2022北京门头沟初三（上）期末数学（教师版）

2022北京门头沟初三（上）期末

数    学

一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。

1．已知，则下列比例式成立的是　　

A． B． C． D．

2．抛物线的顶点坐标是　　

A． B． C． D．

3．已知的半径为5，点到圆心的距离为8，那么点与的位置关系是　　

A．点在上 B．点在内 C．点在 外 D．无法确定

4．在中，，，则的值是　　

A． B． C． D．

5．如图，线段是的直径，弦于，如果，那么等于　　

A． B． C． D．

6．如果将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到一条新的抛物线，这条新的抛物线的表达式是　　

A． B． C． D．

7．如果与都在函数的图象上，且，那么的取值范围是　　

A． B． C． D．任意实数

8．如图，抛物线与轴交于、两点，是以点为圆心，2为半径的圆上的动点，是线段的中点，连接，则线段的最大值是　　

A．3 B． C． D．4

二、填空题（本题共16分，每小题2分）

9．如果，那么的值是 　　．

10．颐和园是我国现存规模最大，保存最完整的古代皇家园林，它和承德避暑山庄、苏州拙政园、苏州留园并称为中国四大名园．该园有一个六角亭，如果它的地基是半径为2米的正六边形，那么这个地基的周长是　 　米．

11．如果两个相似三角形的相似比是，那么这两个相似三角形的周长比是 　　．

12．如图，扇形的圆心角，半径为．如果点、是的三等分点，图中所有阴影部分的面积之和是 　　．

13．把二次函数化成的形式为　 　．

14．写出一个图象位于第一、三象限的反比例函数的表达式：　 　．

15．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有这样的一个问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“如图，现有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形所能容纳的最大圆的直径是多少？”

答：该直角三角形所能容纳的最大圆的直径是 　　步．

16．函数的图象如图所示，在下列结论中：①该函数自变量的取值范围是；②该函数有最小值；③方程有三个根；④如果，和，是该函数图象上的两个点，当时一定有，所有正确结论的序号是 　　．

三、解答题（本题共68分，第17～22题每小题5分，23～26题每小题5分，第27～28题每小题5分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（5分）计算：．

18．（5分）已知：如图，在中，点在上，点在上，与不平行．添加一个条件　　，使得，然后再加以证明．

19．（5分）已知：如图1，在中，．

求作：，使得是的外接圆．

作法：①如图2，作的平分线交于；

②作线段的垂直平分线；

③与交于点；

④以点为圆心，以为半径作圆．

就是所求作的的外接圆．

根据上述尺规作图的过程，回答以下问题：

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图2（保留作图痕迹）

（2）完成下面的证明．

证明：，，

　　．

的垂直平分线与交于点，

，．　　（填推理的依据）

．

就是的外接圆．

20．（5分）已知二次函数图象上部分点的横坐标、纵坐标的对应值如下表：

（1）求该二次函数的表达式；

（2）直接写出该二次函数图象与轴的交点坐标．

21．（5分）已知：如图，在中，，是边上的高．

（1）求证：；

（2）如果，，求的长．

22．（5分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象的一个交点为．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）若是坐标轴上一点，且满足，直接写出点的坐标．

23．（6分）“永定楼”是门头沟区的地标性建筑，某数学兴趣小组进行了测量它高度的社会实践活动．如图，他们先在点处用高1.5米的测角仪测得塔顶的仰角为，然后沿方向前行到达点处，在点处测得塔顶的仰角为．求永定楼的高．（结果保留根号）

24．（6分）在美化校园的活动中，某兴趣小组借助如图所示的直角墙角（墙角两边和足够长），用长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围和两边）．设，．

（1）求与之间的关系式，并写出自变量的取值范围；

（2）当矩形花园的面积为时，求的长；

（3）如果在点处有一棵树（不考虑粗细），它与墙和的距离分别是和，如果要将这棵树围在矩形花园内部（含边界），直接写出矩形花园面积的最大值．

25．（6分）如图，为的直径，为延长线上一点，是的切线，为切点，于点，交于点．

（1）求证：；

（2）若，，求的长．

26．（6分）在平面直角坐标系中，已知抛物线．

（1）求该抛物线的对称轴和顶点坐标（用含的代数式表示）；

（2）如果该抛物线的顶点恰好在轴上，求它的表达式；

（3）如果，，三点均在抛物线上，且总有，结合图象，直接写出的取值范围．

27．（7分）在中，，于点，于点，连接．

（1）如图1，当为锐角三角形时，

①依题意补全图形，猜想与之间的数量关系并证明；

②用等式表示线段，，的数量关系，并证明；

（2）如图2，当为钝角时，依题意补全图形并直接写出线段，，的数量关系．

28．（7分）如图，在平面直角坐标系中，，的半径为1．如果将线段绕原点逆时针旋转后的对应线段所在的直线与相切，且切点在线段上，那么线段就是的“关联线段”，其中满足题意的最小就是线段与的“关联角”．

