2022-2023学年陕西省西安市高新一中九年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年陕西省西安市高新一中九年级（下）期中数学试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 在227，0，3.1415926，2.010010001…，− 3，3343，−π3这些数中，无理数的个数为( )
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
2. 如图，已知AD // BC，∠B=30°，DB平分∠ADE，则∠DEC=( )
A. 30°B. 60°C. 90°D. 120°
3. 每到四月，许多地方杨絮、柳絮如雪花般漫天飞舞，人们不堪其扰，据测定，杨絮纤维的直径约为0.0000108m，该数值用科学记数法表示为( )
A. 1.08×10−4B. 1.08×10−5 C. −1.08×105 D. 108×10−6
4. 下列运算正确的是( )
A. a2+a3=a6B. (ab)2=ab2
C. (a+b)2=a2+b2D. (a+b)(a−b)=a2−b2
5. 如图，点D、E分别是边AB、AC的中点，将△ADE沿着DE对折，点A落在BC边上的点F，若∠B=50°，则∠BDF的度数为( )
A. 50°B. 70°C. 75°D. 80°
6. 若直线l1经过点(0,3)，直线l2经过点(5,2)，且l1与l2关于x轴对称，则l1与l2的交点坐标为( )
A. (−2,0)B. (2,0)C. (−3,0)D. (3,0)
7. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE是⊙O的直径，连接AE.若∠BCD=2∠BAD，若连接OD，则∠DOE的度数是( )
A. 30°
B. 35°
C. 45°
D. 60°
8. 二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，且a≠0)的自变量x与函数值y的部分对应值如表：
有下列四个结论：①abc<0；②抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=1；③0和1是方程ax2+bx+c−4=0的两个根：④若t>3，则m>n．
其中正确结论的个数是( )
A. 4B. 3C. 2D. 1
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
9. 把多项式xy2−36x分解因式的结果是 ．
10. 将正六边形ABCDEF和正五边形BCGHI按如图所示的位置摆放，连接DG，则∠CDG= ______ ．
11. 在设计人体雕像时，使雕像上部(腰部以上)与下部(腰部以下)的高度比等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感，按此比例设计一座高度为2m的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度是______ ．
12. 正比例函数y=kx与反比例函数y=1x的图象交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点，则代数式x1y2+x2y1的值是______．
13. 如图，正方形ABCD的边长为5，O是AB边的中点，点E是正方形内一动点，OE=2，将线段CE绕C点逆时针旋转90°得CF，连OF，线段OF的最小值为______．
三、解答题（本大题共13小题，共81.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
14. (本小题4.0分)
计算：2sin 45°− 4+(−13)−1+| 2−3|．
15. (本小题4.0分)
解不等式组：╔╔ \ begin{cases}2(x-3) \ leqslant x-4\\\dfrac{x-2}{2}
16. (本小题4.0分)
化简：(3x−3−3xx2−9)÷3x−9x2−6x+9，然后从−3，1，3中选一个合适的值代入求解．
17. (本小题5.0分)
如图，在矩形ABCD中，AD=AE，在AE上找一点F，使得DF=DC(保留作图痕迹，不写作法)．
18. (本小题5.0分)
我们把两组邻边相等的四边形叫做“筝形”.如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AB=CB，AD=CD，对角线AC，BD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CB，垂足分别是E，F，求证OE=OF;
19. (本小题5.0分)
如图，在直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格点上，其中C点的坐标为(1,2)．
(1)直接写出点B的坐标为______；
