2021-2022学年陕西省榆林十中高二（下）期末数学试卷（文科）（Word解析版）

这是一份2021-2022学年陕西省榆林十中高二（下）期末数学试卷（文科）（Word解析版），共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
已知集合A={0,1,2,9}，B={1,2,4}，则A∩B=( )
A. ⌀B. {1,2}C. {1,2,4}D. {0,1,2,4,9}
已知a∈R，且2+ai1+i=-2i，那么a=( )
A. -2B. 2C. 4D. -4
已知α是第二象限角，则( )
A. csα>0B. sinα<0C. sin2α<0D. tanα>0
在区间[1,4]上随机取一个数x，则x>3的概率为( )
A. 13B. 23C. 14D. 34
已知x，y∈R，且x>0，y>0，x+y=2，那么xy的最大值为( )
A. 14B. 12C. 1D. 2
函数f(x)=3x2sinx的图象可能是( )
A. B.
C. D.
“数列{an}为常数列”是“数列{an}为等比数列”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
如图，“蘑菇”形状的几何体是由半个球体和一个圆柱体组成，球的半径为2，圆柱的底面半径为1，高为3，则该几何体的表面积为( )
A. 18πB. 20πC. 22π3D. 26π
已知函数f(x)=2sin(x-π4)，则下列结论中正确的是( )
A. f(x)的最小正周期为πB. f(x)的最大值为2
C. f(x)在区间(0,3π4)上单调递增D. f(x)的图像关于直线x=π4对称
榴花塔以红石为基，用青砖灰沙砌筑建成．如图，记榴花塔高为OT，测量小组选取与塔底O在同一水平面内的两个测量点A和B，现测得∠OBA=105°，∠OAB=45°，AB=36m，在点B处测得塔顶T的仰角为30°，则塔高OT为( )
A. 126mB. 62mC. 156mD. 1522m
已知F1，F2是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，椭圆上一点M满足：MF1=2MF2，∠F1MF2=60°，则该椭圆离心率是( )
A. 12B. 13C. 22D. 33
已知函数f(x)满足f(x+4)=f(x)，且函数y=f(x+2)的图像关于直线x=-2对称，当2≤x≤3时，f(x)=lg2(x+112)，则f(2192)的值为( )
A. 2B. 3C. 4D. 6
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
设x∈R，向量a=(x,1)，b=(2,-4)，且a//b，则x=______．
已知双曲线E：x23-y2b2=1(b>0)的渐近线方程为y=±3x，则双曲线E的焦距等于______．
若直线y=a与函数y=-x3+3x的图象有三个交点，则实数a的取值范围是______．
如图，E，F分别是正方体的面ADD1A1，面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的各面上的射影可能是______.(写出所有可能的图的序号)
三、解答题（本大题共7小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
在等差数列{an}中，公差d≠0，a4=-6，且a2，a3，a5成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn=3an，求数列{bn}的前n项和Tn．
某村为巩固脱贫成果，防止返贫致贫，积极引导村民种植一种名贵中药材，但这种中药材需加工成半成品才能销售．现有甲、乙两种针对这种中药材的加工方式可供选择，为比较这两种加工方式的优劣，村委会分别从甲、乙两种加工方式所加工的半成品中，各自随机抽取了100件作为样本检测其质量指标值(质量指标值越大，质量越好)，检测结果如表所示：
已知每件中药半成品的等级与纯利润间的关系如表所示：