（1）如图1，如果，线段是的“关联线段”，那么它的“关联角”为 　　．

（2）如图2，如果、，、，、．

那么的“关联线段”有 　　（填序号，可多选）．

①线段

②线段

③线段

（3）如图3，如果、，线段是的“关联线段”，那么的取值范围是 　　．

（4）如图4，如果点的横坐标为，且存在以为端点，长度为的线段是的“关联线段”，那么的取值范围是 　　．

参考答案

一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。

1．【分析】根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解．

【解答】解：、由得，故本选项错误；

、由得，故本选项正确；

、由得，故本选项错误；

、由得，故本选项错误．

故选：．

【点评】本题考查了比例的性质，主要利用了两内项之积等于两外项之积，比较简单．

2．【分析】根据题目中二次函数的顶点式可以直接写出它的顶点坐标．

【解答】解：，

此函数的顶点坐标为，

故选：．

【点评】此题主要考查了二次函数的性质，关键是熟记：顶点式，顶点坐标是，对称轴是直线．

3．【分析】根据点在圆上，则；点在圆外，；点在圆内，即点到圆心的距离，即圆的半径）．

【解答】解：，点与的位置关系是点在圆外．

故选：．

【点评】此题主要考查了点与圆的位置关系，注意：点和圆的位置关系与数量之间的等价关系是解决问题的关键．

4．【分析】先利用正切的定义得到，则设，，利用勾股定理表示出，然后利用正弦的定义求解．

【解答】解：，

，

设，则，

，

．

故选：．

【点评】本题考查了同角三角函数的关系：利用一个锐角的一个三角函数值表示出边之间的关系，再利用勾股定理表示出第三边，然后根据三角函数的定义求这个角的另两个三角函数值．

5．【分析】利用垂径定理得出，进而求出，再利用邻补角的性质得出答案．

【解答】解：线段是的直径，弦，

，

，

，

．

故选：．

【点评】本题主要考查了圆周角定理以及垂径定理等知识，得出的度数是解题关键．

6．【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律，即可得出平移后抛物线的解析式．

【解答】解：抛物线先向左平移2个单位得到解析式：，再向上平移3个单位得到抛物线的解析式为：．

故选：．

【点评】此题考查了二次函数图象与几何变换，掌握抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题的关键．

7．【分析】利用反比例函数的性质解决问题即可．

【解答】解：与都在函数的图象上，且，

，

，

故选：．

【点评】本题考查反比例函数的图象上的点的坐标特征，熟知反比例函数的性质是解题的关键．

8．【分析】连接，如图，先解方程得，，再判断为的中位线得到，利用点与圆的位置关系，过圆心时，最大，如图，点运动到位置时，最大，然后计算出即可得到线段的最大值．

【解答】解：连接，如图，

当时，，解得，，则，，

是线段的中点，

为的中位线，

，

当最大时，最大，

而过圆心时，最大，如图，点运动到位置时，最大，

，

，

线段的最大值是．

故选：．

【点评】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．也考查了三角形中位线．

二、填空题（本题共16分，每小题2分）

9．【分析】根据比例的性质设，，再代入计算可求解．

【解答】解：由题意设，，

，

故答案为：．

【点评】本题主要考查比例的性质，利用比例的性质设参数是解题的关键．

10．【分析】由正六边形的半径为2，则米；由，得出是等边三角形，则米，即可得出结果．

【解答】解：如图所示：

正六边形的半径为2米，

米，

正六边形的中心角，

是等边三角形，

，

米，

正六边形的周长为（米；

故答案为：12．

【点评】本题考查了正六边形的性质、等边三角形的判定与性质；解决正多边形的问题，常常把多边形问题转化为等腰三角形或直角三角形来解决．

11．【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比解答即可．

【解答】解：两个相似三角形的相似比是，

这两个相似三角形的周长比是，

故答案为：．

【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比是解题的关键．

12．【分析】由题意可知、是弧的三等分点，通过平移可把阴影部分都集中到一个小扇形中，可发现阴影部分正好是扇形的，先求出扇形的面积再求阴影部分的面积或者直接求圆心角是20度，半径是3的扇形的面积皆可．

