2023年广东省汕头经济特区林百欣中学中考三模数学试题（含答案）

汕头林百欣中学2022－2023学年度第二学期九年级第三次数学科综合素质摸查

一、单选题（本大题10小题，每小题3分，共30分）

1．甲型流感病毒的直径是0.00000008m，将0.00000008用科学记数法表示是（    ）

A．0.8×10－8   B．0.8×10－7  C．8×10－8   D．8×10－7

2．下列运算中，正确的是 （   ）

A．a2＋a 5＝a10   B．（a－b）2＝a 2－b2   C．（－3a3）2＝6a 6  D．－3a2b＋2 a2b＝－a2b

3．如图所示，直线a//b，∠2＝31°，∠A＝28°，则∠1＝（    ）

A．61°  B．60°  C．59°  D．58°

4·从数学的观点看，对以下成语及诗句中的事件判断正确的是（    ）

A．成语“守株待兔”是随机事件  B．成语“水中捞月”是随机事件

C．诗句“清明时节雨纷纷”是必然事件   D．诗句“离离原上草，一岁一枯荣”是不可能事件

5．如图，在口ABCD中，已知AD＝8cm，AB＝6cm，DE平分∠ADC交BC边于点E，则BE等于（    ）

 A．2cm   B．4cm  C．6cm  D．8cm

6．实数a、b在数轴．上的对应点位置如图所示，下列结论中正确的是（    ）

A．b>－2  B．|b|>a  C．a＋b>0  D．a－b<0

7．如图，线段AB是⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，如果AB＝6，AC＝3，那么∠ADC的度数是（    ）

A．15°  B．30°  C．45°  D．60°

8．下列命题是真命题的是（    ）

A．每个内角都相等的多边形是正多边形  B．对角线相等的平行四边形是矩形

C．两直线平行，同位角互补  D．过线段中点的直线是线段的垂直平分线

9．把半径长为2.5的球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知CD＝4，则EF＝（    ）

A．2  B．2.5  C．4  D．5

10．如图，在正方形ABCD中，AD＝4，E为CD中点，F为BC上的一点，且∠EAF＝45°，∠ABG＝∠DAE，连接EF，延长BG交AE于点M，交AD于点N，则以下结论；

①DE＋BF＝EF  ②BN⊥AE  ③BF＝  ④S△BGF＝中正确的是（    ）

 A．1个  B．2个  C．3个  D．4个

二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分）

11．分解因式：a3－ a＝______

12．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是______

13．在“玩转数学”活动中，小林剪掉等边三角形纸片的一角，如图所示，发现得到的∠1与∠2的和总是一个定值．则∠1＋∠2＝______度．

14．如图，A，B，C，D，E五个顶点均在小正方形组成的网格的格点上．若EF⊥BD于点F，且EF＝1，则DE的长为______

15．如图，直线与曲线，，，，，，…分别交于点A1，A2，A3，A4，A5，A6，…，过点A1，A2，A3，A4，A5，A6，…作x轴和y轴的垂线，围成如图所示的“7字形”阴影部分，分别记作S1，S2，S3，…，则S1＋S2＋S3＋…＋S2023＝______

三、解答题（本大题3小题，每小题8分，共24分）

16．计算：

17．先化简，再求值：，其中．

18．如图，点E、F在菱形ABCD的对角线AC上，且AE＝CF求证：DE＝BF．

四、解答题（本大题3小题，每小题9分，共27分）

19，某校在宣传“中华民族大团结”活动中，采用四种宣传形式：A．器乐，B．舞蹈，C．朗通，D．唱歌．学校就宣传形式对学生进行了抽样调查，每名学生从中选择并且只能选择一种最喜欢的，并将调查结果绘制成了如下两幅不完整的统计图．

请结合题图中所给信息，解答下列问题：

（1）本次调查的学生共有______人

（2）补全条形统计图：

（3）该校共有3600名学生，请估计喜欢唱歌的学生有多少人？

（4）某班在最喜欢“器乐”的学生中，有甲、乙、丙、丁四位学生表现优秀，现从这四位学生中随机选出两名学生参加学校的器乐队，请用列表或画树状图法求被选取的两人恰好是甲和乙的概率

20．某学校在纪念“五四”青年节歌咏比赛活动中，准备购买一些围棋和篮球作为奖品发放，每个篮球的价格比每副围棋价格的4倍多50元，且100元购买的围棋数量与600元购买的篮球数量相同．

