2021北京重点校初三（上）期中数学汇编：圆章节综合1

这是一份2021北京重点校初三（上）期中数学汇编：圆章节综合1，共34页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021北京重点校初三（上）期中数学汇编
圆章节综合1
一、单选题
1．（2021·北京·北师大实验中学九年级期中）如图，抛物线y＝﹣x2+1与x轴交于A，B两点，D是以点C(0，﹣3)为圆心，2为半径的圆上的动点，E是线段BD的中点，连接OE，则线段OE的最大值是（ ）

A．2 B． C．3 D．
2．（2021·北京一七一中九年级期中）如图所示，已知⊙O中，半径的长为5cm，测得圆周角∠ACB＝45°，则弦AB的长为（ ）

A．5cm B．10cm C．15cm D．20cm
3．（2021·北京师大附中九年级期中）如图所示，点C是⊙O上一动点，它从点A开始逆时针旋转一周又回到点A，点C所走过的路程为x，BC的长为y，根据函数图象所提供的信息，∠AOB的度数和点C运动到弧AB的中点时所对应的函数值分别是（　　）

A．150°， B．150°，2 C．120°， D．120°，2
4．（2021·北京·北师大实验中学九年级期中）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，以A为圆心作一个半径为2的圆，下列结论中正确的是（　　）

A．点B在⊙A内 B．点C在⊙A上
C．直线BC与⊙A相切 D．直线BC与⊙A相离
5．（2021·北京一七一中九年级期中）已知⊙O的半径为5cm，点P在⊙O外，则OP的长（ ）
A．小于5cm B．大于5cm
C．小于10cm D．不大于10cm
二、填空题
6．（2021·北京一七一中九年级期中）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，BC与⊙O交于点D，连接OD．若∠C＝50°，则∠AOD的度数为____．

7．（2021·北京四中九年级期中）在⊙O 中，弦 AB 所对圆心角为 140°，则弦AB 所对的圆周角的度数是___________．
8．（2021·北京四中九年级期中）京西某游乐园的摩天轮采用了国内首创的横梁结构，风格更加简约．如图，摩天轮直径 88 米，最高点 A 距离地面 100 米，匀速运行一圈的时间是 18 分钟．由于受到周边建筑物的影响，乘客与地面的距离超过 34 米时，可视为最佳观赏位置，在运行的一圈里最佳观赏时长为___________分钟．

9．（2021·北京八十中九年级期中）如图，AB是⊙O的直径，弦，分别过M、N作AB的垂线，垂足为C、D，以下结论
①AC＝BD；
②AM＝BN；
③若四边形MCDN是正方形，则MN＝AB；
④若M为弧AN的中点，则D为OB中点．
所有正确结论的序号是 ___．

10．（2021·北京·北师大实验中学九年级期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点M在AD的延长线上，∠AOC＝142°，则∠CDM＝_____．

11．（2021·北京·人大附中九年级期中）如图，AB是半圆O的直径，C、D点在半圆O上，若∠BOC＝80°，则∠BDC＝_______．

12．（2021·北京八十中九年级期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BCD＝120°，则∠BOD＝___°．

13．（2021·北京八中九年级期中）⊙O的半径为3，点P 在⊙O外，点P到圆心的距离为d，则d需要满足的条件____________．
14．（2021·北京师大附中九年级期中）如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB于点C，交⊙O于点D，连接OA．如果AB＝8，CD＝2，那么⊙O的半径为_____．

15．（2021·北京八中九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，-3），半径为1的动圆⊙A沿y轴正方向运动，若运动后⊙A与x轴相切，则点A的运动距离为____________．

三、解答题
16．（2021·北京一七一中九年级期中）在平面直角坐标系xOy中，点P坐标为（2，3），点Q为图形M上一点．我们将线段PQ长度的最大值与最小值之间的差定义为点P视角下图形M的“宽度”．


（1）如图，⊙O半径为2，与x轴分别交于点A，B．
①在点P视角下，⊙O的“宽度”为 　 　，线段AB的“宽度”为 　 　．
②点G（m，0）为x轴上一点，若在点P视角下，线段AG的“宽度”为2，求m的取值范围．
（2）⊙C的圆心在x轴上，且半径为r（r＞1），一次函数y＝x＋1的图象与x轴，y轴分别交于点D，E．若线段DE上存在点K，使得在点K视角下，⊙C的“宽度”可以为2，求圆心C的横坐标xC的取值范围．
17．（2021·北京师大附中九年级期中）如图，正方形ABCD，将线段AB绕点顺时针旋转2α（0°＜α＜90°），得到线段AE，连接BE，AP⊥BE于P，交DE于F，连接BF．
（1）①补全图形，
②∠ADE＝　 　（用含α的式子表示）；
（2）判断DE与BF的位置关系，并证明；
（3）若正方形ABCD的边长为2，点M是CD的中点，直接写出MF的最大值．

