2021北京重点校初三（上）期中数学汇编：一元二次方程章节综合

2021北京重点校初三（上）期中数学汇编

一元二次方程章节综合

一、单选题

1．（2021·北京一七一中九年级期中）用配方法解关于x的一元二次方程x2-2x-5=0，配方正确的是（　　）

A． B． C． D．

2．（2021·北京一七一中九年级期中）方程的根的情况是（　　）

A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根

3．（2021·北京一七一中九年级期中）若关于x的方程（m﹣1）x2+mx﹣1＝0是一元二次方程，则m的取值范围是（　　）

A．m≠1 B．m＝1 C．m≥1 D．m≠0

4．（2021·北京八十中九年级期中）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，下列结论正确的是（       ）

A． B． C． D．

5．（2021·北京·人大附中九年级期中）用配方法解方程，正确的是（     ）

A． B． C．  D．

6．（2021·北京四中九年级期中）下列一元二次方程中，没有实数根的是（       ）

A．（x -1）2   = 5 B． C．x2 +4x -1 = 0 D．3x2 = 5x - 2

7．（2021·北京八中九年级期中）某电视机厂计划用两年的时间把某种型号的电视机的成本降低36%， 若每年下降的百分数相同，则这个百分数为（                    ）

A．10% B．12% C．20% D．180%

8．（2021·北京八十中九年级期中）用配方法解方程时，原方程应变形为（       ）

A． B． C． D．

二、填空题

9．（2021·北京八中九年级期中）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则c的最小值是___________．

10．（2021·北京·北师大实验中学九年级期中）新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，各种品牌的新能源汽车相继投放市场，我国新能源汽车近几年销售量全球第一，2018年某款新能源车销售量为15万辆，销售量逐年增加，到2020年销售量为21.6万辆，求这款新能源汽车的年平均增长率是多少？可设年平均增长率为x，根据题意可列方程 __________________．

11．（2021·北京一七一中九年级期中）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是________．

12．（2021·北京·人大附中九年级期中）若关于x的一元二次方程有两个相等实数根，则k=_____．

13．（2021·北京·北师大实验中学九年级期中）若关于x的方程x2﹣kx﹣12＝0的一个根为2，则k的值为　 _____．

三、解答题

14．（2021·北京八十中九年级期中）已知关于x的一元二次方程．

（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；

（2）若方程有一个根是1，求方程的另一个根．

15．（2021·北京一七一中九年级期中）解方程：2x2﹣x﹣3=0．

16．（2021·北京四中九年级期中）解方程

（1） x2 -5x + 6= 0 ；

（2） 4x2 -6x -1 = 0 ．

17．（2021·北京八十中九年级期中）解下列方程

（1）x2﹣6x﹣16＝0

（2）x（2x﹣5）＝4x﹣10

18．（2021·北京八中九年级期中）解关于x的方程：

19．（2021·北京一七一中九年级期中）关于的一元二次方程．

（1）求证：方程总有两个实数根；

（2）若方程有一根小于1，求的取值范围．

20．（2021·北京·北师大实验中学九年级期中）解方程:x2+6x﹣5＝0．

21．（2021·北京·北师大实验中学九年级期中）关于x的一元二次方程x2-4x+n=0有两个不相等的实数根．

(1)求n的取值范围；

(2)写出一个满足条件的n的值，并求此时方程的根．

22．（2021·北京·人大附中九年级期中）解方程：x2－6x＝7

参考答案

1．D

【分析】

常数项移到方程的左边，两边都加上1配成完全平方式即可得出答案．

【详解】

解：∵x2-2x-5=0，

∴x2-2x=5，

则x2-2x+1=5+1，即（x-1）2=6，

故选D．

【点睛】

本题主要考查配方法解一元二次方程的能力，解题的关键是熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤．

2．C

【分析】

把a=1，b=-1，c=3代入△=b2-4ac进行计算，然后根据计算结果判断方程根的情况．

【详解】

∵a=1，b=-1，c=3，

∴△=b2-4ac=（-1）2-4×1×3=-11＜0，

所以方程没有实数根．

故选C．

【点睛】

本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2-4ac．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．

