2022北京初三（上）期末数学汇编：相似形章节综合

这是一份2022北京初三（上）期末数学汇编：相似形章节综合，共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022北京初三（上）期末数学汇编相似形章节综合一、单选题1．（2022·北京顺义·九年级期末）如果（），那么下列比例式中正确的是（    ）A． B． C． D．2．（2022·北京通州·九年级期末）如图，在中，E为BC的中点，DE、AC交于点F，则的值为（    ）A．1 B． C． D．3．（2022·北京门头沟·九年级期末）已知，则下列比例式成立的是(     )A． B． C． D．4．（2022·北京顺义·九年级期末）如图，点D在△ABC的边AC上，要判断△ADB与△ABC相似，添加一个条件，不正确的是（    ）A．∠ABD=∠C B．∠ADB=∠ABC C． D．5．（2022·北京密云·九年级期末）如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D，E，F是网格线的交点，则△ABC的面积与△DEF的面积比为（     ） A． B． C．2 D．46．（2022·北京平谷·九年级期末）如图，在△ABC中，DE//BC，=2， 若AE=6，则EC的值为（   ）A．3 B．2 C．1 D．97．（2022·北京密云·九年级期末）如果4m=5n（n≠0），那么下列比例式成立的是（     ）A． B． C． D．二、填空题8．（2022·北京石景山·九年级期末）如图，，AD，BC交于点O，．若，则OC的长为______．9．（2022·北京门头沟·九年级期末）如果两个相似三角形的相似比是，那么这两个相似三角形的周长比是_____．10．（2022·北京石景山·九年级期末）如图，的高AD，BE相交于点O，写出一个与相似的三角形，这个三角形可以是______．11．（2022·北京石景山·九年级期末）有一块三角形的草坪，其中一边的长为10m．在这块草坪的图纸上，这条边的长为5cm．已知图纸上的三角形的周长为15cm，则这块草坪的周长为______m．12．（2022·北京海淀·九年级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点，点．将线段BA绕点B旋转180°得到线段BC，则点C的坐标为__________． 13．（2022·北京平谷·九年级期末）如图，小明在地面上放了一个平面镜，选择合适的位置，刚好在平面镜中看到旗杆的顶部，此时小明与平面镜的水平距离为2m，旗杆底部与平面镜的水平距离为12m．若小明的眼睛与地面的距离为1.5m，则旗杆的高度为________．（单位：m）14．（2022·北京门头沟·九年级期末）已知＝，那么＝_____．15．（2022·北京顺义·九年级期末）如图，在中，D，E分别是边，的中点，则与的周长之比等于______.16．（2022·北京门头沟·九年级期末）已知：如图，在中，点D在BC上，点E在AC上，DE与AB不平行添加一个条件______，使得∽，然后再加以证明．17．（2022·北京顺义·九年级期末）如图，身高是1.6m的某同学直立于旗杆影子的顶端处，测得同一时刻该同学和旗杆的影子长分别为1.2m和9m.则旗杆的高度为________m.   18．（2022·北京通州·九年级期末）如图，在测量旗杆高度的数学活动中，某同学在地面放了一个平面镜C，然后向后退，直到他刚好在镜子中看到旗杆的顶部A．如果他的眼睛到地面的距离ED＝1.6m，同时量得他到平面镜C的距离DC＝2m，平面镜C到旗杆的底部B的距离CB＝15m，那么旗杆高度AB＝________m．19．（2022·北京通州·九年级期末）如图，ABC的两条中线BE，CD交于点M．某同学得出以下结论：①；②ADE∽ABC；③；④．其中结论正确的是：________（只填序号）．三、解答题20．（2022·北京密云·九年级期末）如图，在正方形ABCD中，点E是CD边上一动点（点E与点C、D不重合），连接AE，过点A作AE的垂线交CB延长线于点F，连接EF．(1)依据题意，补全图形；(2)求∠AEF的度数；(3)连接AC交EF于点H，若，用含a的等式表示线段CF和CE之间的数量关系，并说明理由．21．（2022·北京通州·九年级期末）如图，O为四边形ABCD内一点，E为AB的中点，OA＝OD，OB＝OC，∠AOB+∠COD＝．（1）若∠BOE＝∠BAO，AB＝，求OB的长；（2）用等式表示线段OE和CD之间的关系，并证明．22．（2022·北京房山·九年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，点D在AC边上，交BC于点E．求证：．23．（2022·北京昌平·九年级期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，AB=5，点D在AC上且AD=3，DE⊥AB于点E，求AE的长24．（2022·北京顺义·九年级期末）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，DE∥AC，EF∥AB．（1）求证：△BDE∽△EFC．（2）设，①若BC＝12，求线段BE的长；②若△EFC的面积是20，求△ABC的面积．25．（2022·北京平谷·九年级期末）如图，在△ABC中，点D在AB边上，∠ABC=∠ACD，（1）求证：△ABC∽△ACD（2）若AD=2，AB=5.求AC的长．26．（2022·北京门头沟·九年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是边AB上的高．