(2)求△ABC的面积；
(3)将△ABC向左平移1个单位，再向上平移2个单位，画出平移后的△A1B1C1，并写出△A1B1C1三个顶点的坐标．
20. (本小题6.0分)
为庆祝中国共青团成立100周年，某校开展四项活动：A项参观学习，B项团史宣讲，C项经典诵读，D项文学创作，要求每名学生在规定时间内必须且只能参加其中一项活动．该校从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们参加活动的意向，将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图．
(1)本次调查的样本容量是______，B项活动所在扇形的圆心角的大小是______，条形统计图中C项活动的人数是______；
(2)若该校约有2000名学生，请估计其中意向参加“参观学习”活动的人数．
21. (本小题6.0分)
数学活动课上，小明同学利用无人机测量大楼CD的高度.无人机在空中P处，测得楼CD楼顶D处的俯角为45°，测得楼AB楼顶A处的俯角为60°.已知楼AB和楼CD之间的距离BC为120米，楼AB的高度为18米的A处测得楼CD的D处的仰角为30°(点A、B、C、D、P在同平面内)．
(1)求楼CD的高度(结果保留根号)；
(2)求此时无人机距离地面BC的高度．
22. (本小题6.0分)
2023年第19届亚运会的吉祥物为“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”.如图，现有三张正面印有这三种吉祥物的不透明的卡片，依次记为A、B、C，这三张卡片除正面图案不同外，其余均相同.将这三张卡片背面向上洗匀，小亮从中随机抽取一张，记下图案后背面向上放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张.请用画树状图(或列表)的方法，求小亮两次抽到的卡片图案上都是莲莲的概率．
23. (本小题6.0分)
在学习贯彻习近平总书记关于生态文明建设系列重要讲话精神，牢固树立“绿水青山就是金山银山”理念，把生态文明建设融入经济建设、政治建设、文化建设、社会建设各个方面和全过程，建设美丽中国的活动中，某学校计划组织全校1441名师生到相关部门规划的林区植树，经过研究，决定租用当地租车公司一共62辆A、B两种型号客车作为交通工具.下表是租车公司提供给学校有关两种型号客车的载客量和租金信息：
注：载客量指的是每辆客车最多可载该校师生的人数．
(1)设租用A型号客车x辆，租车总费用为y元，求y与x的函数解析式(也称关系式)，请直接写出x的取值范围;
(2)若要使租车总费用不超过21940元，一共有几种租车方案?哪种租车方案最省钱?
24. (本小题8.0分)
已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AE是角平分线，BM平分∠ABC交AE于点M，经过B，M两点的⊙O交BC于点G，交AB于点F，FB恰为⊙O的直径．
(1)求证：AE与⊙O相切；
(2)当BC=6，csC=13时，求⊙O的半径．
25. (本小题10.0分)
如图，抛物线y=ax2+bx−3(a≠0)与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C，且BO=OC=3AO．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PBC是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的点P坐标；若不存在，请说明理由．
26. (本小题12.0分)
综合与实践
【知识方法】
(1)如图1，在△ABC与△EDC中，∠ACB=∠ECD=90°，AC=BC，CE=CD，连接AE、BD，则AE与BD的数量关系是______ ；
【类比迁移】
(2)如图2，正方形ABCD与正方形DEFG共用点D，连接BF、AE、CG，试探究AE与CG之间的数量关系，并说明理由；

【拓展应用】
(3)如图3，点P是矩形ABCD边CD上的动点，连接BP，将BP绕点P顺时针旋转90°至EP，EP交AD于点G，将CP绕点P顺时针旋转90°至FP，连接FG、FA、AE，若AB=3，BC=6，求四边形AEGF面积的最小值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：2.010010001…，− 3，−π3是无理数，
故选：B．
根据无理数的定义即可求出答案．
本题考查无理数的定义，解题的关键是正确理解无理数的定义，本题属于基础题型．
2.【答案】B
【解析】
【分析】
考查了平行线的性质、角平分线的概念，要熟练掌握．
根据平行线的性质：两条直线平行，内错角相等及角平分线的定义解答．
【解答】
解：∵AD//BC，
∴∠ADB=∠B=30°，
再根据角平分线的概念，得：∠BDE=∠ADB=30°，
再根据两条直线平行，内错角相等得：∠DEC=∠ADE=∠ADB+∠BDE=60°，
故选：B．
3.【答案】B
