分最高者为冠军．如表是三位选手在每轮比赛中的部分得分情况，小奕同学第三轮的得分为 ___分．

第一轮
第二轮
第三轮
第四轮
第五轮
第六轮
最后得分
小恩
a


a


27
小地

a


b
c
11
小奕

b

b


10

16. 已知n行n列的数表中，对任意的，都有或1．
若当时，总有，则称数表A为典型表，此时记表A中所有的和记为．
（1）若数表，其中典型表是_________；
（2）的最小值为________．
三．解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21-22题，每题6分，第23题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
17. 计算：．
18. 解不等式组：，并将其解集在数轴上表示出来．
19. 下面是小明设计的“作一个直角三角形，使得其一个内角为”的尺规作图过程．
已知：直线l及直线l上一点A，如图1．


求作：，使得．
作法：如图2．
①在直线l上取点D；
②分别以点A，D为圆心，长为半径画弧，两弧交于点B，E（B在E的上方）；
③作直线，交直线l于点C；
④连接，
就是所求作的三角形．
根据小明设计的尺规作图过程．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明：
证明：连接．
∵；
∴是等边三角形．
∴．
∵________，
∴四边形是菱形．
∴（________）（填推理的依据）．
∴．
∴（_____________）（填推理的依据）．
∴．
20. 已知，求代数式的值．
21. 某单位党支部在“精准扶贫”活动中，给结对帮扶的贫困家庭赠送甲、乙两种树苗．已知每棵乙种树苗的价格比甲种树苗的价格贵10元，用480元购买乙种树苗的棵数恰好与用360元购买甲种树苗的棵数相同，求甲、乙两种树苗每棵的价格．
22. 如图，在平行四边形ABCD中，点E为BC的中点，AE与对角线BD交于点F.
（1）求证：DF=2BF；
（2）当∠AFB=90°且tan∠ABD=时， 若CD=，求AD长.

23. 如图，在平面直角坐标系中，函数图象经过点，直线与x轴交于点．
（1）求的值；
（2）过第二象限的点作平行于x轴的直线，交直线于点C，交函数的图象于点D．
①当时，判断线段PD与PC的数量关系，并说明理由；
②若，结合函数的图象，直接写出n的取值范围．

24. 如图，在中，，以为直径的交于点，点为延长线上一点，延长交于点，连接，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，时，求的长．

25. 某农科所甲、乙试验田各有水稻3万个，为了考察水稻穗长情况，于同一天在这两块试验田里分别随机抽取了50个稻穗进行测量，获得了它们的长度x（单位：cm），并对数据（穗长）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．甲试验田穗长频数分布统计表如表1所示（不完整）：
甲试验田穗长频数分布表（表1）
分组/cm
频数
频率
4.5≤x5
4
0.08
5≤x5.5
9
0.18
5.5≤x6

n
6≤x65
11
0.22
6.5≤x7
m
0.20
7≤x7.5
2

合计
50
1.00
b．乙试验田穗长的频数分布直方图如图1所示：

c．乙试验田穗长在6≤x6.5这一组的是：6.3，6.4，6.3，6.3，6.2，6.2，6.1，6.2，6.4
d．甲、乙试验田穗长的平均数、中位数、众数、方差如下（表2）：
试验田
平均数
中位数
众数
方差
甲
5.924
58
5.8
0.454
乙
5.924
w
6.5
0.608
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表1中m的值为　 　，n的值为　 　；
（2）表2中w的值为　 　；
（3）在此次考察中，穗长为5.9cm的稻穗，穗长排名（从长到短排序）更靠前的试验田是　 　；稻穗生长（长度）较稳定的试验田是　 　；
A．甲 B．乙 C．无法推断
（4）若穗长在5.5≤x7范围内的稻穗为“良好”，请估计甲试验田所有“良好”的水稻约为　 　万个．
26. 在平面直角坐标系中，将函数y＝x2﹣2mx+m（x≤2m，m为常数）的图象记为G，图象G的最低点为P(x0，y0)．
（1）当y0＝﹣1时，求m的值．
（2）求y0的最大值．
（3）当图象G与x轴有两个交点时，设左边交点的横坐标为x1，则x1的取值范围是　　．
（4）点A在图象G上，且点A的横坐标为2m﹣2，点A关于y轴的对称点为点B，当点A不在坐标轴上时，以点A、B为顶点构造矩形ABCD，使点C、D落在x轴上，当图象G在矩形ABCD内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围．
27. 如图，已知，EF为射线OM上一长度为定值的动线段（点E不与点O重合），EF的垂直平分线交射线ON于点A，交射线OM于点D，连接AF，过点E作AF的垂线，垂足为B，延长BE交ON的反向延长线于点C．