18．（2021·北京师大附中九年级期中）规定：平面内点A到图形G上各个点的距离的最小值称为该点到这个图形的最小距离d，点A到图形G上各个点的距离的最大值称为该点到这个图形的最大距离D，定义点A到图形G的距离跨度为R＝D﹣d．


在平面直角坐标系xOy中，

（1）如图1，图形G1为以O为圆心，2为半径的圆，直接写出以下各点到图形G1的距离跨度： A（1，0）的距离跨度 　 　；B（﹣）的距离跨度 　 　；C（﹣3，﹣2）的距离跨度 　 　；
（2）如图2，图形G2为以D（﹣1，0）为圆心，2为半径的圆，直线y＝k（x﹣1）上存在到G2的距离跨度为2的点，求k的取值范围；
（3）如图3，射线OP：y＝x（x≥0），⊙E是以3为半径的圆，且圆心E在x轴上运动，若射线OP上存在点到⊙E的距离跨度为2，直接写出圆心的横坐标的取值范围 　 　．
19．（2021·北京·人大附中九年级期中）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接BC，过O点作OD⊥BC于D点，交弧BC于E点，连接AE交BC于F点．
（1）如图1，求证：∠BAC＝2∠E；
（2）如图2，连接OF，若OF⊥AB，DF＝1，求AE的长．

20．（2021·北京一七一中九年级期中）正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，△OAB的三个顶点O（0，0），A（4，1），B（4，4）均在格点上．
（1）画出△OAB绕原点O顺时针旋转90°后得到的△OA1B1，并写出点A1的坐标．
（2）求点A到点A1经过的路径长．

21．（2021·北京一七一中九年级期中）如图，在RtABC中，∠C＝90°，BD是△ABC的角平分线，点O在AB上，以点O为圆心，OB长为半径的圆经过点D，交BC于点E，交AB于点F．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若CE＝2，CD＝4，求半径的长．

22．（2021·北京四中九年级期中）如图，已知 CD 为⊙O 的直径，点 A，B 在⊙O 上，AB⊥CD 于点 E，连接 OB，CE=1，AB=10， 求⊙O 的半径．

23．（2021·北京八中九年级期中）如图，已知： 过⊙O上一点A作两条弦AB、AC，且∠BAC=45°，（AB，AC都不经过O）过A作AC的垂线AF，交⊙O于D，直线BD，AC交于点E，直线BC，DA交于点F．
（1）证明：BE=BF；
（2）探索线段AB、AE、AF的数量关系，并证明你的结论．

24．（2021·北京师大附中九年级期中）如图，点A、B、C是⊙O上的点，AD是⊙O的直径，AD⊥BC于点E．
（1）求证：∠BAD＝∠CAD；
（2）若∠BAD＝30°，BC＝2，求⊙O的半径．

25．（2021·北京·人大附中九年级期中）如图，A、B是⊙O上的两点，C是弧AB中点．求证：∠A＝∠B．

26．（2021·北京·人大附中九年级期中）下图是小宇设计的“作已知角的平分线”的尺规作图过程．
已知：∠MON．
求作：射线OP，使得OP平分∠MON．
作法：如图，
①在射线OM上任取一点A，以A为圆心，OA长为半径作圆，交OA的延长线于B点；
②以O为圆心，OB长为半径作弧，交射线ON于C点；
③连接BC，交⊙A于P点，作射线OP．
射线OP就是要求作的角平分线．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明
证明：∵OB是⊙A直径，P点在⊙A上
∴∠OPB＝90°（ ）（填依据）
∴OP⊥BC
∵OB＝OC
∴OP平分∠MON（ ）（填依据）
27．（2021·北京师大附中九年级期中）已知：如图，AB是⊙O直径，延长直径AB到点C，使AB＝2BC，DF是⊙O的弦，DF⊥AB于点E，OE＝1，∠BAD＝30°．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）连接并延长DO交AF于点G，连接GE，请补全图形并求GE的长．

28．（2021·北京·北师大实验中学九年级期中）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于点E．

(1)求证:∠BCO＝∠D；
(2)若BE＝8cm，CD＝6cm，求⊙O的半径．
29．（2021·北京一七一中九年级期中）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB＝10，EB＝2，求弦CD的长．