（1）求证：△ABC∽△CBD；（2）如果AC = 4，BC = 3，求BD的长．27．（2022·北京顺义·九年级期末）如图，在矩形ABCD中，E为BC的中点，DF⊥AE ，垂足为F，AB＝6，BC＝4，求AE，DF的长．28．（2022·北京石景山·九年级期末）如图，AE平分，D为AE上一点，．（1）求证：；（2）若D为AE中点，，求CD的长．29．（2022·北京密云·九年级期末）已知：如图，在△ABC中，∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC．求证：△ABD∽△ACB．30．（2022·北京通州·九年级期末）如图，，点B、C分别在AM、AN上，且．（1）尺规作图：作∠CBM的角平分线BD，BD与AN相交于点D；（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）所作的图中，求证：ABC∽ADB． 
参考答案1．C【分析】根据比例的性质，可得答案．【详解】A、由比例的性质，得4x=3y与3x=4y不一致，故A不符合题意；B、由比例的性质，得4x=3y与3x=4y不一致，故B不符合题意；C、由比例的性质，得3x=4y与3x=4y一致，故C符合题意；D、由比例的性质，得4x=3y与3x=4y不一致，故D不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了比例的性质，熟记两内项之积等于两外项之积是解题的关键．2．D【分析】由题意易得AD∥BC，AD=BC，则有△ADF∽△CEF，AD=BC=2EC，进而根据相似三角形的性质可求解．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∴△ADF∽△CEF，∵E为BC的中点，∴AD=BC=2EC，∴；故选D．【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．3．B【详解】A、等式的左边除以4，右边除以9，故A错误；B、等式的两边都除以6，故B正确；C、等式的左边除以2b，右边除以，故C错误；D、等式的左边除以4，右边除以b2，故D错误；故选B．4．C【分析】由∠A是公共角，利用有两角对应相等的三角形相似，即可得A与B正确；又由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可得D正确，继而求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．【详解】∵∠A是公共角，∴当∠ABD=∠C或∠ADB=∠ABC时，△ADB∽△ABC（有两角对应相等的三角形相似），故A与B正确，不符合题意要求；当AB：AD=AC：AB时，△ADB∽△ABC（两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似），故D正确，不符合题意要求；AB：BD=CB：CD时，∠A不是夹角，故不能判定△ADB与△ABC相似，故C错误，符合题意要求，故选：C．5．B【分析】△ABC∽△EDF，只需求出其相似比，平方即得两三角形面积比．【详解】解：如图，设正方形网格中小方格的边长为1，则有AB=1，BC=，AC=，DE=2，EF=，DF=，∴，∴△ABC∽△EDF，∴S△ABC：S△DEF=，故选：B．【点睛】本题考查相似三角形面积比与相似比的关系，关键是判断两三角形相似，确定其相似比．6．A【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．【详解】解：∵DE∥BC，∴==2，∵AE=6，∴EC=3，故选：A．【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．7．B【分析】把比例式转化为乘积式，逐项判断即可．【详解】解：A. 由，可得，不符合题意；B. 由，可得，符合题意；C. 由，可得，不符合题意；D. 由，可得，不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了比例的基本性质，解题关键是熟练掌握比例式与乘积式的互相转化．8．6【分析】根据可以证明，进而得出比例式，再根据和即可求出OC的长度．【详解】解：∵，AD，BC交于点O，∴，．∴．∴．∵，∴．∴．∵，∴．故答案为：6．【点睛】本题考查相似三角形的判定定理和性质，综合应用这些知识点是解题关键．9．【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比解答即可．【详解】解：∵两个相似三角形的相似比是1：3∴这两个相似三角形的周长比是1：3，故答案为：1：3．【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比是解题的关键．10．（答案不唯一）【分析】根据已知条件得到，，推出；同理，根据相似三角形的性质得到，又，于是得到．【详解】解：本题答案不唯一；与相似的三角形有：，，，选择求证：．证明：的高，交于点，．，，故答案是：．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，三角形的高的定义，解题的关键是掌握有两角对应的两个三角形相似．11．【分析】设这块草坪的周长为m，由实际的三角形草坪与图纸上的三角形草坪是相似三角形，再利用相似三角形的性质列方程即可.【详解】解：设这块草坪的周长为m，由题意可得：实际的三角形草坪与图纸上的三角形草坪是相似三角形， 解得：，所以这块草坪的周长为m.