（1）依题意补全图形，证明：；
（2）用等式表示线段OC，OA和OF的关系，并证明；
（3）若，作，G在射线ON上．在线段EF的运动过程中，判断是否为定值，若是，直接写出该定值，若不是，说明理由．
28. 在平面直角坐标系中，对于点和实数，给出如下定义：当时，以点为圆心，为半径的圆，称为点的倍相关圆.
例如，在如图1中，点的1倍相关圆为以点为圆心，2为半径的圆.

（1）在点中，存在1倍相关圆的点是________，该点的1倍相关圆半径为________.
（2）如图2，若是轴正半轴上动点，点在第一象限内，且满足，判断直线与点的倍相关圆的位置关系，并证明.
（3）如图3，已知点，反比例函数的图象经过点，直线与直线关于轴对称.
①若点在直线上，则点的3倍相关圆的半径为________.
②点在直线上，点的倍相关圆的半径为，若点在运动过程中，以点为圆心，为半径的圆与反比例函数的图象最多有两个公共点，直接写出的最大值.


参考答案
一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 有人说2021年12月2日是世界完全对称日．事实上，世界完全对称日更严谨的叫法是“回文日”．将年月日表示为YYYYMMDD的形式，如果倒过来写成DDMMYYYY，和原先的数相同，则称该日期为回文日期．将2021年的回文日用下图表示，则该图形为（ ）

A. 既是轴对称图形，又是中心对称图形 B. 是轴对称图形，不是中心对称图形
C. 是中心对称图形，不是轴对称图形 D. 既不是轴对称图形，又不是中心对称图形
【答案】C
【解析】
【详解】由图可知，该图形不是轴对称图形，是中心对称图形
故选：C．
【点睛】本题考查轴对称图形和中心对称图形的概念，即把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
2. 芝麻被称为“八谷之冠”，是世界上最古老的油料作物之一，它作为食物和药物，得到广泛的使用．经测算，一粒芝麻的质量约为0.00000201kg，将0.00000201用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将0.00000201表示成的形式，其中，，进而可得结果．
【详解】解：将0.00000201表示成的形式，其中，为负整数
∵ ，
∴0.00000201表示成
故选C．
【点睛】本题考查了科学记数法．解题的关键在于求出的值．
3. 如图，A，B，C，D是数轴上四个点，A点表示数为10，E点表示的数为，则数所对应的点在线段（ ）上．

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先由题意表示出AE、AB的长，再求出与AB的倍数关系，即可判断数所对应的点在哪段线段上．
【详解】 A点表示数为10，E点表示的数为







在AB段
故选：A
【点睛】本题考查了数轴上两点之间的距离以及数轴上数的表示，熟练掌握知识点并能够运用数形结合的思想是解题的关键．
4. 从图1的正方体上截去一个三棱锥，得到一个几何体，如图2．从正面看图2的几何体，得到的平面图形是( )

A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据从正面看两个直角三角形，即可得出答案.
【详解】从正面看图2的几何体，看到的平面图形是两个直角三角形.
故选D.
【点睛】此题主要考查的是从不同方向看几何体，题目比较简单，通熟练掌握简单的几何体的观察方法是解决本题的关键.
5. 如果，那么代数式的值为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】分析：根据分式混合运算的法则进行化简，再把整体代入即可.
详解：原式，
∵，
∴原式．
故选A.
点睛：考查分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算的法则是解题的关键.
6. 现有下列命题：①若，则；②若，则；③若，则，其中真命题有（ ）个．
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
【答案】C
【解析】
【分析】根据幂的乘方、不等式的性质和开平方运算判断即可．
【详解】①若，则，原命题是假命题；
②若，则，是真命题；
③若，则或，原命题是假命题；
综上，真命题有②
故选：C．
【点睛】本题考查命题与定理，涉及幂的乘方、不等式的性质和开平方运算，熟练掌握知识点是解题的关键．
7. 如图，和分别为内接正方形，正六边形和正n边形的一边，则n是（ ）．