参考答案
1．B
【分析】
连接AD，令y＝0，则，得OE是△ABD的中位线，当A、C、D三点共线，且点C在AD之间时，AD最大，即可求解．
【详解】
解：连接AD，如图，
令y＝0，则，解得，则A（−4，0），B（4，0），
∴O是线段AB的中点，
∵E是线段BD的中点，
∴OE为△ABD的中位线，
∴，
设圆的半径为r，则r＝2，
当A、C、D三点共线，且点C在AD之间时，AD最大，此时OE最大，
，
∴线段OE的最大值是．
故选：B．

【点睛】
本题主要考查的是抛物线与x轴的交点以及三角形中位线的性质，解题的关键是根据圆的基本性质，确定AD的最大值．
2．A
【分析】
作，连接OB，根据圆周角定理和垂径定理计算即可；
【详解】
作，连接OB，

∵∠ACB＝45°，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
故选A．
【点睛】
本题主要考查了圆周角定理，垂径定理和勾股定理，准确计算是解题的关键．
3．D
【分析】
观察图象可得：y的最大值为4，即BC的最大值为4，当x＝0时，y＝2，即AB＝2，如图，点C′是的中点，连接OC′交AB于点D，则OC′⊥AB，AD＝BD＝，∠AOB＝2∠BOC′，利用三角函数定义可得∠BOC′＝60°，即可求得答案．
【详解】
解：由函数图象可得：y的最大值为4，即BC的最大值为4，
∴⊙O的直径为4，OA＝OB＝2，
观察图象，可得当x＝0时，y＝2，
∴AB＝2，
如图，点C′是的中点，连接OC′交AB于点D，

∴OC′⊥AB，AD＝BD＝，∠AOB＝2∠BOC′，
∴sin∠BOC′＝＝，
∴∠BOC′＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∵OB＝OC′，∠BOC′＝60°，
∴△BOC′是等边三角形，
∴BC′＝OB＝2，
即点C运动到弧AB的中点时所对应的函数值为2．
故选：D
【点睛】
本题主要考查了垂径定理，锐角三角函数，等边三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
4．D
【分析】
过A点作AH⊥BC于H，如图，利用等腰三角形的性质得到BH=CH=BC=4，则利用勾股定理可计算出AH=3，然后根据点与圆的位置关系的判定方法对A选项和B选项进行判断；根据直线与圆的位置关系对C选项和D选项进行判断．
【详解】
解：过A点作AH⊥BC于H，如图，

∵AB=AC，
∴BH=CH=BC=4，
在Rt△ABH中，AH==3，
∵AB=5＞3，
∴B点在⊙A外，所以A选项不符合题意；
∵AC=5＞3，
∴C点在⊙A外，所以B选项不符合题意；
∴AH⊥BC，AH=3＞半径，
∴直线BC与⊙A相离，所以C选项不符合题意，D选项符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题考查了直线与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，若直线l和⊙O相交⇔d＜r；直线l和⊙O相切⇔d=r；直线l和⊙O相离⇔d＞r．也考查了点与圆的位置关系和等腰三角形的性质．
5．B
【分析】
根据点在圆外，点到圆心的距离大于圆的半径进行判断即可．
【详解】
解：∵⊙O的半径为5cm，点P在⊙O外，
∴OP＞5cm．
故选B．
【点睛】
本题考查点与圆的位置关系：掌握点到圆心的距离与半径r的关系，设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d=r；点P在圆内⇔d＜r．
6．
【分析】
根据切线的性质得，根据和三角形内角和定理得，又因为OB=OD，所以，即可得．
【详解】
解：∵是⊙O的直径，是⊙O的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵OB=OD，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】
本题考查切线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角定理和三角形的外角性质，解题的关键是掌握这些知识点．
7．70°或110°
【分析】
根据圆周角定理计算即可．
【详解】
如图，当角的顶点在优弧上时，∠ADB=∠AOB=70°；当角的顶点在劣弧上时，∠ACB=180°-∠ADB=110°；
故答案为：70°或110°．

【点睛】
本题考查了圆周角定理，熟练掌握定理，并灵活分类计算是解题的关键．
8．12
【分析】
先计算出圆的底端距离地面的距离为12，从而得到圆的底部到弦的距离为22，从而计算出弦所对的圆心角，用弧长公式计算劣弧的长，周长减去劣弧的长得到最佳观赏路径长，除以运动速度即可．
【详解】
如图所示，根据题意，得OC=44，CD=AD-AC=100-88=12，ED=34，
∴CE=ED-CD=34-12=22，
∴OE=OC-CE=44-22=22，
在直角三角形OEF中，sin∠OFE=，