【解析】解：0.0000108=1.08×10−5．
故选：B．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了平方差公式和完全平方公式的运用，理解公式结构是关键，需要熟练掌握并灵活运用．
根据合并同类项法则，积的乘方的运算法则，完全平方公式以及平方差公式即可作出判断．
【解答】
解：A、a2和a3不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意；
B、(ab)2=a2b2，故本选项不符合题意；
C、(a+b)2=a2+2ab+b2，故本选项不符合题意；
D、(a+b)(a−b)=a2−b2，故本选项符合题意．
故选：D．
5.【答案】D
【解析】解：∵点D、E分别是边AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE//BC，
∴∠ADE=∠B=50°，
∵△DEF是△DEA经过翻折变换得到的，
∴∠EDF=50°，
∴∠BDF=180°−2∠ADE=180°−100°=80°．
故选：D．
先根据点D、E分别是边AB、AC的中点可知DE是△ABC的中位线，故可求出∠ADE=∠B=50°，再由翻折变换的性质可知∠EDF=50°，由平角的性质即可求解．
本题考查的是中位线定理、图形翻折变换的性质及平角的性质，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键．
6.【答案】D
【解析】根据对称的性质得出点(0,3)关于x轴对称的对称点，再根据待定系数法确定直线l2的关系式，求出直线l2与x轴的交点即可．
解：设直线l2的解析式为y=kx+b，
∵直线l1经过点(0,3)，l2经过点(5,2)，且l1与l2关于x轴对称，
∴两直线相交于x轴上，点(0,3)关于x轴的对称点(0,−3)在直线l2上，
把(0,−3)和(5,2)代入y=kx+b，得b=−35k+b=2，
解得：k=1b=−3，
故直线l2的解析式为：y=x−3，
令y=0，则x=3，
即l1与l2的交点坐标为(3,0)．
故选：D．
此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及坐标与图形的性质，正确得出l1与l2的交点坐标为l1与l2与x轴的交点是解题关键．
7.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BCD+∠BAD=180°，
∵∠BCD=2∠BAD，
∴∠BCD=120°，∠BAD=60°，
∵BE是⊙O的直径，
∴∠BAE=90°，
∴∠DAE=90°−∠BAD=90°−60°=30°，
∴∠DOE=2∠DAE=2×30°=60°，
故选：D．
根据圆内接四边形的性质求出∠BAD=60°，根据圆周角定理得到∠BAE=90°，结合图形计算，得到答案．
本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理的应用，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：将(−1,3)，(1,4)，(2,3)代入y=ax2+bx+c得a−b+c=3a+b+c=44a+2b+c=3，
解得a=−12b=12c=3，
∴abc<0，故①正确，符合题意．
∵抛物线对称轴为直线x=−122×(−12)=12，
∴②错误，不符合题意．
∵抛物线对称轴为直线x=−12，
∴点(1,4)的对称点为(0,4)，
∴ax2+bx+c=−4的解为x=0或x=1，
∴0和1是方程ax2+bx+c+3=0的两个根，③正确，符合题意．
∵抛物线经过点(−2,m)，对称轴为直线x=12，
∴抛物线经过点(3,m)，
当x>12时，y随x增大而减小，
∴x>3时，y3时，m>n，④正确，符合题意．
故选：B．
先通过表格及待定系数法求出函数解析，从而判断①②，然后通过二次函数图象的对称性可得x=0和x=1时，y=−4，从而判断③，再根据抛物线的对称性可得t=3时，n=m，进而判断④．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
9.【答案】x(y+6)(y−6)
【解析】解：xy2−36x
=x(y2−36)
=x(y+6)(y−6)，
故答案为：x(y+6)(y−6)．
先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意必须先提公因式．
10.【答案】24°
【解析】解：由题意得，CG=CD．
∴∠CGD=∠CDG．
∵多边形ABCDEF是正六边形、多边形BCGHI是正五边形．
∴∠BCG=120°，∠BCD=108°．
∴∠DCG=360°−∠BCG−∠BCD=360°−120°−108°=132°．
∴∠CGD+∠CDG=180°−∠GCD=48°．
∴2∠CDG=48°．
∴∠CDG=24°．
故答案为：24°．