(1)将频率视为概率，分别估计甲、乙两种加工方式所加工的一件中药材半成品等级为特级的概率；
(2)从平均数的角度分析村民选择哪种中药材加工方式获利更多．
如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，且△ABC为等边三角形，AA1=AB=6，D为AC的中点．
(1)求证：直线AB1//平面BC1D；
(2)求三棱锥C-BC1D的体积．
已知点P(p,2p-32)在抛物线C：x2=2py(p>0)上．
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点M(0,1)的直线l交抛物线C于A，B两点，设直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，O为坐标原点，求证：k1k2为定值．
已知函数f(x)=aex-12x2．
(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；
(2)若函数f(x)在[0,+∞)上单调递增，求实数a的取值范围．
已知曲线C1：x=-1+csty=3+sint(t为参数)，C2：x=3csθy=sinθ(θ为参数)．
(1)求C1，C2的普通方程；
(2)若C1上的点P对应的参数为t=π2，C2上的点Q对应的参数θ=π，求|PQ|．
已知函数f(x)=|x+a|+|x-2|的定义域为R．
(Ⅰ)当a=5时，求不等式f(x)>9的解集；
(Ⅱ)若关于x的不等式f(x)≥3恒成立，求实数a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵A={0,1,2,9}，B={1,2,4}，
∴A∩B={1,2,}，
故选：B．
根据交集的运算求出A，B的交集即可．
本题考查了集合的交集的运算，是基础题．
2.【答案】A
【解析】解：∵2+ai1+i=(2+ai)(1-i)(1+i)(1-i)=2+a+(a-2)i2=-2i，
∴2+a=0a-22=-2，解得a=-2．
故选：A．
根据已知条件，结合复数代数形式的乘除法运算，即可求解．
本题考查了复数代数形式的乘除法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：当α是第二象限角时，csα<0，所以选项A错误；
sinα>0，所以选项B错误；
sin2α=2sinαcsα<0，所以选项C正确；
tanα=sinαcsα<0，所以选项D错误．
故选：C．
当α是第二象限角时，根据三角函数值的符号法则，判断即可．
本题考查了三角函数值的符号判断问题，是基础题．
4.【答案】A
【解析】解：在区间[1,4]上随机取一个数x，则区间长度为3，
x>3即x在区间[3,4]上，则区间长度为1，
故所求的概率P=13．
故选：A．
根据已知条件，结合几何概型的概率公式，即可求解．
本题主要考查几何概型的概率公式，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：根据题意，x>0，y>0，x+y=2，
则xy≤(x+y2)2=1，当且仅当x=y=1时等号成立，
即xy的最大值为1．
故选：C．
根据题意，由基本不等式的性质可得xy≤(x+y2)2=1，即可得答案．
本题考查基本不等式的性质以及应用，注意基本不等式的形式，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了函数图象的识别，解题的关键是掌握识别图象的方法：可以从定义域、值域、函数值的正负、特殊点、特殊值、函数的性质等方面进行判断，考查了直观想象能力与逻辑推理能力，属于基础题．
利用奇偶性判断选项D，由函数值的正负判断选项A，B，C．
【解答】
解：因为f(-x)=3(-x)2sin(-x)=-3x2sinx=-f(x)，定义域为R，
所以函数f(x)为奇函数，
故选项D错误；
当00，故选项C错误；
当π故本题选B．