∴∠OFE=30°，
∴∠FOE=60°，
∴∠FOB=120°，
∴，
∵圆转动的速度为，
∴最佳观赏时长为（分钟），
故答案为：12．
【点睛】
本题考查了垂径定理，弧长公式，特殊角的三角函数，熟练掌握弧长公式，灵活运用特殊角的三角函数是解题的关键．
9．①②④
【分析】
先证明四边形CMND是矩形，再证明Rt△OMC≌Rt△OND（HL），可得结论①②正确，证明AB=MN，可得③错误；证明△OBN是等边三角形，可得④正确，从而可得答案．
【详解】
解：连接OM、ON，AM如图， ∵MC⊥AB、ND⊥AB，
∴∠OCM=∠ODN=90°，
∵，
∴∠CMN+∠MCD=180°，
∴∠CMN=90°，
∴四边形CMND是矩形，

∴CM=DN，
在Rt△OMC和Rt△OND中，，
∴Rt△OMC≌Rt△OND（HL），
∴OC=OD，∠COM=∠DON，
∴ AM=BN，
故②正确，
∵OA=OB，OC=OD， ∴AC=BD，故①正确，
当四边形MCDN是正方形时，CM=2OC，

∴OM=OC，
∴AB=2OM=OC=MN，
∴MN=55AB, 故③错误，
若M是AN的中点，连接BN，而
∴∠AOM=∠MON=∠BON=60°，
∵ON=OB，
∴△ONB是等边三角形，
∵ND⊥OB， ∴OD=DB，故④正确．
故答案为：①②④．
【点睛】
本题考查了等边三角形的判定与性质，勾股定理的应用，直角三角形全等的判定与性质，矩形的判定与性质，正方形的性质，圆心角、弧、弦的关系；掌握“在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等”是解题的关键．
10．71°
【分析】
根据圆周角定理得到∠B＝71°，再根据圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角即可得解．
【详解】
解：∵∠AOC＝142°，
∴∠B＝∠AOC＝71°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠CDM＝∠B＝71°，
故答案为：71°．
【点睛】
此题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的性质、圆周角定理是解题的关键．
11．
【分析】
连接，根据圆周角定理求得，进而根据圆的内接四边形对角互补，即可求得
【详解】
如图，连接,

∵BC=BC
∴∠BDC=180°-∠BAC=180°-40°=140°
故答案为：
【点睛】
本题考查了圆周角定理，圆的内接四边形对角互补，掌握以上知识是解题的关键．
12．
【分析】
先利用圆的内接四边形的性质求解 再利用圆周角定理可得答案.
【详解】
解： 四边形ABCD内接于⊙O，∠BCD＝120°，
∴∠BAD=180°-120°=60°,
∴∠BOD=2∠BAD=120°,
故答案为：
【点睛】
本题考查的是圆的内接四边形的性质，圆周角定理，掌握“圆的内接四边形的对角互补，同弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半”是解题的关键.
13．d>3
【分析】
根据点与圆的位置关系的判定方法求解．
【详解】
解：∵点P在⊙O外，
∴d＞3．
故答案为：d＞3．
【点睛】
本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d=r；点P在圆内⇔d＜r．
14．5
【分析】
根据垂径定理求出AC，根据勾股定理列式计算即可．
【详解】
解答：解：设⊙O的半径为R，则OC＝R﹣2，
∵OD⊥AB，
∴AC＝AB＝4，
在Rt△AOC中，OA2＝OC2+AC2，即R2＝（R﹣2）2+42，
解得，R＝5，
故答案为：5．
【点睛】
本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．
15．2或4
【分析】
利用切线的性质得到点A到x轴的距离为1，此时圆心的坐标为（0，-1）或（0，1），然后分别计算点（0，-1）和（0，1）到（0，-3）的距离即可．
【详解】
解：若运动后⊙A与x轴相切，
则点A到x轴的距离为1，此时圆心的坐标为（0，-1）或（0，1），
而-1-（-3）=2，1-（-3）=4，
∴点A的运动距离为2或4，
故答案为：2或4．
【点睛】
本题考查了切线的性质，坐标与图形的性质，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
16．（1）①4；2；②m的范围为2≤m≤6或m=2-；（2）-2≤xC≤．
【分析】
（1）①连结PO并延长，交⊙O于Q1，Q2，找到最小值为PQ1，最大值PQ2，作差PQ2-PQ1=Q1Q2=4，根据⊙O的半径为2，求出点A（-2，0），点B（2，0），点P（2，3），由点B与点P的横坐标相同，可得PB⊥x轴，求出最小值PB =3，最大值PA=，AB的“宽度”为AP-BP=5-3=2即可，；
②当点G在点A的右边，AG的“宽度”为2，最小值PB=3，最大值PG=3+2=5，根据勾股定理BG=，分情况讨论当-2≤m＜2时，PA-PG＜2，当m＞6时， PG-PB＞2，不满足条件，可得2≤m≤6，PG最大-PB=2，当点G在点A左侧，只有一点；
（2）根据⊙C的“宽度”可以为2，r＞1，2r＞2，可得点K在⊙C内部，由点K在DE上，可以看作以点C为圆心，以1为半径的圆与线段DE有交点的心轨迹，当点K与点D重合时，可得xC=-2,，当以点C为圆心，1为半径的圆与DE相切时,切点为K，DK=CK=1，根据勾股定理可求DC=，再求出此时xC=即可．
【详解】
解：（1）①连结PO并延长，交⊙O于Q1，Q2，
最小值为PQ1，最大值PQ2，
∴PQ2-PQ1=Q1Q2=4，
∵⊙O的半径为2，
∴点A（-2，0），点B（2，0），点P（2，3），
∵点B与点P的横坐标相同，
∴PB⊥x轴，
最小值PB =3，最大值PA=，
∴AP-BP=5-3=2，
故答案为4；2；