由题意得，CG=CD，根据等腰三角形的性质，得∠CGD=∠CDG.根据正多边形的性质，由多边形ABCDEF是正六边形、多边形BCGHI是正五边形，得∠BCG=120°，∠BCD=108°，从而得到∠DCG=360°−∠BCG−∠BCD=360°−120°−108°=132°，那么∠CGD+∠CDG=180°−∠GCD=48°.，进而解决此题．
本题主要考查正多边形的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握正多边形的性质、等腰三角形的性质是解决本题的关键．
11.【答案】( 5−1)
【解析】解：∵雕像上部(腰部以上)与下部(腰部以下)的高度比等于下部与全部的高度比，
∴该雕像的下部设计高度= 5−12×2=( 5−1)m，
故答案为：( 5−1)．
根据黄金分割的定义可得：该雕像的下部设计高度= 5−12×2全部高度，然后进行计算即可解答．
本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
12.【答案】−2
【解析】解：∵A(x1,y1)、B(x2,y2)在反比例函数y=1x的图象上，
∴x1y1=x2y2=1，
∵正比例函数y=kx与反比例函数y=1x的图象交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点，
∴点A与点B关于原点对称，
∴x1=−x2，y1=−y2，
∴x1y2+x2y1
=−x1y1−x2y2
=−1−1
=−2，
故答案为：−2．
根据反比例函数图象上点的坐标图象以及正比例函数的性质可得答案．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，掌握正比例函数、反比例函数的图象和性质是正确解答的前提．
13.【答案】5 102−2
【解析】解：如图，连接CO，将线段CO绕点C逆时针旋转90°得CM，连接FM，OM，
则∠ECF=∠OCM=90°，
∴∠ECO=∠FCM，
∵CE=CF，CO=CM，
∴△ECO≌△FCM(SAS)，
∴FM=OE=2，
∵正方形ABCD中，AB=5，O是AB边的中点，
∴OB=2.5，
∴OC= 52+(52)2=5 52，
而在△OCM中，OC2+MC2=OM2，
∴OM= 2OC=5 102，
∵OF+MF≥OM，
∴OF≥5 102−2．
∴线段OF的最小值为5 102−2．
如图，如图，连接CO，将线段CO绕点C逆时针旋转90°得CM，连接FM，OM，根据全等三角形的性质得到FM=OE=2，根据勾股定理得到OC= 52+(52)2=5 52，求得OM= 2OC=5 102，于是得到结论．
本题考查图形的旋转，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的三边关系等．解题的关键是作辅助线构造全等三角形．
14.【答案】解：原式=2× 22−2−3+3− 2
= 2−2−3+3− 2
=−2．
【解析】分别根据特殊角的三角函数值，绝对值的性质及负整数指数幂的运算法则，数的开方法则计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．
本题考查的是实数的运算，熟知特殊角的三角函数值，绝对值的性质及负整数指数幂的运算法则，数的开方法则是解题的关键．
15.【答案】解：2(x−3)≤x−4①x−22由①得：x≤2，
由②得：x>−2，
∴不等式组的解集为−2解集表示在数轴上，如图所示：

则不等式组的整数解为−1，0，1，2．
【解析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分求出不等式组的解集，进而求出整数解即可．
此题考查了解一元一次不等式组，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
16.【答案】解：原式=[3(x+3)(x−3)(x+3)−3x(x−3)(x+3)]⋅(x−3)23(x−3)
=9(x+3)(x−3)⋅x−33
=3x+3．
当x=±3时，原分式无意义，
∴x=1，
∴原式=31+3=34．
【解析】先化简括号内的式子，再算括号外的除法，然后从−3，1，3中选择一个使原分式有意义的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算的法则是解题的关键．
17.【答案】解：如图，过D点作DF⊥AE于点F，

∴∠DFA=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，AB=DC，∠ABE=90°=∠DFA，
∴∠AEB=∠DAF，
在△AEB和△DAF中，
∠ABE=∠DFA∠AEB=∠DAFAE=DA，
∴△AEB≌△DAF(AAS)，
∴AB=DF，
又∵AB=DC，
∴DF=DC，
则DF即为所作．
【解析】利用基本作图，过D点作DF⊥AE于点F即可．
本题考查作图—基本作图：熟练掌握5种基本作图是此类问题的关键．也考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质．