7.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了充分必要条件，考查数列以及转化思想，属于基础题．
根据充分必要条件的定义以及数列问题判断即可．
【解答】
解：若数列{an}为常数列，则数列{an}不一定为等比数列，比如：数列{an}的各项都是0，故不是充分条件，
若数列{an}为等比数列，则数列{an}不一定为常数列，比如：an=2n，不是必要条件．
故“数列{an}为常数列”是“数列{an}为等比数列”的既不充分也不必要条件．
故本题选D．

8.【答案】A
【解析】解：由题意得，球的半径R=2，圆柱的底面半径r=1，高h=3，
则该几何体的表面积为S=2πR2+πR2+2πrh=8π+4π+2π×1×3=18π．
故选：A．
由题意可知该几何体的体积是由半球的表面积加上圆柱的侧面积，再加上圆的面积即可．
本题考查球的表面积与圆柱侧面积的求法，考查运算求解能力，是基础题．
9.【答案】C
【解析】解：因为f(x)=2sin(x-π4)，
函数f(x)的最小正周期为T=2π，故选项A错误；
f(x)的最大值为2，故选项B错误；
因为x∈(0,3π4)，所以x-π4∈(-π4,π2)，由正弦函数的单调性可知，f(x)在(-π4,π2)上单调递增，故选项C正确；
因为f(π4)=0≠±2，故函数f(x)的图象不关于x=π4对称，故选项D错误．
故选：C．
由周期公式即可判断选项A，利用三角函数的有界性即可判断选项B，由正弦函数的单调性即可判断选项C，由三角函数的对称性即可判断选项D．
本题考查了三角函数图象与性质的综合应用，辅助角公式的应用，三角函数周期公式的应用，正弦函数的有界性、单调性、对称性的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．
10.【答案】A
【解析】解：依题意，△AOB中，∠AOB=30°，∴ABsin∠AOB=OBsin∠OAB，即36sin30∘=OBsin45∘，
解得OB=362，
在△BOT中，OTOB=tan∠OBT=tan30°，即OT=OBtan30°=362×33=126m．
故选：A．
先在△AOB中利用正弦定理求OB=362，再在△BOT中求OT=OBtan30°即可．
本题考查了正弦定理的应用，属于基础题．
11.【答案】D
【解析】解：设MF1=2r，MF2=r，
由椭圆定义知：r=2a3，
由余弦定理得：4r2+r2-2r2=4c2，即3r2=4c2，
所以3⋅4a29=4c2,e=ca=33，
故选：D．
设MF1=2r，MF2=r，则r=2a3，在△MF1F2中由余弦定理可得3r2=4c2，把r=2a3代入即可求出离心率的值．
本题主要考查了椭圆的标准方程和性质，考查了余弦定理的应用，是中档题．
12.【答案】B
【解析】解：∵函数f(x)满足f(x+4)=f(x)，故函数f(x)是周期为4的周期函数．
∵函数y=f(x+2)的图像关于直线x=-2对称，故函数f(x)是偶函数．
当2≤x≤3时，f(x)=lg2(x+112)，
则f(2192)=f(109+12)=f(4×27+32)=f(32)=f(-32)=f(4-32)=f(52)=lg2(52+112)=lg28=3，
故选：B．
由题意，利用函数的周期性、奇偶性，求出所给式子的值．
本题主要考查函数的周期性、奇偶性的应用，求函数的值，属于基础题．
13.【答案】-12
【解析】解：∵a=(x,1)，b=(2,-4)，且a//b，
∴-4x-2=0，得x=-12，
故答案为：-12．
利用向量平行的坐标表示可解．
本题考查了向量平行的坐标表示，属于基础题．
14.【答案】43
【解析】解：因为双曲线E：x23-y2b2=1(b>0)，
所以a=3，
渐近线方程为y=±bax=±b3x=±3x，
所以b=3，
所以c=a2+b2=3+9=23，
所以焦距2c=43，
故答案为：43．
由双曲线E的方程，得a=3，由渐近线方程，得b的值，再计算c=a2+b2，即可得出答案．
本题考查双曲线的性质，解题中需要理清思路，属于基础题．
15.【答案】(-2,2)
