2022年北京市门头沟区中考数学二模试卷（含解析）

2022年北京市门头沟区中考数学二模试卷

一．选择题（本题共8小题，共16分）

1. 在下面四个几何体中，俯视图是矩形的是

A.  B.
C.  D.

2. 年月日我国“巅峰使命”珠峰科考名科考登山队员全部登顶珠穆朗玛主峰成功，并在海拔超过米处架设了自动气象观测站，这是全世界海拔最高的自动气象观测站．将数字用科学记数法表示为

A.  B.  C.  D.

3. 年月日至日第二十四届冬季奥林匹克运动会在北京成功举办，下面是一些北京著名建筑物的简笔画，其中不是轴对称图形的是

A.  B.  C.  D.

4. 如图，数轴上、两点分别对应实数、，则下列结论正确的是

A.  B.  C.  D.

5. 如果，那么代数式的值为

A.  B.  C.  D.

6. 十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮秒，绿灯亮秒，黄灯亮秒．当你抬头看信号灯时，是黄灯的概率是

A.
B.
C.
D.

7. 如图，在中，是直径，，，，那么的长等于

A.
B.
C.
D.

8. 在平面直角坐标系中，已知抛物线：若，，为抛物线上三点，且总有结合图象，则的取值范围是

1.  B.  C.  D.

二．填空题（本题共8小题，共16分）

9. 如果式子在实数范围内有意义，那么的取值范围是______ ．
10. 分解因式：          ．
11. 如果，那么的值为______．
12. 孙子算经是中国古代重要的数学著作，成书大约距今一千五百年．在其中有这样的记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五，屈绳量之，不足一尺，问木长几何？”．
    译文：用一根绳子去量一根木条，绳子剩余尺；如果将绳子对折再量木条，木条剩余尺，问木条长多少尺？如果设木条长为尺，绳子长为尺，根据题意可列方程组______．
13. 如图，半径为的与边长为的等边三角形的两边、都相切，连接，则          ．
    
     

14. 已知是以为自变量的二次函数，且当时，的最小值为，写出一个满足上述条件的二次函数表达式______ ．
15. 在▱中，对角线，交于点，只需添加一个条件，即可证明▱是矩形，这个条件可以是______写出一个即可．
16. 电脑系统中有个“扫雷”游戏，游戏规定：一个方块里最多有一个地雷，方块上面如果标有数字，则是表示此数字周围的方块中地雷的个数．如图中的“”就是表示它周围的八个方块中有且只有个有地雷．如图，这是小明玩游戏的局部，图中有个方块已确定是地雷标旗子处，其它区域表示还未掀开，问在标有“”“”的七个方块中，能确定一定是地雷的有______填方块上的字母．

三．解答题（本题共12小题，共68分）

17. 计算：．
18. 解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．
     
19. 下面是小宇设计的“作圆的内接正方形”的尺规作图过程．
    已知：．
    求作：的内接正方形．
    作法：如图．
    作直径；
    分别以点，为圆心，以大于的同样长为半作弧，两弧交于，两点；
    作直线交于点，；
    连接，，，．
    所以四边形就是所求作的正方形．
    根据小宇设计的尺规作图过程，
    使用直尺和圆规，补全图形；保留作图痕迹
    完成下面的证明．
    证明：在中，
    ，，
    ．
    ．
    ______填推理的依据．
    四边形是菱形______填推理的依据．
    是的直径，
    ______填推理的依据．
    四边形是正方形．
     

20. 关于的一元二次方程有两个实数根．
    求的取值范围；
    若为正整数，求此方程的根．
21. 如图，矩形的对角线，交于点，延长到点，使，连接．
    求证：四边形是平行四边形；
    连接，若，，求的长．
    
     

22. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、两点，点的坐标为．
    求的值，并确定反比例函数的表达式；
    结合函数图象，直接写出不等式的解集．
     

23. 如图，杂技团进行杂技表演，演员要从跷跷板右端处弹跳后恰好落在人梯的顶端处，其身体看成一点的路径是一条抛物线．现测量出如下的数据，设演员身体距起跳点水平距离为米时，距地面的高度为米．

请你解决以下问题：
在下边网格中建立适当平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑曲线连接；
结合表中所给的数据或所画的图象，直接写出演员身体距离地面的最大高度；
求起跳点距离地面的高度；
在一次表演中，已知人梯到起跳点的水平距离是米，人梯的高度是米．问此次表演是否成功？如果成功，说明理由；如果不成功，说明应怎样调节人梯到起跳点的水平距离才能成功？

