第一章 三角形的证明——八年级数学下册期末复习章节知识点梳理（北师大版）

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1、了解等腰三角形、直角三角形、线段垂直平分线、角平分线的概念；理解等腰三角形、直角三角形、线段垂直平分线、角平分线的性质和判定；
2、能用等腰三角形、直角三角形、线段垂直平分线、角平分线的性质和判定解一些决问题；
3、会运用等腰三角形、直角三角形、线段垂直平分线、角的平分线的知识解决有关问题．
【考点总结】
知识点一、等腰三角形
1.等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
2.性质：
(1)具有三角形的一切性质.
(2)两底角相等(等边对等角)
(3)顶角的平分线，底边中线，底边上的高互相重合(三线合一)
(4)等边三角形的各角都相等，且都等于60°.
3.判定：
(1)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)；
(2)三个角都相等的三角形是等边三角形；
(3)有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形.
要点诠释：
(1)腰、底、顶角、底角是等腰三角形特有的概念；
(2)等边三角形是特殊的等腰三角形.
知识点二、直角三角形
1.直角三角形：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形.
2性质：
(1)直角三角形中两锐角互余.
(2)直角三角形中，30°锐角所对的直角边等于斜边的一半.
(3)在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°.
(4)勾股定理：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方.
(5)勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
(6)直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.
3．判定：
(1)有两内角互余的三角形是直角三角形.
(2)一条边上的中线等于该边的一半，则这条边所对的角是直角，这个三角形是直角三角形.
(3)如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形，第三边为斜边.
知识点三、垂直平分线
线段垂直平分线定理：线段的垂直平分线的性质定理:线段的垂直平分线上的到这条线段两个端点的距离相等。
线段垂直平分线判定定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
知识点四、角的平分线
角的平分线的性质定理：角的平分线上的点到角两边的距离相等.
角的平分线的判定定理：在角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上.
【例题讲解】
类型一、等腰三角形
例1.如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连结AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F.
（1）若∠C＝36°，求∠BAD的度数；
（2）求证：FB＝FE.
【答案】 （1）解：∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC，
∵∠C＝36°，
∴∠ABC＝36°，
∵BD＝CD，AB＝AC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣36°＝54°
（2）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE＝ 12 ∠ABC，
∵EF∥BC，
∴∠FEB＝∠CBE，
∴∠FBE＝∠FEB，
∴FB＝FE.
