第五章 分式与分式方程——八年级数学下册期末复习章节知识点梳理（北师大版）

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1. 理解分式的概念，能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为0的条件.
2．了解分式的基本性质，掌握分式的约分和通分法则．
3．掌握分式的四则运算．
4．结合分式的运算，将指数的讨论范围从正整数扩大到全体整数，构建和发展相互联系的 知识体系．
5．结合分析和解决实际问题，讨论可以化为一元一次方程的分式方程，掌握这种方程的解法，体会解方程中的化归思想．
【考点总结】
要点一、分式的有关概念及性质
1．分式
一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.
特别说明：分式中的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B≠0时，分式才有意义.
2.分式的基本性质
（M为不等于0的整式）.
3．最简分式
分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.如果分子分母有公因式，要进行约分化简.
要点二、分式的运算
1．约分
利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.
2．通分
利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把异分母的分式化为同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分．
3．基本运算法则
分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下:
（1）加减运算
；同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.
；异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.
（2）乘法运算 ，其中是整式，.
两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.
（3）除法运算 ，其中是整式，.
两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，与被除式相乘.
（4）乘方运算
分式的乘方，把分子、分母分别乘方.
4.分式的混合运算顺序
先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的.
要点三、分式方程
1．分式方程的概念
分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
2．分式方程的解法
解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程．
3．分式方程的增根问题
增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根－－－增根.
要点诠释：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解.
要点四、分式方程的应用
列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解.
【例题讲解】
类型一、分式及其基本性质
例1、关于x的方程：①－＝6；②＝；③＋1＝x；④＝；⑤－＝4；⑥＝－x.分式方程有____________(填序号)．
【答案】②④⑤
【详解】根据分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程，知：分式方程有：②＝；④＝；⑤－＝4.
故答案为②④⑤.
例2、当______，分式的值为零．
【答案】-1
【分析】让分子为0，分母不为0列式求解即可．
解：由题意得：，解得：，∴x＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点拨】本题考查了分式值为0的条件．用到的知识点为：分式的值为零，则分子为0，同时要考虑分母不为0这个条件．
【训练】当x____时，分式有意义；当x＝____时，分式的值等于零．
【答案】≠3, 9
解：分式有意义, 即
分式的值等于零， 解得：
故答案为
点拨：分式有意义:分母不为零.
分式值为零：分子为零，分母不为零.
类型二、分式运算
例3、先化简，再求值：，其中x是从-1、0、1、2中选取一个合适的数．
【答案】.
【分析】先把分子分母因式分解，约分后进行通分化为同分母，再进行同分母的加法运算，然后再约分得到原式=，由于x不能取±1，2，所以把x=0代入计算即可．
解：,
=
=
=
=，
当x=0时，原式=.
【训练】先化简:x2-1x-2÷1+1x-2，再选取一个合适的x值代入求值.
【答案】原式=x+1；当x=3时，原式=4.
【分析】根据分式的混合运算先化简，再带入求值，即原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，选值时，必须满足分式有意义.
解：原式= (x+1)(x-1）x-2×x-2x-1 = x+1；
当x=3时，原式=4.（x不能取1，2）
【点拨】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
类型三、分式方程的解法
例4、解下列分式方程：
(1) ； (2)＋1＝.
【答案】(1) x＝1;(2) x＝1.
【解析】按照解分式方程的步骤解方程即可.
试题解析：(1)解：去分母，得
去括号，得
移项，得
解得
检验：时，
∴原分式方程的解为
(2)解：方程两边同乘 ，得

解得
检验：时，
∴是原分式方程的解．
点拨：解分式方程的一般步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，把系数化为1，检验.
【训练】解下列分式方程：
(1)＝； (2) －＝1.
【答案】（1）x＝4；（2）x＝－3.
【分析】解分式方程，首先要去分母，转化为整式方程，再解整式方程，注意验根.
解：(1)去分母得3x＝4x－4，
解得x＝4.
经检验，x＝4是原分式方程的解．
(2)去分母得x(x－1)－4＝x2－1，
去括号得x2－x－4＝x2－1，
解得x＝－3.
经检验，x＝－3是原分式方程的解．
【点拨】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的一般步骤是解题的关键.
类型四、分式方程的应用
例5、某超市用3000元购进某种干果销售，由于销售状况良好，超市又调拨9000元资金购进该种干果，但这次的进价比第一次的进价提高了20%，购进干果数量是第一次的2倍还多300千克，如果超市按每千克9元的价格出售，当大部分干果售出后，余下的600千克按售价的8折售完．
（1）该种干果的第一次进价是每千克多少元？
（2）超市销售这种干果共盈利多少元？
【答案】（1）该种干果的第一次进价是每千克5元.（2）超市销售这种干果共盈利5820元．
【详解】试题分析：（1）、设第一次进价x元，第二次进价为1.2x，根据题意列出分式方程进行求解；（2）、根据利润=销售额－进价.
解：（1）、设该种干果的第一次进价是每千克x元，则第二次进价是每千克（1+20%）x元，
由题意，得=2×+300，
解得x=5，
经检验x=5是方程的解．
答：该种干果的第一次进价是每千克5元；
（2）、[﹣600]×9+600×9×80%﹣（3000+9000）
=（600+1500﹣600）×9+4320﹣12000
=1500×9+4320﹣12000=13500+4320﹣12000
=5820（元）．
答：超市销售这种干果共盈利5820元．
【训练】进入防汛期后，某地对河堤进行了加固．该地驻军在河堤加固的工程中出色完成了任务．这是记者与驻军工程指挥官的一段对话:
通过这段对话，请你求出该地驻军原来每天加固的米数．
【答案】300米
解：设原来每天加固x米，根据题意，得
．
去分母，得 1200+4200=18x（或18x=5400）
解得．
检验：当时，（或分母不等于0）．
∴是原方程的解．
答：该地驻军原来每天加固300米．