【解析】解：y=-x3+3x的导数为y'=-3x2+3，
当-10，函数y=-x3+3x递增；当x>1或x<-1时，y'<0，函数y=-x3+3x递减，
可得y=-x3+3x在x=1处取得极大值2，在x=-1处取得极小值-2，
若直线y=a与函数y=-x3+3x的图象有三个交点，则-2即a的取值范围是(-2,2)．
故答案为：(-2,2)．
求得y=-x3+3x的导数和单调性、极值，由题意可得a介于y=-x3+3x的极值之间，可得所求取值范围．
本题考查函数的图象的交点个数，以及函数的导数的运用：求单调性和极值，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
16.【答案】②③
【解析】解：根据几何体的直观图中，点E和F在面的中心位置，
所以在左右面的射影为③，在上下面的射影为②；在前后面的射影为②．
故答案为：②③．
直接利用几何体中直观图和平面图的关系求出结果．
本题考查的知识要点：几何体中直观图和平面图的关系，主要考查学生的空间想象能力，属于基础题．
17.【答案】解：(1)由a4=-6，得a1+3d=-6①；
又a2，a3，a5成等比数列，得a32=a2a5，
即(a1+2d)2=(a1+d)(a1+4d)②，
由①②解得d=0(舍去)或d=-2，
∴an=a4+(n-4)d=-6-2(n-4)=2-2n；
(2)由(1)知，an=2-2n，
∴bn=32-2n，
所以bn+1bn=3-2n32-2n=19，
数列{bn}是首项为1，公比为19的等比数列，
则Tn=b1+b2+⋅⋅⋅+bn=30+3-2+3-4+⋅⋅⋅+32-2n=1-(19)n1-19=98-91-n8．
【解析】(1)由等差数列的通项公式与等比中项的性质求解即可；
(2)先判断数列{bn}是等比数列，再由等比数列的前n项和公式求解即可．
本题主要考查数列通项公式的求解，等差数列前n项和公式等知识，属于基础题．
18.【答案】解：(1)由表格可得，甲种加工方式所加工的一件中药材半成品等级为特级的频数为36，
故频率为36100=0.36，
乙种加工方式所加工的一件中药材半成品等级为特级的频数为30，
故频率为30100=0.3，
由此估计：甲种加工方式所加工的一件中药材半成品等级为特级的概率为：0.36，
乙种加工方式所加工的一件中药材半成品等级为特级的概率为：0.3；
(2)甲种加工方式所加工的一件中药材半成品的平均利润为：
x1-=1100×[(8+20)×30+36×50+(24+12)×100]=62.4(元)，
乙种加工方式所加工的一件中药材半成品的平均利润为：
x2-=1100×[(6+26)×30+38×50+(22+8)×100]=58.6(元)，
∴x1->x2-，
故从平均数的角度看，村民选择甲种中药材加工方式获利更多．
【解析】(1)根据频数估计估计即可；(2)求出平均数，根据平均数判断即可．
本题考查了通过频数，频率估计概率，考查平均数的计算，是基础题．
19.【答案】(1)证明：如图所示，

连接B1C交BC1于点O，连接OD，
因为四边形BCC1B1是平行四边形，
所以点O为B1C的中点，
又因为D为AC的中点，
所以OD为△AB1C的中位线，
所以OD//B1A，
又OD⊂平面C1BD，AB1⊄平面C1BD，
所以AB1//平面C1BD．
(2)解：因为△ABC是等边三角形，D为AC的中点，
所以BD⊥AC，BD=BCsin60°=6×32=33，
所以△BCD的面积为S△BCD=12×3×33=932，
所以三棱锥C-BC1D的体积为
VC-BC1D=VC1-BCD=13×932×6=93．
【解析】(1)连接B1C交BC1于点O，连接OD，由线面平行的判定定理证明AB1//平面C1BD．
(2)利用等体积法，即可求三棱锥C-BC1D的体积．
本题考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题，也考查了空间想象能力与逻辑思维能力，以及锥体体积计算问题，是中档题．
20.【答案】解：(1)代入P(p,2p-32)，得到p2=2p(2p-32).