【思路点拨】（1）根据等边对等角得出 ∠C＝∠ABC36°， 根据等腰三角形的三线合一得出 AD⊥BC， 故 ∠ADB＝90°， 从而根据直角三角形的两锐角互余算出∠BAD的度数；
【训练】如图，已知：在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BCE＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠D ， BC＝CE ．
（1）求证：AC＝CD；
（2）若AC＝AE ， 求∠DEC的度数．
（1）解：证明：
∵∠BCE=∠ACD=90°，
∴∠2+∠3=∠3+∠4，
∴∠2=∠4，
在△ABC和△DEC中， {∠BAC=∠D∠2=∠4BC=CE ，
∴△ABC≌△DEC(AAS)，
∴AC=CD；
（2）解：∵∠ACD＝90°，AC＝CD ，
∴∠1＝∠D＝45°，
∵AE＝AC ，
∴∠3＝∠5＝67.5°，
∴∠DEC＝180°－∠5＝112.5°
【思路点拨】（1）根据同角的余角相等得出∠ 2 = ∠ 4 ， r然后利用AAS判断出ABC≌△DEC，再根据全等三角形的对应边相等得出结论；
（2）根据等腰直角三角形的性质知∠1＝∠D＝45°，又由知道顶角求等腰三角形底角的方法算出∠3＝∠5＝67.5°，利用邻补角的定义算出答案。
类型二、直角三角形
例2.如图，把长方形纸片ABCD沿EF折叠后．点D与点B重合，点C落在点C′的位置上．若∠1=60°，AE=1．
（1）求∠2、∠3的度数；
（2）求长方形纸片ABCD的面积S．
（1）解：如图，
∵AD∥BC，
∴∠2=∠1=60°；
又∵∠4=∠2=60°，
∴∠3=180°﹣60°﹣60°=60°
（2）解：在直角△ABE中，由（1）知∠3=60°，
∴∠5=90°﹣60°=30°；
∴BE=2AE=2，
∴AB= 22-12 = 3 ；
∴AD=AE+DE=AE+BE=1+2=3，
∴长方形纸片ABCD的面积S为：AB•AD= 3 ×3=3 3 ．
【思路点拨】（1）根据矩形的性质得出AD∥BC，由二直线平行内错角相等得出∠2=∠1=60°；根据折叠的性质∠4=∠2=60°，根据平角的定义得出∠3的度数；
（2）根据矩形的性质得出∠A=90°，根据三角形的内角和得出∠5=30°，根据含30°直角三角形的边之间的关系得出BE的长，根据勾股定理算出AB的长，由AD=AE+DE算出AD的长，根据矩形的面积计算方法即可算出答案。
【训练】如图，一张直角三角形纸片，两直角边AC=4cm，BC=8cm，将△ABC折叠，点B与点A重合，折痕为DE，则DE的长为( )．
A. B. C. D.5

【答案】B.
解析：由折叠可知，AD=BD，DE⊥AB， ∴BE=AB
设BD为x，则CD=8-x
∵∠C=90°，AC=4，BC=8，∴AC2+BC2=AB2
∴AB2=42+82=80，∴AB=，∴BE=
在Rt△ACD中，AC2+CD2=AD2 ，∴42+(8-x)2=x2，解得x=5
在Rt△BDE中，BE2+DE2=BD2，即()2+DE2=52，∴DE=， 故选B.
类型三、线段垂直平分线
例3.如图，在△ABC中，∠C=90°，D为CB上一点，过点D作DE⊥AB于点E.
（1）若CD=DE，判断∠CAD与∠BAD的数量关系；
（2）若AE=EB，CB=10，AC=5,求△ACD的周长.
（1）解：∵DE⊥AB，
∴∠AED=90°=∠C，
在Rt△ACD和Rt△AED中，
{CD=DEAD=AD ，
∴Rt△ACD≌Rt△AED，（HL）
∴∠CAD=∠BAD；
（2）解：∵AE=BE，DE⊥AB,
∴DE垂直平分AB，
∴AD=BD，
∴BC=BD+CD=AD+CD=10，
∴△ACD的周长=AD+CD+AC=10+5=15.
【思路点拨】
（1）由题意用HL定理可证 Rt△ACD≌Rt△AED，由全等三角形的对应角相等可求解；
（2）根据线段的垂直平分线的判定“到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”可判断 DE垂直平分AB， 由线段的垂直平分线的性质“线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”可得AD=BD，然后根据线段的构成可求解.