3．A

【分析】

根据一元二次方程的定义可得m﹣1≠0，再解即可．

【详解】

解：由题意得：m﹣1≠0，

解得：m≠1，

故选：A．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的定义，注意掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．

4．A

【分析】

根据根的判别式建立不等式求解即可．

【详解】

∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，

∴△＞0，

∴＞0，

∴＞0，

∴＞0，

∴，

故选A．

【点睛】

本题考查了一元二次方程根的判别式，根据方程根的情况，熟练建立不等式是解的关键．

5．D

【分析】

先把常数项移项后，给方程左右两边同时加上一次项系数4的一半的平方，即可得出答案．

【详解】

解：

移项得：，

方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方得：，

配方得：，

故选D．

【点睛】

本题考查了用配方法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握配方法的步骤．

6．B

【分析】

分别计算这四个方程的根的判别式的值，再根据根的判别式的意义直接进行判断即可．

【详解】

解：A.化为一般形式为，，该方程有两个不相等的实数根，不符合题意；

B.化为一般形式为，，该方程没有实数根，符合题意；

C.，，该方程有两个不相等的实数根，不符合题意；

D.，化为一般形式为，，该方程有两个不相等的实数根，不符合题意．

故选：B

【点睛】

本题主要考查了根的判别式的运用，熟练掌握一元二次方程跟的判别式是解答此题的关键，（1）当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；（2）当时，一元二次方程有两个相等的实数根；（3）当时，一元二次方程没有实数根．

7．C

【分析】

此题设出参数电视机的成本a，设每年下降的百分数为x，利用电视机的成本×（1-x）2=现价，列出方程解答即可．

【详解】

解：设电视机的成本a，设每年下降的百分数为x，根据题意列方程得，

a（1-x）2=a-36%a，

解得：x1=0.2，x2=1.8（不合题意，舍去）．

所以，每年下降的百分数20%．

故选：C．

【点睛】

此题考查一元二次方程的应用，解答时关键抓住每年下降的百分数相同，找出蕴含的等量关系，列方程即可解答．

8．B

【分析】

根据配方法解一元二次方程的步骤首先把常数项移到右边，方程两边同时加上一次项系数一半的平方配成完全平方公式．

【详解】

解：

移项得：

方程两边同时加上一次项系数一半的平方得：

配方得：．

故选：B．

【点睛】

此题考查了配方法解一元二次方程的步骤，解题的关键是熟练掌握配方法解一元二次方程的步骤．配方法的步骤：配方法的一般步骤为：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．