A. 六 B. 八 C. 十 D. 十二
【答案】D
【解析】
【分析】分别求出∠AOB和∠COB，从而得到∠AOC，由此即可得到答案．
【详解】解：如图所示，连接OA，OC，OB，
∵AB和BC分别是正方形和正六边形的一边，
∴,，
∴，
∴，
故选D．

【点睛】本题主要考查了正多边形与圆，熟练掌握正多边形边数与中心角的关系是解题的关键．
8. 如图1，抛物线y=-x2+bx+c的顶点为P，与x轴交于A，B两点．若A，B两点间的距离为m，n是m的函数，且表示n与m的函数关系的图象大致如图2所示，则n可能为（　　）

A. PA+AB B. PA-AB C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】;设A( ,0)，B( ,0)，则m=|−|=(x1+x2)2-4x1x2=b2+4c
∵顶点P(,)
∴顶点P纵坐标为
∴PA=
∵PA+AB=
PA−AB=


由图2可知,n可能是
故选：C
点睛:本题考查了抛物线与x轴交点，根与系数等知识，首先用m表示出PA,写出PA+PB，PA-AB，，根据图象来判断，解题关键是会用参数解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
二、填空题（共16分，每小题2分）
9. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是______．
【答案】x＞3，
【解析】
【分析】根据分式和二次根式的定义，列式运算求解即可．
【详解】解：由题意得，2x﹣6＞0，
解得，x＞3，
故答案为：x＞3．
【点睛】本题主要考查了分式和二次根式有意义的取值，熟悉掌握分式和二次根式的定义是解题的关键．
10. 如果实数m，n满足方程组，那么=______．
【答案】1
【解析】
【分析】方程组中的两个方程相减可得，然后整体代入所求式子计算即可．
【详解】解：对方程组，①－②，得，
所以．
故答案为：﹣1．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法和代数式求值，灵活应用整体的思想是解题的关键．
11. 与 最接近的自然数是 ________．
【答案】2
【解析】
【分析】先根据得到，进而得到，因为14更接近16，所以最接近的自然数是2．
【详解】解：，可得，
∴，
∵14接近16，
∴更靠近4，
故最接近的自然数是2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查无理数的估算，找到无理数相邻的两个整数是解题的关键．
12. 一个不透明的盒子中放入四张卡片，每张卡片上都写有一个数字，分别是．卡片除数字不同外其它均相同，从中随机抽取两张卡片，抽取的两张卡片上数字之积为0的概率是___________．
【答案】
【解析】
【分析】画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解可得．
【详解】解：画树状图如下：

由图知，共有12种等可能结果，其中抽取的两张卡片上数字之积为0的有6种结果，
∴抽取的两张卡片上数字之积为0的概率为，
故选：．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
13. 在平面直角坐标系中，已知点A（4，0）、B（﹣6，0），点C是y轴上的一个动点，当∠BCA=45°时，点C的坐标为___．
【答案】（0，12）或（0，﹣12）
【解析】
【详解】试题分析：设线段BA的中点为E，
∵点A（4，0）、B（﹣6，0），∴AB=10，E（﹣1，0）.
（1）如答图1所示，过点E在第二象限作EP⊥BA，且EP=AB=5，

则易知△PBA为等腰直角三角形，∠BPA=90°，PA=PB=.
以点P为圆心，PA（或PB）长为半径作⊙P，与y轴的正半轴交于点C，
∵∠BCA为⊙P的圆周角，
∴∠BCA=∠BPA=45°，则点C即为所求.
过点P作PF⊥y轴于点F，则OF=PE=5，PF=1，
在Rt△PFC中，PF=1，PC=，
由勾股定理得：，
∴OC=OF+CF=5+7=12.
∴点C坐标为（0，12）.
（2）如答图2所示，根据圆满的对称性质，可得y轴负半轴上的点C坐标为（0，﹣12）.

综上所述，点C坐标为（0，12）或（0，﹣12）.
14. 已知函数y＝mx2+（m﹣3）x+1的图象与x轴的交点至少有一个在原点右侧，则m的取值范围是 _____．
【答案】m≤1
【解析】
【分析】所给的一元二次方程中二次项的系数时一个字母，要根据字母的取值进行讨论，当m=0，m0三种不同的情况进行讨论，得到结果．
【详解】解：①当m=0时，y=-3x+1．令y=0，则-3x+1=0，
得．
∵，
∴；
②当m0，则，
解得，0