2021北京重点校初三(上)期中数学汇编:圆的性质1
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圆的性质1
一、单选题
1.(2021·北京市回民学校九年级期中)如图,是的外接圆,,则的度数是( )
A. B. C. D.
2.(2021·北京市回民学校九年级期中)如图,点是以点为圆心,为直径的半圆上的动点(点不与点,重合),.设弦的长为,的面积为,则下列图象中,能表示与的函数关系的图象大致是( )
A. B. C. D.
3.(2021·北京师大附中九年级期中)如图所示,点C是⊙O上一动点,它从点A开始逆时针旋转一周又回到点A,点C所走过的路程为x,BC的长为y,根据函数图象所提供的信息,∠AOB的度数和点C运动到弧AB的中点时所对应的函数值分别是( )
A.150°, B.150°,2 C.120°, D.120°,2
4.(2021·北京市回民学校九年级期中)如图,⊙O是△ABC的外接圆,∠OCB=40°,则∠A的度数是( )
A.40 B.80 C.50 D.45
5.(2021·北京·人大附中九年级期中)数学活动课上,同学们想测出一个残损轮子的半径,小宇的解决方案如下:如图,在轮子圆弧上任取两点A,B,连接AB,再作出AB的垂直平分线,交AB于C点,交弧AB于D点,测出AB,CD的长度,即可计算得出轮子的半径,现测出AB=40cm,CD=10cm,则轮子的半径为( )
A.50cm B.30cm C.25cm D.20cm
6.(2021·北京四中九年级期中)如图,点A,B,C均在上,当时,的度数是( )
A. B. C. D.
7.(2021·北京八十中九年级期中)如图,是的直径,是上两点,若,则的度数是( )
A. B. C. D.
8.(2021·北京市第一六一中学九年级期中)如图,点O为线段AB的中点,点B,C,D到点O的距离相等,连接AC,BD.则下面结论不一定成立的是( )
A.∠ACB=90° B.∠BDC=∠BAC
C.AC平分∠BAD D.∠BCD+∠BAD=180°
二、填空题
9.(2021·北京·北师大实验中学九年级期中)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A与点B的坐标分别是(1,0)与(7,0).对于坐标平面内的一动点P,给出如下定义:若∠APB=45°,则称点P为线段AB的“等角点.”
①若点P为线段AB在第一象限的“等角点”,且在直线x=4上,则点P的坐标为 __________________;
②若点P为线段AB的“等角点”,并且在y轴上,则点P的坐标为 __________________.
10.(2021·北京·北师大实验中学九年级期中)如图,四边形ABCD内接于⊙O,点M在AD的延长线上,∠AOC=142°,则∠CDM=_____.
11.(2021·北京师大附中九年级期中)如图,AB是⊙O的一条弦,OD⊥AB于点C,交⊙O于点D,连接OA.如果AB=8,CD=2,那么⊙O的半径为_____.
12.(2021·北京八十中九年级期中)如图,四边形ABCD内接于⊙O,∠BCD=120°,则∠BOD=___°.
13.(2021·北京市回民学校九年级期中)如图,四边形ABCD内接于⊙O,∠BOD=110°,则∠DCE=__________.
14.(2021·北京八十中九年级期中)如图,AB是⊙O的直径,弦,分别过M、N作AB的垂线,垂足为C、D,以下结论
①AC=BD;
②AM=BN;
③若四边形MCDN是正方形,则MN=AB;
④若M为弧AN的中点,则D为OB中点.
所有正确结论的序号是 ___.
15.(2021·北京四中九年级期中)在⊙O 中,弦 AB 所对圆心角为 140°,则弦AB 所对的圆周角的度数是___________.
16.(2021·北京四中九年级期中)京西某游乐园的摩天轮采用了国内首创的横梁结构,风格更加简约.如图,摩天轮直径 88 米,最高点 A 距离地面 100 米,匀速运行一圈的时间是 18 分钟.由于受到周边建筑物的影响,乘客与地面的距离超过 34 米时,可视为最佳观赏位置,在运行的一圈里最佳观赏时长为___________分钟.
17.(2021·北京五十五中九年级期中)在进行垂径定理的证明教学中,老师设计了如下活动:先让同学们在圆中作了一条直径MN,然后任意作了一条弦(非直径).如图1,接下来老师提出问题:在保证弦AB长度不变的情况下,如何能找到它的中点?在同学们思考作图验证后,小华说了自己的一种想法:只要将弦AB与直径MN保持垂直关系,如图2,它们的交点就是弦AB的中点,请你说出小华此想法的依据是__.