【解答】解：，

．

故答案为：．

【点评】此题考查扇形的面积问题，通过平移的知识把小块的阴影部分集中成一个规则的图形扇形，再求算扇形的面积即可．利用平移或割补把不规则图形变成规则图形求面积是常用的方法．

13．【分析】根据配方法的操作整理即可得解．

【解答】解：，

，

，

所以，．

故答案为：．

【点评】本题考查了二次函数的三种形式，主要利用了配方法．

14．【分析】首先设反比例函数解析式为，再根据图象位于第一、三象限，可得，再写一个大于0的反比例函数解析式即可．

【解答】解；设反比例函数解析式为，

图象位于第一、三象限，

，

可写解析式为，

故答案为：．

【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，关键是掌握反比例函数，（1），反比例函数图象在一、三象限；（2），反比例函数图象在第二、四象限内．

15．【分析】由勾股定理可求得斜边长，分别连接圆心和三个切点，设内切圆的半径为，利用面积相等可得到关于的方程，可求得内切圆的半径，则可求得内切圆的直径．

【解答】解：如图：

在中，，，，

，

，

设内切圆的圆心为，分别连接圆心和三个切点，及、、，

设内切圆的半径为，

，

，解得，

内切圆的直径为6步．

故答案为：6．

【点评】本题主要考查三角形的内切圆，连接圆心和切点，把三角形的面积分成三个三个角形的面积得到关于的方程是解题的关键．

16．【分析】根据函数解析式，结合函数图象进行判断．

【解答】解：如图：

①函数中，分母不能为0，所以函数自变量的取值范围是，故①符合题意．

②如图所示，函数没有最大值，没有最小值，故②不符合题意．

③如图所示，函数的图象与直线有3个交点，所以方程有三个根，故③符合题意．

④如图所示，当时，随的增大而减小，故④不符合题意．

综上所述，正确的结论有①③个．

故答案为：①③．

【点评】本题考查了根据函数图象和性质，函数与方程的关系，数形结合是解题的关键．

三、解答题（本题共68分，第17～22题每小题5分，23～26题每小题5分，第27～28题每小题5分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．【分析】直接利用零指数幂的性质、二次根式的性质、绝对值的性质、特殊角的三角函数值，分别化简得出答案．

【解答】解：原式

．

【点评】此题主要考查了零指数幂的性质、二次根式的性质、绝对值的性质、特殊角的三角函数值等知识，正确化简各数是解题关键．

18．【分析】由本题图形相似已经有一个公共角，再找一组对应角相等或公共角的两边对应成比例即可．

【解答】解：添加条件为：，

理由：，

，

．

故答案为：．

【点评】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．

19．【分析】（1）根据要求作出图形即可．

（2）根据垂直平分线的性质证明即可．

【解答】解：（1）如图，即为补全的图形；

（2）证明：，，

是的垂直平分线．

的垂直平分线与交于点，

，（垂直平分线上的点到线段两端的距离相等），

．

就是的外接圆．

故答案为：是的垂直平分线，垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．

【点评】本题考查作图复杂作图，线段的垂直平分线的性质，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．

20．【分析】（1）利用表中数据和抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，则可设顶点式，然后把代入求出即可；

（2）利用抛物线的对称性写出点关于直线的对称点即可．

【解答】解：（1）抛物线经过点，，，

抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，

设抛物线解析式为，

把代入得，解得，

抛物线解析式为；

（2）抛物线与轴的一个交点坐标为，

而抛物线的对称轴为直线，

抛物线与轴的另一个交点坐标为，

即该二次函数图象与轴的交点坐标为，．

【点评】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．

21．【分析】（1）由于，，从而可证明；

（2）由勾股定理可求出，易证，所以，从而可求出的长度．

【解答】解：（1）， 是 边上的高，

又，

（2）在中，，，．

由勾股定理得

，

【点评】本题考查相似三角形的综合问题，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于中等题型．

22．【分析】（1）把的坐标代入函数解析式即可求得的值，即可得到函数解析式；

（2），则在以为圆心，以为半径的圆上或在以点为圆心，以为半径的圆上，圆与坐标轴的交点就是．

【解答】解：（1）点在一次函数的图象上．

点的坐标为

点在反比例函数的图象上．

反比例函数的解析式是．

（2）方法一：

，

，

点在坐标轴上，

当点在轴上时设，

，

，解得；

当点在轴上时，设，

，解得；

当点在坐标原点，则．

点的坐标为或或．

方法二：过点作轴，轴，如图，

①当在原点时，满足，则点；

②当在轴上时，

，，点坐标为

，，

，

③当在轴上时，

，，点坐标为

，，

，

点的坐标为或或．

【点评】本题主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式，用待定系数法确定函数的解析式，是常用的一种解题方法．同学们要熟练掌握这种方法．