故答案为：【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握“相似三角形的周长之比等于相似比”是解本题的关键.12．（2，2）【分析】根据旋转性质可得出点B是A、C的中点，过点C作CD⊥x轴于D，利用相似三角形的判定与性质求得OD和CD即可求解．【详解】解：∵点，点，∴OA=2，OB=1，由旋转性质得：AB=BC，即点B是A、C的中点，过点C作CD⊥x轴于D，则CD∥OB，∴△AOB∽△ADC，∴，∴OD=2，CD=2，∴点C坐标为（2，2），故答案为：（2，2）．【点睛】本题考查旋转性质、相似三角形的判定与性质，坐标与图形，熟练掌握旋转性质和相似三角形的判定与性质是解答的关键．13．9【分析】如图，BC=2m，CE=12m，AB=1.5m，利用题意得∠ACB=∠DCE，则可判断△ACB∽△DCE，然后利用相似比计算出DE的长．【详解】解：如图，BC=2m，CE=16m，AB=1.5m，由题意得∠ACB=∠DCE，∵∠ABC=∠DEC，∴△ACB∽△DCE，∴，即，∴DE=9．即旗杆的高度为9m．故答案为：9【点睛】本题考查了相似三角形的应用：借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．14．【分析】直接利用已知得出x＝y，进而得出答案．【详解】解：∵＝，∴x＝y，∴＝＝．故答案为：．【点睛】此题主要考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解答此题的关键．15．1:2【分析】D、E分别是AB、AC边的中点，则DE是△ABC的中位线；根据三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，因而中位线分三角形得到的小三角形与原三角形一定相似，且相似是1：2，然后根据相似三角形的周长比等于相似比即可求解．【详解】∵点D，点E分别是边AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，且DE:BC=1:2，∴△ADE∽△ABC，∴△ADE与△ABC的周长比为1:2.故答案为1:2.【点睛】此题考查三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质，解题关键在于掌握判定定理.16．【分析】由本题图形相似已经有一个公共角，再找一组对应角相等或公共角的两边对应成比例即可．【详解】解：添加条件为：，理由：，，∽．故答案为．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．17．12【详解】试题分析：利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出旗杆的高度即可．解：∵同一时刻物高与影长成正比例．设旗杆的高是xm．∴1.6：1.2=x：9∴x=12．即旗杆的高是12米．故答案为12．考点：相似三角形的应用．18．12【分析】根据物理光学中的入射角等于反射角可知∠ECD=∠ACB，所以图中两个三角形相似，再利用相似比求出AB即可．【详解】∵∠ECD=∠ACB∴△ABC≌△EDC∴∴AB=BC×0.8=15×0.8=12（m）故答案为：12【点睛】本题考查光的反射和三角形相似的结合，掌握这些知识点是本题关键．19．①②④【分析】由BE和CD是中线可证明DE是的中位线，从而可判断①；由DE//BC可证明ADE∽ABC从而可判断②；证明MDE∽MBC可判断③④．【详解】解：∵BE是边AC上的中线，CD是AB边上的中线，∴点E为AC边的中点，点D为AB边的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴DE//BC，故结论①正确；∴∠AED=∠ACB，∠ADE=∠ABC∴△ADE∽△ABC，故结论②正确；∵DE为△ABC的中位线，∴DE//BC,DE=BC∴ ∴ ∴，故③错误；∵DE//BC∴ ∴ ∴，故④正确；∴正确的结论是①②④故答案为：①②④【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质，灵活判定两个三角形相似是解答本题的关键．20．(1)补全图形见解析(2)∠AEF=45°(3)数量关系为CF=aCE，理由见解析【分析】（1）根据垂直的定义，画图即可；（2）证明△ABF≌△ADE即可；（3）过点E作EM//CF交AC于点M，证明△MEH∽△CFH，利用等腰直角三角形的性质，等量代换即可．(1)补全图形(2)解：在正方形ABCD中，∠DAB=∠ABC=∠D =90°，AD=AB. ∵AF⊥AE，∴∠FAE =90°，∴∠FAE =∠DAB，∴∠FAE-∠BAE =∠DAB-∠BAE，即∠FAB =∠DAE， ∵∠ABF =∠D=90°，∴△ABF≌△ADE，                ∴AF=AE，∴△AEF是等腰直角三角形，∴∠AEF=45°．(3)解：数量关系为CF=aCE． 过点E作EM//CF交AC于点M ∴∠MEH=∠EFC，∠MEC=∠D=90°，∵∠MHE=∠CHF，   ∴△MEH∽△CFH，∴     ∵∠ACD=45°∴△MEC是等腰直角三角形∴ME=EC∴ 即CF=aCE．【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的判定，三角形相似的判定和性质，熟练掌握正方形的性质，三角形相似的判定是解题的关键．21．（1）2；（2），理由见解析【分析】（1）由已知条件∠BOE＝∠BAO，且公共角，证明△OBE∽△ABO，进而列出比例式，代入数值即可求得；（2）延长OE到点F，使得，连接AF，FB，证明△AOF≌△DOC，进而可得，即【详解】（1）解：∵∠BOE＝∠BAO，，∴△OBE∽△ABO，∴，∵AB＝，E为AB的中点，∴∴，∴（舍负）.