18.(2021·北京·人大附中九年级期中)如图,AB是半圆O的直径,C、D点在半圆O上,若∠BOC=80°,则∠BDC=_______.
19.(2021·北京·景山学校九年级期中)如图,AB是⨀O的直径,弦CD⊥AB于E,若∠ABC=30°,OE=,则OD长为 ___.
20.(2021·北京·人大附中九年级期中)如图,在⊙O中,弧AB=弧BC=弧CD,连接AC,CD,则AC______2CD(填“>”、“<”或“=”)
21.(2021·北京八中九年级期中)如图,在⊙O中,OC⊥AB,∠ADC=32°,则∠OBA的度数是__________
三、解答题
22.(2021·北京·北师大实验中学九年级期中)在Rt△ABC中,∠BCA=90°,BC=AC,点E是△ABC外一动点(点B,点E位于AC异侧),连接CE,AE.
(1)如图1,点D是AB的中点,连接DC,DE,当△ADE为等边三角形时,求∠AEC的度数;
(2)当∠AEC=135°时,
①如图2,连接BE,用等式表示线段BE,CE,EA之间的数量关系,并证明;
②如图3,点F为线段AB上一点,AF=1,BF=7,连接CF,EF,直接写出△CEF面积的最大值.
23.(2021·北京·北师大实验中学九年级期中)如图,AB是⊙O的直径,CD是⊙O的一条弦,且CD⊥AB于点E.
(1)求证:∠BCO=∠D;
(2)若BE=8cm,CD=6cm,求⊙O的半径.
24.(2021·北京师大附中九年级期中)如图,点A、B、C是⊙O上的点,AD是⊙O的直径,AD⊥BC于点E.
(1)求证:∠BAD=∠CAD;
(2)若∠BAD=30°,BC=2,求⊙O的半径.
25.(2021·北京市第一六一中学九年级期中)如图,AB是⊙O的直径,CD是⊙O的一条弦,且CD⊥AB于E,连接AC,OC,BC.
(1)求证:∠1=∠2;
(2)若,求⊙O的半径的长.
26.(2021·北京十五中九年级期中)下面是小明设计的“作已知圆的内接正三角形”的尺规作图过程.
已知:⊙O. 求作:⊙O的内接正三角形.
作法:
如图,①作直径AB;
②以B为圆心,OB为半径作弧,与⊙O交于C,D两点;
③连接AC,AD,CD.所以△ACD就是所求的三角形.
根据小明设计的尺规作图过程,
(1)使用直尺和圆规,补全图形;(保留作图痕迹)
(2)完成下面的证明:
证明:在⊙O中,连接OC,OD,BC,BD,
∵OC=OB=BC,
∴△OBC为等边三角形.
∴∠BOC= °.
∴∠AOC= °.
同理∠AOD=120°,
∴∠COD=∠AOC=∠AOD=120°.
∴AC=CD=AD( )(填推理的依据).
∴△ACD是等边三角形.
27.(2021·北京四中九年级期中)如图,已知 CD 为⊙O 的直径,点 A,B 在⊙O 上,AB⊥CD 于点 E,连接 OB,CE=1,AB=10, 求⊙O 的半径.
28.(2021·北京·人大附中九年级期中)如图,AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点,连接BC,过O点作OD⊥BC于D点,交弧BC于E点,连接AE交BC于F点.
(1)如图1,求证:∠BAC=2∠E;
(2)如图2,连接OF,若OF⊥AB,DF=1,求AE的长.
29.(2021·北京·人大附中九年级期中)下图是小宇设计的“作已知角的平分线”的尺规作图过程.
已知:∠MON.
求作:射线OP,使得OP平分∠MON.
作法:如图,
①在射线OM上任取一点A,以A为圆心,OA长为半径作圆,交OA的延长线于B点;
②以O为圆心,OB长为半径作弧,交射线ON于C点;
③连接BC,交⊙A于P点,作射线OP.
射线OP就是要求作的角平分线.
(1)使用直尺和圆规,依作法补全图形(保留作图痕迹);
(2)完成下面的证明
证明:∵OB是⊙A直径,P点在⊙A上
∴∠OPB=90°( )(填依据)
∴OP⊥BC
∵OB=OC
∴OP平分∠MON( )(填依据)
30.(2021·北京·人大附中九年级期中)如图,A、B是⊙O上的两点,C是弧AB中点.求证:∠A=∠B.