【训练】在 △ABC 中， AB 的垂直平分线 l1 交 BC 于点 D ， AC 的垂直平分线 l2 交 BC 于点 E ， l1 与 l2 相交于点 O ， △ADE 的周长为6．
（1）AD 与 BD 的数量关系为________．
（2）求 BC 的长．
（3）分别连接 OA ， OB ， OC ，若 △OBC 的周长为16，求 OA 的长．
解：（1）AD=BD
（2）因为 l1 是 AB 的垂直平分线， l2 是 AC 的垂直平分线，
所以 AD=BD ， AE=CE ，
因为 △ADE 的周长为6，
所以 AD+DE+AE=6 ，
所以 BC=BD+DE+CE=AD+DE+AE=6
（3）因为 l1 是 AB 边的垂直平分线， l2 是 AC 边的垂直平分线，
所以 OB=OA ， OC=OA ，
因为 △OBC 的周长为16，
所以 OB+OC+BC=16 ，
所以 OB+OC=16-BC=16-6=10 ，
所以 OA=OB=OC=5 ．
【考点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】（1）因为 AB 的垂直平分线 l1 交 BC 于点 D ，
所以 AD=BD ，
故答案为： AD=BD
【思路点拨】（1）根据垂直平分线的性质即可得；（2）先根据垂直平分线的性质可得 AD=BD ， AE=CE ，再根据三角形的周长公式、等量代换即可得；（3）先根据垂直平分线的性质可得 OB=OA ， OC=OA ，再根据三角形的周长公式可得 OB+OC=10 ，由此即可得出答案．
类型四、角的平分线
例4、如图， ΔABC 的角平分线 BD、CE 相交于点 P ．
（1）若 ∠ABC=50°,∠ACB=70° ，则 ∠A= ________ ° ；
（2）试探究 ∠DPC 与 ∠A 之间的数量关系并说明理由．
解：（1）∠A= 60
∵∠ABC=50°，∠ACB=70°，
∴∠A=180°-50°-70°=60°．
故答案为:60．
（2）∠DPC=90°- 12 ∠A ，
理由： ∵∠ABC,∠ACB 的平分线相交于点 P ， ∴∠1=12∠ABC,∠2=12∠ACB ，
∴∠BPC=180°-∠1-∠2=180°-12∠ABC-12∠ACB=180°-12(∠ABC+∠ACB) ∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A
∴∠BPC=180°-12(180°-∠Α)=90°+12∠A ，
∴∠DPC=180°-（90°+ 12 ∠A）=90°- 12 ∠A．
故答案为：90°- 12 ∠A．
【思路点拨】（1）直接利用三角形的内角和定理求解即可；（2）先根据角平分线的定义得到∠1= 12 ∠ABC，∠2= 12 ∠ACB，再根据三角形内角和定理得∠BPC=180°-∠1-∠2=180°- 12 （∠ABC+∠ACB），加上∠ABC+∠ACB=180°-∠A，易得∠BPC=90°+ 12 ∠A，再根据平角的定义解答即可．
【训练】如图，在△ABC中，AB＝AC ， AD平分∠BAC ， BF⊥AC于点F ， 交AD于点E ， 连接CE ．
（1）求证：BE＝CE；
（2）若AE＝2BD ， 求∠BAC的度数．

【答案】 （1）证明：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴BD＝CD，AD⊥BC，
∴BE＝CE
（2）解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴BD＝CD，
∴BC＝2BD，
又∵AE＝2BD，
∴AE＝BC，
∵BF⊥AC，AD⊥BC，
∴∠ACD+∠DAC＝90°，∠ACD+∠CBF＝90°，
∴∠CBF＝∠DAC，
在△AEF和△BCF中，
{∠AFE=∠BFC=90°∠DAC=∠CBFAE=BC ，
∴△AEF≌△BCF（AAS），
∴AF＝BF，
又∵BF⊥AF，
∴∠BAC＝45°．
【思路点拨】
（1）根据角平分线的性质以及等腰三角形三线合一定理，即可得到答案；
（2）根据等腰三角形的性质结合余角的性质证明△AEF≌△BCF，根据全等三角形的性质计算得到答案即可。
【变式】如图，点F是△ABC的边BC延长线上的一点，且AC=CF， ∠ABC 和 ∠ACF 的平分线交于点P.
求证：
（1）点P在 ∠DAC 的平分线上；
（2）CP垂直平分AF.
（1）证明：如图，过P作PE⊥BD于E，PG⊥AC于G，PH⊥BC于H
∵P在∠ABC的角平分线上
∴PH=PE
∵P在∠ACF的角平分线上
∴PG=PH
∴PG=PE
∴点P在 ∠DAC 的平分线上
（2）证明：∵P在∠ACF的角平分线上
∴∠ACP=∠PCF
∵AC=CF
∴CP垂直平分AF.
【思路点拨】（1）根据角平分线的性质和判定即可解题；（2）根据等腰三角形三线合一即可证明。