24. 如图，已知中，，为上一点，以为直径作与相切于点，连接并延长交的延长线于点．
    求证：；
    若，，求的长．

25. 年月日中共中央办公厅、国务院办公厅颁布了关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见，该意见对学生睡眠时间提出了新的要求．为了了解某校初二年级学生的睡眠时长，随机抽取了初二年级男生和女生各位，对其同一天的睡眠时长进行调查，并对数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了相关信息．
    睡眠时长单位：小时：

睡眠时长频数分布直方图分组：，，，，：
睡眠时长的平均数、众数、中位数如下：

根据以上信息，回答下列问题：
补全男生睡眠时长频数分布直方图；
直接写出表中，的值；
根据抽样调查情况，可以推断______填“男生”或“女生”睡眠情况比较好，理由为______．

26. 在平面直角坐标系中中，已知抛物线．
    求此抛物线的对称轴；
    当时，求抛物线的表达式；
    如果将中的抛物线在轴下方的部分沿轴向上翻折，得到的图象与剩余的图象组成新图形．
    直接写直线与图形公共点的个数；
    当直线与图形有两个公共点时，直接写出的取值范围．

27. 如图，在中，，是的中点，过点作，交于点，交于点，作点关于直线的对称点，连接和，过点作交的延长线于点．
    根据题意，补全图形；
    比较与的大小，并证明．
    过点作交的延长线于点，用等式表示线段，与的数量关系，并证明．
     

28. 我们规定：如图，点在直线上，点和点均在直线的上方，如果，，点就是点关于直线的“反射点”，其中点为“点”，射线与射线组成的图形为“形”．
    在平面直角坐标系中，
    如果点，，那么点关于轴的反射点的坐标为______；
    已知点，过点作平行于轴的直线．
    如果点关于直线的反射点和“点”都在直线上，求点的坐标和的值；
    是以为圆心，为半径的圆，如果某点关于直线的反射点和“点”都在直线上，且形成的“形”恰好与有且只有两个交点，求的取值范围．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：、圆柱俯视图是圆，故此选项不合题意；
B、圆锥俯视图是带圆心的圆，故此选项不合题意；
C、长方体俯视图是矩形，故此选项符合题意；
D、三棱柱俯视图是三角形，故此选项不合题意．
故选：．
俯视图是分别从物体上面看，所得到的图形．
本题考查了几何体的三视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．
 

2.【答案】

【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】

【解析】解：是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B.是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C.是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D.不是轴对称图形，故本选项符合题意；
故选：．
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此可得结论．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
 

4.【答案】

【解析】解：由图可知，，
，
，故A正确；
，故B错误；
，故C错误；
，故D错误．
故选A．
先根据、两点在数轴上的位置判断出，的符号及绝对值的大小，进而可得出结论．
本题考查的是实数与数轴，熟知实数与数轴上各点是一一对应关系是解答此题的关键．
 

5.【答案】

【解析】解：原式

，
当时，
原式，
故选：．
先将括号内通分，再计算括号内的减法、同时将分子因式分解，最后计算乘法，继而代入计算可得．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
 

6.【答案】

【解析】解：每分钟红灯亮秒，绿灯亮秒，黄灯亮秒共秒，所以是黄灯的概率是．
故选：．
让黄灯亮的时间除以总时间即为抬头看信号灯时，是黄灯的概率．
本题考查概率的基本计算；用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

7.【答案】

【解析】解：连接，交于点，如图，
，
，，，
，
，
，
在中，，
，
．
故选：．
连接，交于点，如图，利用垂径定理得到，，再利用互余计算出，则根据圆周角定理得到，所以，然后根据含度的直角三角形三边的关系求出，从而得到的长．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理．
 

8.【答案】

【解析】解：如图：

抛物线：的对称轴为，
，，为抛物线上三点，且总有，
则，注：时，抛物线上的点离对称轴水平距离越小，纵坐标越小，
．
故选：．
时，抛物线上的点离对称轴水平距离越小，纵坐标越小．
本题考查二次函数图象上点的坐标，解题的关键是画出大致图象，掌握时，抛物线上的点离对称轴水平距离越小，函数值越小．
 

9.【答案】

【解析】解：在实数范围内有意义，
，
解得．
故答案为：．
先根据二次根式有意义的条件列出关于的不等式，求出的取值范围即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于，此题基础题，比较简单．
 

10.【答案】

【解析】解：原式，
故答案为：．
原式提取，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 

11.【答案】

【解析】解：，而，，
，，
解得，
．
故答案为：．
根据绝对值和算术平方根的非负数的性质可求出、的值，再代入所求式子计算即可．
本题考查了非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零．
 