（1）求围棋和篮球的单价各是多少元；

（2）若该学校决定购买围棋和篮球共计200份作为奖品，并要求购买围棋的数量不超过篮球数量的4倍，请为该学校设计出最省钱的购买方案，并说明理由．

21．如图，在平面直角坐标系中，点A、C的坐标分别为（0，8）和（4，0），把矩形OABC沿对角线AC 所在的直线折叠，点B落在点D处，DC与y轴相交于点E．

（1）求证：△ADE≌△COE；

（2）求点E的坐标；

（3）若点F在线段BC上，且F点的坐标为（4，5）时，连接CF、AF．试证明四边形AECF是菱形．

五、解答题（本大题2小题，每小题12分，共24分）

22．如图，PB为⊙O的切线，B为切点，直线PO交⊙O于点E，F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长AO与⊙O交于点C，连接BC，AF．

（1）求证：直线 PA为⊙O的切线；

（2）求证：EF2＝4OD·OP；

（3）若BC＝6，tanF＝，求cos∠ACB的值和线段PE的长．

23．如图，直线y＝x＋2与x轴，y轴分别交于点A，C，抛物线经过A，C两点，与x轴的另一交点为B，点D是抛物线上一动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当点D在直线AC上方时，连接BC，CD，BD，BD交AC于点E，令△CDE的面积为S1，

△BCE的面积为S2，求的最大值：

（3）点F是该抛物线对称轴上一动点，是否存在以点B，C，D，F为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标：若不存在，请说明理由．

参考答案

一、单选题（本大题10小题，每小题3分，共30分）

二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分）

11．  12．  13．240  14．  15．2023

三、解答题（本大题3小题，每小题8分，共24分）

16．解：原式

17．解：原式．

当时，原式．

18．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴，，∴，∴．

四、解答题（本大题3小题，每小题9分，共27分）

19．（1）由条形统计图可知参加A项目的人数为30人，由扇形统计图可知参加A项目的人数所占的百分比为30%，故本次调查的总人数为：（人），故答案为：100；

（2）参加B项目的人数为：（人），补全条形统计图如下所示：

（3）抽样调查中，喜欢“唱歌”的人数为40人，其所占的百分比为，故3600名学生，估计喜欢唱歌的学生有（人）

（4）甲、乙、丙、丁四位同学任选两位的所有可能情况如下树状图所示：

被选取的两人恰好是甲和乙有2种情况，故被选取的两人恰好是甲和乙的概率是．

20．（1）设围棋的单价是x元/副，则篮球的单价是元/个，

根据题意得：，解得：，经检验，是所列方程的解，且符合题意，∴．

答：设围棋的单价是25元/副，篮球的单价是150元/个；

（2）最省钱的购买方案为：购买160副围棋，40个篮球，理由如下：

设购买m副围棋，则购买个篮球，

根据题意得：，解得：，

设该学校购买200份奖品的总费用为w元，则，即，∵，∴w随m的增大而减小，∴当时，w取得最小值，此时，∴最省钱的购买方案为：购买160副围棋，40个篮球．

21．（1）证明：∵四边形ABCO是矩形 ，∴，，∵把矩形OABC沿对角线AC所在直线折叠，点B落在点D处，∴，，∴，，在与中，，∴；

（2）∵，∴，即，∴，∴；

（3）证明：如图，

∵，，∴，∵，，∴，∴，∵，∴四边形AECF为平行四边形．

五、解答题（本大题2小题，每小题12分，共24分）

22．（1）证明：连接OB，如图，∵PB为的切线，∴，∴，∵，∴，即OP垂直平分AB，∴，∴，而，∴，∴，即，∴，∵是半径，∴直线PA为的切线；

（2）证明：∵，，∴，∴，∴，而，∴，∵，∴；

（3）连接AE，如图，∵AC为直径，∴，∵OD垂直平分AB，∴，∴，设，则，∵OD垂直平分AB，∴，∴，∴，∴，在中，，∴，解得，∴，，，在中，，∴；∵，∴，解得，∴．

23．解：（1）令，得，令，得，∴，，∵抛物线经过A，C两点，∴，解得：，∴；

（2）如图1，过D作轴交AC于M，过B作轴交AC于N，令，解得：，，∴，∴，∴，∴，设，∴，∵，∴，∴；∴当时，的最大值是；

（3）∵，∴对称轴为直线，设，，

①若四边形为平行四边形BCDF，则，∴，解得：，，∴D的坐标为；

②若四边形为平行四边形BCFD，则，∴，解得：，，∴D的坐标为；

③若四边形为平行四边形BDCF，则，∴，解得：，，∴D的坐标为；

综上，D的坐标为或或．