9．0．

【分析】

利用根的判别式列出方程，再确定c的最小值即可．

【详解】

解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，

∴，

∴，

则c的最小值是0，

故答案为：0．

【点睛】

本题考查了一元二次方程根的判别式，解题关键是熟练运用一元二次方程根的判别式列出方程，根据非负数的性质确定最值．

10．

【分析】

根据2018年某款新能源车销售量为15万辆，销售量逐年增加，到2020年销售量为21.6万辆，若年增长率x不变，可得关于x的一元二次方程．

【详解】

解：设年平均增长率为x，

根据题意可列方程：15（1＋x）2＝21.6．

故答案为：15（1＋x）2＝21.6．

【点睛】

本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

11．m＜2

【分析】

根据一元二次方程的根的判别式，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．

【详解】

解：，

∵a＝1，b＝-4，c＝2m，方程有两个不相等的实数根，

∴△＝b2−4ac＝（-4）2-4×2m＞0，

∴m＜2．

故答案为：m＜2．

【点睛】

本题考查了根的判别式．总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．

12．1

【分析】

根据一元二次方程根的判别式可直接进行求解．

【详解】

解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，

∴，

解得：；

故答案为：1．

【点睛】

本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．

13．－4

【分析】

将x=2代入方程中求解即可．

【详解】

解：∵关于x的方程x2﹣kx﹣12＝0的一个根为2，

∴将x=2代入方程中，得：4－2k－12=0，

解得：k=－4，

故答案为：－4．

【点睛】

本题考查一元二次方程的解、解一元一次方程，理解一元二次方程的解的定义是解答的关键．

14．（1）证明见解析；（2）该方程的另一个根式-3．

【分析】

（1）判断即可证明；

（2）根据韦达定理即可得出另一根．

【详解】

解：（1），

∵，

∴，

∴方程总有两个不相等的实数根；

（2）设方程的另一个根为x，则

，解得，

故该方程的另一个根式-3．

【点睛】

本题考查根的判别式和根与系数关系．（1）中掌握的正负与一元二次方程之间的关系是解题关键；（2）熟记韦达定理是解题关键．

15．x1=，x2=-1．

【分析】

利用因式分解法即可求解．

【详解】

（2x-3）（x+1）=0，

则2x-3=0，x+1=0，

解得：x1=，x2=-1．

16．（1），；（2），．

【分析】

（1）原方程运用因式分解法求解即可；

（2）原方程运用公式法求解即可．

【详解】

解：（1）x2- 5x + 6 = 0

∴，；

（2） 4x2 - 6x -1 = 0

∴

∴，．

【点睛】

本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解答本题的关键．

17．（1）；（2）

【分析】

（1）利用十字乘法把左边分解因式可得再得到两个一次方程，再解一次方程即可；

（2）先把方程右边提取公因式2，再移项，再分解因式化为从而可得答案.

【详解】

解：（1）x2﹣6x﹣16＝0

或

解得：

（2）x（2x﹣5）＝4x﹣10

或

解得：

【点睛】

本题考查的是利用因式分解的方法解一元二次方程，掌握“十字乘法分解因式，提公因式分解因式，再解方程”是解题的关键.

18．x1=-2，x2=-1

【分析】

利用因式分解法求解即可．

【详解】

解：（x+2）（x+1）=0．

∴x1=-2，x2=-1．

【点睛】

本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．

19．（1）见解析；（2）

【分析】

（1）利用根的判别式，求出大于等于0恒成立，就可以证明；

（2）利用因式分解法得到该方程的两个根，一个是2，一个是，根据方程有一根小于−3，求出k的取值范围．

【详解】

解：（1），，，

，

，

，

∵，

∴，

∴方程总有两个实数根；

（2），

∴，，

∵方程有一根小于1，

∴，

∴．

【点睛】

本题考查一元二次方程根的判别式和利用因式分解法解一元二次方程，解题的关键是熟练运用这些知识点进行求解．

20．，

【分析】

利用配方法解方程．

【详解】

解：x2+6x﹣5＝0

x2+6x=5

x2+6x+9=5+9

∴，．

【点睛】

此题考查解一元二次方程，掌握解方程的方法：直接开平方法、公式法、配方法、因式分解法，根据每个一元二次方程的特点选用恰当的解法是解题的关键．

21．(1)n＜4；

(2)n=0，x1=0，x2=4

【分析】

（1）先根据方程有两个不相等的实数根得出Δ=（-4）2-4•n＞0，解之可得；

（2）在以上所求m的范围内取一值，如n=0，再解方程即可得．

(1)

解：∵，，，

∴Δ=（-4）2-4•n＞0，

解得n＜4；

(2)

由（1）知，n＜4，则n=0符合题意．

当n=0时，x2-4x=0．

整理，得x（x-4）=0．

解得x1=0，x2=4（答案不唯一）．

【点睛】

本题主要考查根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：

①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；

②当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；

③当Δ＜0时，方程无实数根．

22．x1=-1或x2=7

【分析】

用配方法对方程配方后解答即可；

【详解】

解：x2-6x＝7

x2-2×3x+9=7+9

（x-3）2=16

∴x-3=-4或x-3=4

∴x1=-1或x2=7

【点睛】

本题考查了一元二次方程的解法，灵活掌握方程的解法是解题的关键．