12.【答案】

【解析】解：由题意可得，，
故答案是：．
根据用一根绳子去量一根木条，绳子剩余尺，可得，根据将绳子对折再量木条，木条剩余尺，可得，从而可以得到相应的方程组，本题得以解决．
本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
 

13.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了切线的性质，等边三角形的性质，属于中档题．
得出 ，求得 ，即可求得 ，进行求解即可．
【解答】
解：连接 ，作 于 ，

与等边三角形 的两边 、 都相切，
，
，
，
，
．
故答案为 ．   

14.【答案】

【解析】解：是以为自变量的二次函数，且当时，的最小值为，
二次函数对称轴是轴，且顶点坐标为：，
故满足上述条件的二次函数表达式可以为：．
故答案为：．
直接利用二次函数的性质得出其顶点坐标，进而得出答案．
此题主要考查了二次函数的性质，正确得出其顶点坐标是解题关键．
 

15.【答案】答案不唯一

【解析】解：这个条件可以是，理由如下：
四边形是平行四边形，，
▱是矩形，
故答案为：答案不唯一．
由矩形的判定即可得出结论．
本题考查了矩形的判定以及平行四边形的性质等知识；熟记矩形的判定定理是解题的关键．
 

16.【答案】B、、、

【解析】解：图中最左边的“”和最右边的“”，可得如下推断：
由第三行第二个“”，可得它的上方必定是雷．
结合下方的“”，可得最左边的、对应的“？”中有一个雷；
同理可得最右边的“”周围个“？”中有个雷，中间、对应“？”中有一个雷；
由于下方的“”和第二行最右边的“”，它们周围的雷已经够数，
所以对应的方格肯定不是雷，如下图所示：

进行下一步推理：
因为对应的方格不是雷，所以下方“”的左上、右上的方格，即、都是雷；
而下方的“”的周围的雷也已经够数，所以对应的方格也不是雷．
因为下方的“”，它的周围的雷已经够数，可得对应的方格不是雷，
根据下方的“”周围应该有个雷，结合不是雷，可得、对应的方格都是雷．
综上所述，、、对应的方格不是雷，且、、、对应的方格是雷．
故答案为：、、、
根据题意：
下方的“”，可得最左边的、对应的“？”中有一个雷；
同理可得最右边的“”周围个“？”中有个雷，中间、对应“？”中有一个雷；
由于下方的“”和第二行最右边的“”，它们周围的雷已经够数，
所以对应的方格肯定不是雷，因为对应的方格不是雷，所以下方“”的左上、右上的方格，即、都是雷；
而下方的“”的周围的雷也已经够数，所以对应的方格也不是雷．
因为下方的“”，它的周围的雷已经够数，可得对应的方格不是雷，
根据下方的“”周围应该有个雷，结合不是雷，可得、对应的方格都是雷．
综上所述，、、对应的方格不是雷，且、、、对应的方格是雷．
据此解答即可．
本题主要考查了扫雷的基本原理和推理和证明的知识，主要训练学生逻辑推理能力．
 

17.【答案】解：原式

．

【解析】直接利用负整数指数幂的性质以及二次根式的性质和特殊角的三角函数值分别化简得出答案．
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
 

18.【答案】解：去分母，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化成得：．
则解集在数轴上表示出来为：
．

【解析】去分母、去括号，移项、合并同类项，系数化成即可求解．
本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错．
解不等式要依据不等式的基本性质：
不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；
不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；
不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．
 

19.【答案】相等的圆周角所对的弦相等  四边相等的四边形是菱形  有一个角是直角的菱形是正方形

【解析】解：如图，正方形即为所求．

在中，，，
．
．
相等的圆心角所对的弦相等，
四边形是菱形四边相等的四边形是菱形，
是的直径，
直径所对的圆周角是，
四边形是正方形．
故答案为：相等的圆心角所对的弦相等，四边相等的四边形是菱形，有一个角是直角的菱形是正方形．
根据要求作出图形即可．
根据有一个角是直角的菱形是正方形证明即可．
本题考查作图复杂作图，勾股定理，菱形的判定和性质，正方形的判定和性质等知识，解题的关键是掌握正方形的判定方法，属于中考常考题型．
 

20.【答案】解：根据题意得且，
解得且；
由可知且，又为正整数，
，
原方程变形为，解得，．

【解析】根据一元二次方程的定义和根的判别式得到：且，然后求出两个不等式解集的公共部分即可；
利用的范围可确定，则原方程化为，然后利用因式分解法解方程．
本题考查了根的判别式和解一元二次方程，解题的关键是理解方程有两个实数根即．
 

21.【答案】解：四边形是矩形，
，，
，
，
四边形是平行四边形．
如图所示，过作于，
四边形是矩形，
，
是的中点，
，
又，
，
是的中点，
是的中位线，
，
中，．