18.【答案】证明：∵在△ABD和△CBD中，AB=CBAD=CDBD=BD，
∴△ABD≌△CBD(SSS)，
∴∠ABD=∠CBD，
∴BD平分∠ABC．
又∵OE⊥AB，OF⊥CB，
∴OE=OF．
【解析】欲证明OE=OF，只需推知BD平分∠ABC，所以通过全等三角形△ABD≌△CBD(SSS)的对应角相等得到∠ABD=∠CBD，问题就迎刃而解了．
本题考查了全等三角形的判定与性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
19.【答案】(4,3)
【解析】解：(1)点B的坐标为(4,3)，
故答案为：(4,3)；
(2)△ABC的面积为：3×4−12×1×3−12×2×4−12×1×3=5；
(3)如图所示：△A1B1C1，即为所求；A1(1,1)、B1(3,5)、C1(0,4)．
(1)利用坐标系可得答案；
(2)利用矩形面积减去周围多于三角形的面积即可；
(3)确定A、B、C三点平移后的位置，再连接即可．
此题主要考查了作图--平移变换，关键是掌握组成图形的关键点平移后的位置．
20.【答案】解：(1)80，54°，20；
(2)2000×3280=800(人)，
答：该校意向参加“参观学习”活动的人数约为800人．
【解析】解：(1)本次调查的样本容量是16÷20%=80，B项活动所在扇形的圆心角的大小是360°×1280=54°，条形统计图中C项活动的人数是80−32−12−16=20(人)，
故答案为：80，54°，20；
(2)2000×3280=800(人)，
答：该校意向参加“参观学习”活动的人数约为800人．
(1)根据两幅统计图提供的信息列式计算即可；
(2)根据样本估计总体列式计算即可．
本题考查了条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体，正确地理解题意是解题的关键．
21.【答案】解：(1)过点A作AE⊥DC于点E得矩形ABCE，则AE=BC=120米，EC=AB=18米．
在Rt△AED中，∠AED=90°，∠DAE=30°，
∴tan∠DAE=DEAE
∴DE=AE⋅tan∠DAE
∴DE=AE⋅tan30°=120× 33=40 3．
∴CD=DE+EC=40 3+18．
答：楼CD高度为(40 3+18)米；
(2)作PG⊥AE于点F，则∠PFA=∠AED=90°，FG=AB=18，
依题意，知∠APD=75°，∠PAD=30°，∠ADP=180°−∠APD−∠PAD=180°−75°−30°=75°，
∴∠APD=∠ADP，
∴AP=AD，
在Rt△AED中，∠AED=90°，∠DAE=30°．
∴cs∠DAE=AEAD，
∴AD=AEcs∠DAE=120cs30∘=80 3，
∴AP=80 3，
在Rt△PAF中，∠AFP=90°，∠PAF=60°，
∴sin∠PAF=PFAP，
∴PF=AP⋅sin∠PAF=80 3×sin60°=120，
∴PG=PF+FG=120+18=138．
∴无人机距离地面BC的高度为138米．
【解析】(1)由题意可得AE=BC=120米，EC=AB=18米，在Rt△AED中，DE=AE⋅tan30°=120× 33=40 3，结合CD=DE+EC可得出答案．
(2)作PG⊥AE于点F，可得PF=AP⋅sin∠PAF=80 3×sin60°=120，再根据PG=PF+FG可得出答案．
本题考查解直角三角形的应用−仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
22.【答案】解：画树状图如下：

共有9种等可能的结果，其中两次抽取的卡片上都是莲莲的有1种结果，
所以两次抽取的卡片上都是莲莲的概率为19．
【解析】画树状图，共有9种等可能的结果，两次抽取的卡片上都是莲莲的有1种结果，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
23.【答案】解：(1)由题意：y=380x+280(62−x)=100x+17360．
∵30x+20(62−x)≥1441，
∴x≥20.1，
又∵x为整数，
∴x的取值范围为21≤x≤62的整数．
(2)由题意100x+17360≤21940，
∴x≤45.8，
∴21≤x≤45，
∴共有25种租车方案，
x=21时，y有最小值=19460元．
【解析】(1)根据租车总费用=A、B两种车的费用之和，列出函数关系式即可；
(2)列出不等式，求出自变量x的取值范围，利用函数的性质即可解决问题；
本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用等知识，解题的关键是理解题意，学会利用函数的性质解决最值问题．
24.【答案】(1)证明：连接OM，则OM=OB，
∴∠OBM=∠OMB，
∵BM平分∠ABC，
∴∠OBM=∠EBM，
∴∠OMB=∠EBM，
∴OM//BE，
∴∠AMO=∠AEB，
在△ABC中，AB=AC，AE是角平分线，