②当点G在点A的右边，AG的“宽度”为2，
∵最小值PB=3，最大值PG=3+2=5，
根据勾股定理BG=，
当-2≤m＜2时，PA-PG＜2，
当m＞6时，PG＞PA，PG-PB＞2，
∴2≤m≤6，PG最大-PB=2，
当点G在点A左侧，
最小值PA=5，AG的“宽度”为2，最大值PG=5+2=7，
在Rt△PBG中，BG=，
∴点G（2-，0），
∴m=2-，
综合m的范围为2≤m≤6或m=2-；


（2）∵一次函数y＝x＋1的图象与x轴，y轴分别交于点D，E．
∴当x=0时，y=1，当y=0时，x=-1，
点D（-1，0），点E（0，1），
∵OD=OE=1，
∴∠DEO=∠EDO=45°，
∵⊙C的“宽度”可以为2，r＞1，2r＞2，
∴点K在⊙C内部，点K在DE上，以点C为圆心以1为半径的圆与线段DE有交点，


当点K与点D重合时，xC=-2,
当以点C为圆心，1为半径的圆与DE相切时,切点为K，CK⊥DE，
∴∠KCD=180°-∠DKC-∠KDC=180°-90°-45°=45°=∠KDC，
∴DK=CK=1，
∴DC=，
此时xC=，
∴在点K的视角下，⊙C的“宽度”可以为2，圆心C的横坐标xC的取值范围为:
-2≤xC≤．
【点睛】
本题考查新定义“宽度”，点与圆的最大距离与最小距离，勾股定理，直线与圆相切的性质，等腰直角三角形判定与性质，掌握新定义“宽度”，点与圆的最大距离与最小距离，勾股定理，直线与圆相切的性质是解题关键．
17．（1）①图见解析；②45°﹣α；（2）DE⊥BF，证明见解析；（3）+1．
【分析】
（1）①根据叙述，画出图形；
②由AE＝AB，AB＝AD推出AE＝AD，进而求得结果；
（2）根据∠AEF＝∠ABF，∠AEF＝∠ADF，得出∠ABF＝∠ADF，推出A、F、B、D共圆，从而∠BFD＝∠BAD，从而得出结论；
（3）连接BD；由∠BFD＝90°推出点F在以BD为直径的圆上，当MF过圆心时，MF最大，进而求得结果．
【详解】
（1）①补全的图形如图1所示，

②∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∴∠EAD＝∠EAB+∠BAD＝90°+2α，
由旋转性质得：AE＝AB，
∴AE＝AD，
∴∠ADE＝∠AED＝180°-∠EAD2
＝180°-（90°+2a）2
＝45°﹣α，
故答案是：45°﹣α；
（2）如图2，连接BD，

DE⊥BF，理由如下：
∵AE＝AB，AP⊥BE，
∴∠AEB＝∠ABE，EP＝PB，
∴FE＝FB，
∴∠FEP＝∠FBP，
∴∠AEB﹣∠FEP＝∠ABE﹣∠FBP，
∴∠AEF＝∠ABF，
∵∠AEF＝∠ADE，
∴∠ABF＝∠ADE，
∴点A、F、B、D共圆，
∴∠BFD＝∠BAD＝90°，
∴DE⊥BF；
（3）如图3，连接BD，