整理得到：p2+3p-4=0，解得p=1或-4，因为p>0，所以p=1．
则抛物线C的方程为：x2=2y．
(2)证明：由题意可知直线AB的斜率必定存在，所以设直线AB的方程为y=kx+1．
联立直线方程和抛物线方程x2=2yy=kx+1，得到x2-2kx-2=0．
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，根据韦达定理得到x1+x2=2kx1x2=-2，①．
因为直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，所以k1=y1-0x1-0=y1x1，k2=y2-0x2-0=y2x2．
则k1k2=y1y2x1x2=(kx1+1)(kx2+1)x1x2=k2x1x2+k(x1+x2)+1x1x2，②．
将①式代入②式得到：k1k2=k2×(-2)+k×(2k)+1-2=12．
所以k1k2为定值．
【解析】(1)代入P点坐标求出p的值，即可求出抛物线方程．
(2)联立直线方程和抛物线方程，根据韦达定理得到到x1+x2=2kx1x2=-2，再根据A和B点坐标，将k1k2转化成k2x1x2+k(x1+x2)+1x1x2，再根据韦达定理得到的式子即可证明．
本题主要考查直线和抛物线的性质和以及韦达定理，属于中档题．
21.【答案】解：(1)∵a=1，∴f(x)=ex-12x2，
∴f'(x)=ex-x，∴k=f'(0)=1，
∵f(0)=1，∴y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y-1=x，即y=x+1．
(2)由题意f'(x)=aex-x≥0在[0,+∞)上恒成立，
即a≥xex在[0,+∞)上恒成立，
设g(x)=xex，则g'(x)=1-xex，
当x<1时，g'(x)>0，当x>1时，g'(x)<0，
∴g(x)在(-∞,1)单调递增，在(1,+∞)上单调递减，
∴g(x)max=g(1)=1e，
∴a≥1e，即实数a的取值范围是[1e,+∞)．
【解析】(1)求出切点处的导数值，然后利用点斜式求出切线方程即可；
(2)函数在[0,+∞)上单调递增，即其导数值在该区间上大于等于零恒成立，然后分离参数，最终化为函数的最值问题．
本题考查导数的几何意义以及利用导数研究函数的单调性的方法，属于中档题．
22.【答案】解：(1)曲线C1：x=-1+csty=3+sint(t为参数)，转换为普通方程为(x+1)2+(y-3)2=1；
曲线C2：x=3csθy=sinθ(θ为参数)，转换为普通方程为x29+y2=1．
(2)由(1)曲线C1：x=-1+csty=3+sint(t为参数)，P对应的参数为t=π2，
所以P(-1,4)，
曲线C2：x=3csθy=sinθ(θ为参数)，点Q对应的参数θ=π，
故Q(-3,0)，
故|PQ|=(-1+3)2+(4-0)2=25．
【解析】(1)直接利用转换关系，在参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；
(2)利用转换关系，首先求出点P和Q的直角坐标，进一步利用两点间的距离公式的应用求出结果．
本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，两点间的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
23.【答案】解：(Ⅰ)当a=5时，f(x)=|x+5|+|x-2|．
当x≥2时，由f(x)>9，得2x+3>9，解得x>3；
当-5≤x<2时，由f(x)>9，得7>9，此时不等式无解；
当x<-5时，由f(x)>9，得-2x-3>9，解得x<-6．
综上，当a=5时，不等式f(x)>9的解集为{x|x<-6或x>3}．
(Ⅱ)∵f(x)=|x+a|+|x-2|≥|x+a-x+2|=|a+2|，当(x+a)(x-2)≤0时等号成立，
∴不等式f(x)≥3恒成立，等价于|a+2|≥3．
∴a≤-5或a≥1(经检验符合题意)．
∴实数a的取值范围为(-∞,-5]∪[1,+∞)．
【解析】(Ⅰ)对x分类讨论去绝对值，求解不等式即可；
(Ⅱ)由绝对值不等式的性质可求得f(x)≥|a+2|，则不等式f(x)≥3恒成立，等价于|a+2|≥3，解绝对值不等式即可得a的取值范围．
本题主要考查绝对值不等式的解法，不等式恒成立问题，考查运算求解能力，属于中档题．
指标区间
频数
[70,80)
[80,90)
[90,100)
[100,110)
[110,120]
甲种生产方式
8
20
36
24
12
乙种生产方式
6
26
38
22
8
指标区间
[70,90)
[90,100)
[100,120]
等级
二级
一级
特级
纯利润
30
50
100