∴AE⊥BC，
∴∠AMO=∠AEB=90°，
∵OM是⊙O的半径，
∴AE与⊙O相切；
(2)解：在△ABC中，AB=AC，AE是角平分线，
∴BE=12BC=3，∠ABC=∠C，
∴在Rt△ABE中，cs∠ABC=cs∠C=BEAB=3AB=13，
∴AB=9，
设⊙O的半径为r，则AO=9−r，
∵OM//BC，
∴△AOM∽△ABE，
∴OMBE=AOAB，
即 r3=9−r9，
∴r=94，
即⊙O的半径为94．
【解析】(1)连接OM，可得∠OMB=∠OBM=∠MBE，进而推出OM//BE，由平行线的性质得到∠AMO=∠AEB，由等腰三角形的性质得到AE⊥BC，得到∠AMO=∠AEB=90°，由圆的切线的判定即可证得结论；
(2)首先证得△AOM∽△ABE，根据相似三角形对应边成比例即可求解．
本题考查了切线的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质和判定，相似三角形的判定与性质，解题的关键是正确作出辅助线进行证明．
25.【答案】解：(1)∵抛物线y=ax2+bx−3，
∴c=−3，
∴C(0,−3)，
∴OC=3，
∵BO=OC=3AO，
∴BO=3，AO=1，
∴B(3,0)，A(−1,0)，
∵该抛物线与x轴交于A、B两点，
∴9a+3b−3=0a−b−3=0，
∴a=1b=−2，
∴抛物线解析式为y=x2−2x−3，
(2)存在，
理由：设P(1,m)，
∵B(3,0)，C(0,−3)，
∴BC=3 2，PB= m2+4，PC= (m+3)2+1，
∵△PBC是等腰三角形，
①当PB=PC时，
∴ m2+4= (m+3)2+1，
∴m=−1，
∴P(1,−1)，
②当PB=BC时，
∴3 2= m2+4，
∴m=± 14，
∴P(1, 14)或P(1,− 14)，
③当PC=BC时，
∴3 2= (m+3)2+1，
∴m=−3± 17，
∴P(1,−3+ 17)或P(1,−3− 17)，
∴符合条件的P点坐标为P(1,−1)或P(1, 14)或P(1,− 14)或P(1,−3+ 17)或P(1,−3− 17).
【解析】(1)先求出点C的坐标，在由BO=OC=3AO，确定出点B，A的坐标，最后用待定系数法求出抛物线解析式；
(2)设出点P的坐标，表示出PB，PC，求出BC，分三种情况利用两边相等建立方程求解即可．
此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，等腰三角形的性质，解本题的关键是用方程的思想解决问题．
26.【答案】AE=BD
【解析】解：(1)AE=BD；理由如下：
在△ACE和△BCD中，
AC=BC∠ACB=∠ECD=90°CE=CD，
∴△ACE≌△BCD(SAS)，
∴AE=BD；
(2)AE=CG；理由如下：
∵四边形ABCD和四边形DEFG是正方形，
∴AD=CD，DE=GD，∠ADC=∠GDE=90°，
∴∠GDC+∠GDA=∠ADE+∠GDA，
∴∠GDC=∠ADE，
在△GDC和△EDA中，
AD=CD∠GDC=∠ADEDE=GD，
∴△GDC≌△EDA(SAS)，
∴AE=CG；
(3)连接EF，如图所示，

由旋转性质可得：BP=PE，CP=PF，∠CPF=∠BPE=90°，
∵∠CPF=∠CPB+∠FPB，∠BPE=∠EPF+∠FPB，
∴∠CPB=∠EPF，
∴△BCP≌△EFP(SAS)，
∵BC=6，
∴EF=6，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=∠PFE=90°
∴PF//AD，
∴FE⊥AD，
∴S四边形AEGF=12×EF×AG=12×6×AG=3AG，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=∠D=90°，
∵FE⊥AD，
∴PD//EF，
∴∠DPG=∠FEP，
∵△BCP≌△EFP(SAS)，
∴∠CBP=∠FEP，
∴∠CBP=∠DPG，
∴△BCP∽△PDG，
∴BCPD=PCDG，
∴DG=PC×PDBC=PC×(3−PC)6=−(PC−32)2+946，
∴当PC=32时，DG有最大值38，即AG有最小值，且最小值AG=AD−DG=6−38=458，
∴S四边形AEGF=12×EF×AG=12×6×AG=3AG=3×458=1358．
(1)根据题中条件证明△ACE≌△BCD(SAS)即可得到答案．
(2)根据题中条件证明△GDC≌△EDA(SAS)即可得到答案．
(3)连接EF，根据条件证明△BCP≌△EFP(SAS)，从而得出S四边形AEGF=12×EF×AG，要是四边形AEGF面积有最小值，则AG有最小值，即DG有最大值，根据条件证明△BCP∽△PDG(AA)即可得到答案．
本题考查了四边形的综合题，综合性较强，正确作出辅助线和找出相似三角形时解题关键．
x
…
−2
−1
1
2
t
…
y=ax2+bx+c
…
m
3
4
3
n
…
型号
载客量
租金单价
A
30人/辆
380元/辆
B
20人/辆
280元/辆