∵∠BFD＝90°，
∴点F在以BD为直径的⊙O上，过M点作⊙O的直径NF′，
则MF′最大，
∵OM＝BC＝1，NF′＝BD＝2，
∴ON=OF'=12NF'=12×22=2，
∴MF'=OF'+OM=2+1，
即MF的最大值是：+1．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形中位线定理，四点共圆等知识，四点共圆是解答本题的关键，也是难点．
18．（1）2；2；4；（2）﹣≤k≤；（3）﹣1≤xE≤2．
【分析】
（1）先根据距离跨度的定义求得点到圆的最小距离d和最大距离D，利用D﹣d即可得出结论；
（2）利用（1）计算过程得出规律：到G2的距离跨度为2的点在以D为圆心，1为半径的圆上；由已知可得：直线y＝k（x﹣1）经过点A（1，0），利用直线y＝k（x﹣1）与该圆相切时的k值，结合图形，发现直线y＝k（x﹣1）与以点D为圆心，1为半径的圆有公共点时 满足条件，从而得到k的取值范围；
（3）过点E作EC⊥OP于点C，交⊙E于点D，H，由题意：⊙E是以3为半径的圆，且圆心E在x轴上运动，若射线OP上存在点到⊙E的距离跨度为2，此时以点E为圆心1为半径的圆与射线OP相切，当以E为圆心1为半径的圆与射线OP有交点时，满足条件，结合图形即可的结论．
【详解】
解答：解：（1）如图，设圆O交x轴于点E，F，

∵A（1，0）在直径EF上，
∴d＝AF＝1，D＝AE＝3，
∴A（1，0）的距离跨度＝D﹣d＝2；
连接OB，过点B作BD⊥OE，则OD＝，BD＝．
∴BO＝．
∵⊙O的半径为2，
∴d＝1，D＝3，
∴B（，）的距离跨度＝3﹣1＝2；
连接CO并延长交⊙O于点G，H，
∴d＝CG，D＝CH，
∵⊙O的直径径为4，
∴C（﹣3，﹣2）的距离跨度＝D﹣d＝CH﹣CG＝GH＝4．
故答案为：2；2；4．
（2）对于直线y＝k（x﹣1），令y＝0，则x＝1，
∴直线y＝k（x﹣1）经过点A（1，0）．
由（1）知：到G2的距离跨度为2的点在以D为圆心，1为半径的圆上，
设直线y＝k（x﹣1）与该圆相切于点M，N，如图，

连接DM，DN，则DM⊥AM，DN⊥AN，
∵DM＝1，AD＝2，
∴sin∠MAD＝，
∴∠MAD＝30°．
∴∠MDA＝60°．
过点M作MB⊥AD于点B，
在Rt△MBD中，
∵cos∠MDB＝，
∴BD＝MD×cos60°＝，
∴OB＝OD﹣BD＝．
∵sin∠MDB＝，
∴MB＝MD×sin∠MDB＝，
∴M（﹣，）．
∵点M在直线y＝k（x﹣1）上，
∴．
∴．
同理，当直线经过点N时,．
∵直线y＝k（x﹣1）上存在到G2的距离跨度为2的点，
∴直线y＝k（x﹣1）与以点D为圆心，1为半径的圆有公共点，
∴观察图形可得k的取值范围为：﹣≤k≤．
（3）如图，过点E作EC⊥OP于点C，交⊙E于点D，H，

由题意：⊙E是以3为半径的圆，且圆心E在x轴上运动，若射线OP上存在点到⊙E的距离跨度为2，此时以点E为圆心1为半径的圆与射线OP相切，当以E为圆心1为半径的圆与射线OP有交点时，满足条件，
∴CD＝2，CH＝4，CE＝1．
∵射线OP的解析式为:，
∴∠COE＝30°，OE＝2CE＝2，
当E′（﹣1，0）时，点O到⊙E距离跨度为2，
观察图形可知，满足条件的圆心E的横坐标xE的取值范围为：﹣1≤xE≤2．
故答案为：﹣1≤xE≤2．
【点睛】
本题主要是考查了圆与锐角三角函数的综合应用，能够根据题目所给的新定义，结合圆的性质以及锐角三角函数值求解对应边长和坐标的值，是解决此类问题的关键．
19．（1）见解析；（2）6
【分析】
（1）根据垂径定理可知，，进而可得，由可得，进而即可证明；
（2）由是直径，可得，根据，可得，进而可得，根据含30度角的直角三角形的性质即可求得，进而求得的长．
【详解】
（1）OD⊥BC
EC=EB

，
，


（2）是直径




又










在中，



【点睛】
本题考查了垂径定理，等弧所对的圆周角相等，垂直平分线的定理，等边对等角，含30度角的直角三角形的性质，直径所对的圆周角是直角，求得是解题的关键．
20．（1）作图见解析，点的坐标为；（2）
【分析】
（1）将点、分别绕原点顺时针旋转后得到其对应点，再与点首尾顺次连接即可；
（2）先求出线段的长，再根据扇形的弧长公式结合求解即可．
【详解】
解：（1）如图所示，△OA1B1即为所求．