（2）线段OE和CD的数量关系是：，理由如下，证明：如图，延长OE到点F，使得，连接AF，FB.∵∴四边形AFBO是平行四边形，∴，，∴，∵∠AOB+∠COD＝，∴，∵OB＝OC，∴，在△AOF和△DOC中，，∴△AOF≌△ODC，∴∴.【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，第（2）小问中，根据题意正确的添加辅助线是解题的关键．22．证明见解析【分析】由，∠B=90°可得出，再由公共角相等，即可证得．【详解】∵，∠B=90°，∴．又∵∠C=∠C，∴．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，常用的判定两个三角形相似的方法有1、定义法：三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形相似．2、平行于三角形一边的直线截其他两边（或其他两边的延长线）所构成的三角形和原三角形相似．3、两角分别相等的两个三角形相似．4、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．23．【分析】先证明，由相似三角形的性质即可求出AE．【详解】∵DE⊥AB于点E，∠C=90°，∴∠AED＝∠C，∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∴，，AE＝．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理以及性质是解题的关键．24．（1）见解析；（2）①BE＝4；②45【分析】（1）由平行线的性质得出∠DEB＝∠FCE，∠DBE＝∠FEC，即可得出结论；（2）①由平行线的性质得出＝＝，即可得出结果；②先求出＝，易证△EFC∽△BAC，由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得出结果．【详解】（1）证明：∵DE∥AC，∴∠DEB＝∠FCE，∵EF∥AB，∴∠DBE＝∠FEC，∴△BDE∽△EFC；（2）解：①∵EF∥AB，∴＝＝，∵EC＝BC﹣BE＝12﹣BE，∴＝，解得：BE＝4；②∵＝，∴＝，∵EF∥AB，∴△EFC∽△BAC，∴＝（）2＝（）2＝，∴S△ABC＝S△EFC＝×20＝45．【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理与性质．25．（1）详见解析；（2）【分析】（1）根据∠ABC=∠ACD，∠A=∠A即可证明,（2）由上一问列出比例式,代入求值即可.【详解】证明：（1）∵∠ABC=∠ACD，∠A=∠A ∴△ABC∽△ACD  （2）解：△ABC∽△ACD∴∵AD=2, AB=5∴∴AC= 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质,属于简单题,列比例式是解题关键.26．（1）证明见解析；（2）【分析】（1）根据相似三角形的判定，由已知可证∠A=∠DCB，又因为∠ACB=∠BDC=90°，即证△ABC∽△CBD；（2）根据勾股定理得到AB=5，根据三角形的面积公式得到CD=，然后根据勾股定理即可得到结论．【详解】解：（1）∵CD⊥AB，∴∠BDC=90°．∴∠A+∠ACD=90°．∵∠ACB=90°，∴∠DCB+∠ACD=90°．∴∠A=∠DCB．又∵∠ACB=∠BDC=90°，∴△ABC∽△CBD；（2）解：∵∠ACB=90°，AC=4，BC=3，∴AB=5，∴CD=，∵CD⊥AB，∴BD=．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答的关键．27．，【分析】直接利用矩形的性质结合相似三角形的判定方法得出，再利用相似三角形的性质得出答案．【详解】解：四边形是矩形，，，，又，，，是的中点，，，，，解得：．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是正确得出相似三角形．28．（1）证明见详解；（2）CD的长为2．【分析】（1）由角平分线的定义可得，根据相似三角形的判定定理即可证明；（2）由中点的定义可得，再由（1）中结论相似三角形的性质即可得．【详解】解：（1）证明∵AE平分，∴，在与中，∵，，∴；（2）∵D为AE中点，∴，∵，∴，∴，∴CD的长为2．【点睛】题目主要考查相似三角形的判定和性质，角平分线和线段中点的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．29．见解析【分析】由BD平分∠ABC可得∠ABC=2∠ABD，再结合∠ABC=2∠C可得∠ABD=∠C，再结合∠A=∠A即可证明结论．【详解】证明：∵BD平分∠ABC， ∴∠ABC=2∠ABD ∵∠ABC=2∠C∴∠ABD=∠C ∵∠A=∠A∴△ABD∽△ACB．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，掌握两角分别对应相等的两个三角形相似是解答本题的关键．30．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据角平分线的作图方法解答；（2）根据三角形外角的性质及角平分线的性质证明，即可得到结论．【详解】解：（1）如图：（2）∵，∴，∵BD平分∠MBC，∴，∵是△ADB的一个外角，∴，∴.∵，∴△ABC∽△ADB．【点睛】此题考查了角平分线的作图，相似三角形的判定，熟记相似三角形的判定定理是解题的关键．