23．【分析】证明米，在中，利用勾股定理求出的长，即可解决问题．

【解答】解：由题意得：米，米，，，

，，

，

，

米，

在中，，，

．

（米，

（米，

米．

即永定楼的高为米．

【点评】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，本题的突破点是证明，属于中考常考题型．

24．【分析】（1）根据矩形面积长宽求解．

（2）令，解一元二次方程求解．

（3）由点在矩形内部可得的取值范围，将函数解析式化为顶点式求解．

【解答】解：（1），

，

，

，

，

与的关系式为．

（2）令，则，

解得或，

长为或．

（3）点在矩形内部，

，

解得．

，

当时，随增大而增大，

时，取最大值为，

答：花园面积最大值为195 ．

【点评】本题考查二次函数的应用，解题关键是根据题意列出等式，掌握二次函数求最值的方法．

25．【分析】（1）连接，由切线的性质得到，由等腰三角形的性质得到，根据，由等量代换即可得到结论；

（2）根据三角形中位线定理得到，设，，根据相似三角形的性质即可得到结论．

【解答】解：（1）连接，

，

，

是的切线，为切点，

，

，

，

，

；

（2），，

，

，，

，

，

，

设，，

，

，

，

，

，

，

，

．

【点评】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，平行线的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．

26．【分析】（1）解析式化成顶点式即可求得对称轴和顶点坐标；

（2）根据题意△，解得，即可得到抛物线的表达式为；

（3）根据题意得到或，解不等式组即可．

【解答】解：（1），

该抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为；

（2）抛物线的顶点恰好在轴上，

方程有两个相等的根，

△，

解得或（不符合题意，舍去），

抛物线的表达式为；

（3），

抛物线开口向上，

、、为该抛物线上三点，且总有，抛物线的对称轴为直线，

或，

解得或．

的取值范围是．

【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．

27．【分析】（1）①依题意补全图形，由直角三角形的性质得出，即可得出

②作，交于，则，得出，证出是等腰直角三角形，得出，由①得出，证明，得出，，证出是等腰直角三角形，得出，即可得出结论；

（2）作，交的延长线于，则，证出是等腰直角三角形，得出，证明，得出，，得出是等腰直角三角形，证出，即可得出结论．

【解答】解：（1）①依题意补全图形，如图1所示：

猜想，理由如下：

于点，于点，

，

，

；

②，理由如下：

作，交于，如图所示：

则，

，

，

是等腰直角三角形，

，

由①得：，

在和中，，

，

，，

是等腰直角三角形，

，

，

；

（2）依题意补全图形如图2所示：，理由如下：

作，交的延长线于，

则，

，

，

是等腰直角三角形，

，

同①得：，

在和中，，

，

，，

是等腰直角三角形，

，

，

．

【点评】本题是四边形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识；本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键．

28．【分析】（1）画图确定相切位置确定关联角即可；

（2）连接，，，，根据线段扫过的位置判断即可；

（3）根据点的运动轨迹判断的最小值即可得出取值范围；

（4）结合题意作图得出的最大值和最小值即可得出的取值范围．

【解答】解：（1）如图1，作与相切于点，

，

，

，

，，

的“关联角”为，

故答案为：60；

（2）如图2，连接，，，，

，

绕旋转无法与相切，

故不是的“关联线段”，

，，，

是的“关联线段”，

，

是的“关联线段”，

故答案为：②③；

（3）如图3，

点旋转路线在半径为1的上，

当与相切时，

由（1）知，，

当时，线段是的“关联线段”，

故答案为：；

（4）如图4，当取最大值时，

点运动最小半径是到过的直线的距离是，

，，

，

，

的最大值为4，

如图5，当取最小值时，

开始时存在与相切，

，，

，

，

，

综上，的取值为，

故答案为：．

【点评】本题主要考查圆的综合题型，准确理解关联线段与关联角的定义是解题的关键．