其中点的坐标为；
（2），，
点A到点A1经过的路径长为．
【点睛】
本题主要考查作图—旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的定义与性质及扇形弧长公式．
21．（1）见解析；（2）半径的长为5．
【分析】
（1）连接，由为角平分线得到一对角相等，再根据等腰三角形的性质得出一对内错角相等，进而确定出与平行，利用两直线平行同位角相等得到为直角，由此即可得证；
（2）过作垂直于，可得出四边形为矩形，由此可得OG＝CD＝4，设OE＝OD＝CG＝x，利用勾股定理列出方程即可求得答案．
【详解】
（1）证明：如图，连接，
为的平分线，
，
，
，
，
∴，
，
，
是⊙O的切线；
（2）解：过作，连接，
∵，，
∴四边形为矩形，
∴，，
设OE＝OD＝CG＝x，则GE＝CG－CE＝x－2，
∵在中，，
∴，
解得：，
∴，
即半径的长为5．

【点睛】
此题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，矩形的判定与性质，平行线的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键．
22．13
【分析】
设OB=x，则OE=x-1，在直角三角形OBE中，根据勾股定理计算即可．
【详解】
设OB=x，则OE=x-1，
∵CD 为⊙O 的直径， AB⊥CD ，AB=10，
∴AE=EB=5，
在直角三角形OBE中，根据勾股定理得：
，
解得x=13，
故圆的半径为13．
【点睛】
本题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理，灵活运用勾股定理是解题的关键．
23．（1）见解析；（2），见解析
【分析】
（1）连接EF，CD，取EF中点G，连接BG，AG，根据圆周角定理可证∠CBD=90°，而由直角三角形的性质可知EG=BG=AG=GF，得B、E、A、F在⊙G上，从而∠EFB=∠EAB=45°，故而BE=BF；
（2）首先可证△EBC≌△FBD（ASA），得BC=BD，CE=DF，再由△ACB∽△APD∽△CPB，可证AC•AD=AP•AB，BC2=BP•AB，根据AC2+AD2=CD2=2BC2，可得AC+AD=AB，再进行等量代换即可．
【详解】
解：（1）证明：连接EF，CD，取EF中点G，连接BG，AG，


∵∠BAC=45°，AF⊥AC，
∴∠BAD=45°，
∴∠BCD=∠BDC=45°，
∴∠CBD=90°，
∴CD为⊙O的直径，
∵AF⊥AE，∠DBF=90°，
∴∠EBF=∠FAE=90°，
∵EG=AG，
∴EG=BG=AG=GF，
∴B、E、A、F在⊙G上，
∴∠EFB=∠EAB=45°，
∵∠FBE=90°，
∴∠BEF=∠BFE，
∴BE=BF；
（2）AE=AF+AB
由（1）知，点A、B、E、F四点共圆，CD为⊙O的直径，


∴∠BEA=∠BFA，BF=BE，∠EBC=∠DBF=∠DAE=90°，
∴△EBC≌△FBD（ASA），
∴BC=BD，CE=DF，
∵∠CAB=∠DAB=45°，∠ABC=∠ADC，∠BCD=45°，
∴△ACB∽△APD∽△CPB，
∴，
∴AC•AD=AP•AB，BC2=BP•AB，
∵CD为直径，
∴AC2+AD2=CD2=2BC2，
∴（AC+AD）2=AC2+AD2+2AC•AD
=2BC2+2AC•AD
=2BP•AB+2AP•AB
=2AB•（BP+AP）
=2AB2，
∴AC+AD=AB，
∴AE=CE+AC=DF+AC=AF+DA+AC=AF+AB，
∴
【点睛】
本题主要考查了圆周角定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，综合性较强，对等式进行恒等变形是解题的关键．
24．（1）见解析；（2）2．
【分析】
（1）先根据垂径定理得到BD=CD，然后利用圆周角定理得到结论；
（2）连接OB，如图，利用垂径定理得到BE＝CE＝，再利用圆周角定理得到∠BOE＝60°，然后利用含30度的直角三角形三边的关系求OB的即可．
【详解】
解答：（1）证明：∵BC⊥AD，
∴BD=CD
∴∠BAD＝∠CAD；
（2）解：连接OB，如图，

∵BC⊥AD，
∴BE＝CE＝BC＝×2＝，
∵∠BOE＝2∠BAD＝2×30°＝60°，
在Rt△BOE中，∵OE＝BE＝×＝1，
∴OB＝2OE＝2，
即⊙O的半径为2．
【点睛】
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理．
25．见解析
【分析】
连接，通过证明即可得结论．
【详解】
证明：如图，连接，