【解析】根据，，即可得出四边形是平行四边形．
过作于，依据矩形的性质即可得到以及的长，再根据勾股定理即可得到的长．
本题主要考查了矩形的性质以及勾股定理，解题的关键是熟练运用矩形的性质以及平行四边形的判定方法．
 

22.【答案】解：点的坐标为且在一次函数的图象上，代入得．
．
点坐标为，
把代入得，
反比例函数表达式为；
，
，，
由图象得：不等式的解集是或．

【解析】把的坐标代入求得的值，得出，再代入入即可求得的值；
先根据方程可得，两点的横坐标，根据图象即可求得．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．也考查了待定系数法求函数解析式以及观察函数图象的能力．
 

23.【答案】解：建立适当平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑曲线连接，如下图：

结合表中所给的数据或所画的图象可知：
当时，取得最大值，
即演员身体距离地面的最大高度为米；
结合表中所给的数据或所画的图象可知：此抛物线的对称轴是，顶点坐标为，
设此抛物线为
，
把代入，得：
，
解得：，
此抛物线为，
当时，，
即起跳点距离地面的高度为米；
在一次表演中，已知人梯到起跳点的水平距离是米，人梯的高度是米，
由已知表格中的对应数据可知：时，，
此次表演不成功，
当时，
，
解得：，，
要调节人梯到起跳点的水平距离为米或米才能成功．

【解析】建立适当坐标系，用描点、连线做出函数图象；
结合表中数据和函数图象直接得出结论；
先用待定系数法求出函数解析式，再令，即可得出结论；
先把时带入函数解析式求出，得出此次表演不成功；再把代入函数解析式求出的值即可．
本题考查二次函数的应用，关键是根据数据求出函数解析式．
 

24.【答案】证明：连接，
切于点，
，
，
又，
，
，
，
，
，
；

∽，
，
，，
即，
．

【解析】连接，根据切线的性质得到，根据平行线的判定定理得到，求得，根据等腰三角形的性质得到，等量代换得到，于是得到结论；
根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．
本题考查了切线的性质，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
 

25.【答案】男生  睡眠时长的平均数相等，男生睡眠时长的众数、中位数高于女生

【解析】解：男生的频数为，
补全的频数分布直方图如图：


由表格可知，，，
，；

根据题目中的信息可知，男生睡眠情况比较好，
理由为：睡眠时长的平均数相等，男生睡眠时长的众数、中位数高于女生．
故答案为：男生，睡眠时长的平均数相等，男生睡眠时长的众数、中位数高于女生．
求出男生的频数，然后即可将频数分布直方图补充完整；
根据表格的数据，可以得到，的值；
根据表格中的数据，可以得到睡眠情况比较好的，并写出相应的理由．
本题考查频数分布直方图、中位数、众数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

26.【答案】解：对称轴为直线；
时，抛物线的解析式为；
画出的图象，把轴下方的部分沿轴向上翻折，得到图象，如图，
与图形公共点的个数是个；
，或．

【解析】利用对称轴公式求解即可；
把代入即可；
翻折图象，出画图形，直接写出结论即可．
本题考查的是二次函数的综合题，画出正确的图形，利用数形结合是解题的关键．
 

27.【答案】解：如图，

，理由如下：
，
，
，
，
，
，
点和点关于对称，
≌，
，，
，
，
，
，
；
如图，
，理由如下：
由知：，
，，
，
，，
，
∽，
，
，，
，
由知：，
，
∽，
，
，
．

【解析】作，并使点到的距离等于点到的距离；
证明；
可证明：，，证明∽，从而得出，进一步得出结论．
本题考查了直角三角形性质，角平分线性质，相似三角形的判定和性质，轴对称性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关性质．
 

28.【答案】

【解析】解：如图中，点关于轴的反射点的坐标为，
故答案为：；


如图中，

，点的反射点在直线上，
点的反射点，
“点”在直线上，
，
；

如图中，点就是点关于直线的“反射点”，其中点为“点”，

直线的解析式为，，直线与直线存在，
直线与直线平行，
可以假设直线的解析式为，
，的半径为，
当直线与在的下方与相切于点时，，
直线的解析式为，
由，解得，，
，
．

如图中，当直线与在的上方与相切于点时，，
直线的解析式为，
由，解得，，
，
，

综上所述，满足条件的的值为：．
利用图象法，画出图形，解决问题即可；
判断出的坐标，再根据对称性求出点的坐标，可得结论；
求出两种特殊情形，的值，可得结论．
本题属于圆综合题，考查了一次函数的性质，直线与圆的位置关系等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊位置解决问题，属于中考压轴题．