是AB的中点，
AC=BC，
，
在和△BOC中，
，
，
．
【点睛】
本题考查弧、弦、圆心角的关系，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是利用全等三角形的判定和性质解决问题，属于中考常考题型．
26．（1）见解析；（2）直径所对的圆周角为；在等腰三角形中顶角的角平分线，底边的中线，底边的高线，三条线互相重合
【分析】
（1）按照题中的作法，补全作图即可；
（2）根据圆和等腰三角形的有关性质，结合上下文，求解即可．
【详解】
解：（1）作图如下：

（2）∵OB是⊙A直径，P点在⊙A上
∴∠OPB＝90°（直径所对的圆周角为）
∴OP⊥BC
∵OB＝OC
∴OP平分∠MON（在等腰三角形中顶角的角平分线，底边的中线，底边的高线，三条线互相重合）
故答案为：直径所对的圆周角为；在等腰三角形中顶角的角平分线，底边的中线，底边的高线，三条线互相重合
【点睛】
此题考查了尺规作图，圆的有关性质和等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握圆和等腰三角形的有关性质．
27．（1）见解析；（2）图见解析，．
【分析】
（1）根据等腰三角形的性质得到∠ODA＝∠OAD＝30°，根据垂直的定义得到∠AED＝90°，根据直角三角形的性质得到OE＝OD，求得OD＝2OE＝2，得到AB＝2OD＝4，根据等腰三角形的性质得到∠DCA＝∠DAC＝30°，根据切线的判定定理得到CD是⊙O的切线；
（2）连接FG，根据勾股定理得到DE＝＝＝，根据三角形中位线的性质得到OE＝FG，求得FG＝2OE＝2，由勾股定理即可得到结论．
【详解】
（1）证明：∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD＝30°，
∵DF⊥AB，
∴∠AED＝90°，
∴∠ADE＝90°﹣∠EAD＝60°，
∴∠ODE＝∠ADE﹣∠ODA＝30°，
∴OE＝OD，
∴OD＝2OE＝2，
∴OA＝OD＝2，
∵AB是⊙O直径，
∴AB＝2OD＝4，
∵AB＝2BC，
∴BC＝2，
∴AE＝OA+OE＝3，
∴AC＝AB+BC＝6，CE＝AC﹣AE＝3，
∴AE＝CE，
∴DA＝DC，
∴∠DCA＝∠DAC＝30°，
∴∠CDE＝90°﹣∠DCE＝60°，
∴∠ODC＝∠ODE+∠CDE＝90°，
∴OD⊥CD，
∵OD是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：连接FG，

在Rt△DOE中，
∵OD＝2，OE＝1
∴DE＝＝＝，
∵OE⊥DF，
∴EF＝DE＝，
∵OD＝OG，
∴OE是△DFG的中位线，
∴OE＝ FG，
∴FG＝2OE＝2，
在Rt△EFG中，GE2＝EF2+FG2，
∴GE＝＝＝．
【点睛】
本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形的中位线等，熟练掌握垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形的中位线等知识是解题的关键．
28．(1)见解析；
(2)⊙O的半径为 cm
【分析】
（1）由等腰三角形的性质与圆周角定理，易得∠BCO=∠B=∠D；
（2）由垂径定理可求得CE与DE的长，然后证得△BCE∽△DAE，再由相似三角形的对应边成比例，求得AE的长，继而求得直径与半径．
(1)
证明：∵OB=OC，
∴∠BCO=∠B，
∵∠B=∠D，
∴∠BCO=∠D；
(2)
解：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴CE=DE=CD=×6=3，
∵∠B=∠D，∠BEC=∠DEA，
∴△BCE∽△DAE，
∴AE：CE=DE：BE，
∴AE：3=3：8，
解得：AE=，
∴AB=AE+BE==，
∴⊙O的半径为(cm)．
【点睛】
本题考查了圆周角定理、垂径定理、相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质．注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．证得△BCE∽△DAE是关键．
29．8
【分析】
连接OC，根据题意得出OC＝5，再由垂径定理知，点E是CD的中点，CE＝CD，在直角△OCE中，由勾股定理得出CE，从而得出CD的长．
【详解】
解：连接OC，
∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，
∴CE＝DE＝CD，
∵BE＝2，AB＝10，
∴OC＝5，OE＝3，
∴CE＝，
∴CD＝8．

【点睛】
本题考查了垂径定理，掌握垂径定理的内容，连接半径构建直角三角形是解题的关键．