参考答案
1.C
【分析】在等腰三角形OCB中,求得两个底角∠OBC、∠OCB的度数,然后根据三角形的内角和求得∠COB=100°;最后由圆周角定理求得∠A的度数并作出选择.
【详解】解:在中,,
;
,,
;
又,
,
故选:.
【点睛】本题考查了圆周角定理,等腰三角形的性质,三角形的内角和定理,熟练掌握圆周角定理是解题的关键.
2.B
【分析】由AB为圆的直径,得到∠C=90°,在Rt△ABC中,由勾股定理得到,进而列出△ABC面积的表达式即可求解.
【详解】解:∵AB为圆的直径,
∴∠C=90°,
,,由勾股定理可知:
∴,
∴
此函数不是二次函数,也不是一次函数,
排除选项A和选项C,
为定值,当时,面积最大,
此时,
即时,最大,故排除,选.
故选:.
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象,根据题意列出函数表达式是解决问题的关键.
3.D
【分析】观察图象可得:y的最大值为4,即BC的最大值为4,当x=0时,y=2,即AB=2,如图,点C′是的中点,连接OC′交AB于点D,则OC′⊥AB,AD=BD=,∠AOB=2∠BOC′,利用三角函数定义可得∠BOC′=60°,即可求得答案.
【详解】解:由函数图象可得:y的最大值为4,即BC的最大值为4,
∴⊙O的直径为4,OA=OB=2,
观察图象,可得当x=0时,y=2,
∴AB=2,
如图,点C′是的中点,连接OC′交AB于点D,
∴OC′⊥AB,AD=BD=,∠AOB=2∠BOC′,
∴sin∠BOC′==,
∴∠BOC′=60°,
∴∠AOB=120°,
∵OB=OC′,∠BOC′=60°,
∴△BOC′是等边三角形,
∴BC′=OB=2,
即点C运动到弧AB的中点时所对应的函数值为2.
故选:D
【点睛】本题主要考查了垂径定理,锐角三角函数,等边三角形的判定和性质,熟练掌握相关知识点是解题的关键.
4.C
【分析】由OB=OC,根据等边对等角的性质,可求得∠OBC的度数,继而求得∠BOC的度数,然后由在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半,即可求得答案.
【详解】解:∵OB=OC,
∴∠OBC=∠OCB=40°,
∴∠BOC=180°−∠OBC−∠OCB=100°,
∴∠A=∠BOC=50°.
故选:C.
【点睛】本题考查了圆周角定理以及等腰三角形的性质.注意在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.
5.C
【分析】由垂径定理可得出BC的长,连接,在中,可用半径表示出的长,进而可根据勾股定理求出轮子的半径即可.
【详解】解:如图,设圆心为点,连接,
∵,AB=40cm,
∴,,
∵CD=10cm,
∴,
∵在中,,
∴,
解得:cm,
∴轮子的半径为25cm.
故选:C.
【点睛】本题考查垂径定理,勾股定理等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题.
6.C
【分析】首先在优弧AC上取点D,连接AD,CD,首先求出∠AOC,然后由圆周角定理,求得∠ADC的度数,再由圆的内接四边形的性质,可求得∠B的度数.
【详解】解:如图,在优弧AC上取点D,连接AD,CD,
∵OA=OC,
∴∠OAC=∠OCA=40°,
∴∠AOC=180°-40°×2=100°,
∴∠ADC=∠AOC=50°,
∴∠B=180°-50°=130°,
故选C.
【点睛】此题考查了圆周角定理以及圆的内接四边形的性质.此题难度不大,注意掌握辅助线的作法,注意掌握数形结合思想的应用.
7.D
【分析】由AB为⊙O的直径,根据直径所对的圆周角是直角,可求得∠ACB=90°,又由∠D=55°,得出∠B的度数,从而计算出∠CAB,根据同弧所对的圆心角是圆周角度数的2倍进行求解即可.
【详解】解:∵AB为⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∵∠D=55°,
∴∠B=∠D=55°(同弧所对的圆周角相等)
∴∠BAC=90°-∠B=35°,
∴∠BOC=2∠BAC =70°.(同弧所对的圆心角是圆周角的2倍)
故选:D.
【点睛】本题主要考查了圆周角定理,圆周角与圆心角之间的关系,解题的关键是理清角之间的关系.
8.C
【分析】以点O为圆心,OA长为半径作圆.再根据圆周角定理及其推论逐项判断即可.
【详解】如图,以点O为圆心,OA长为半径作圆.由题意可知:
OA=OB=OC=OD.即点A、B、C、D都在圆O上.
A .由图可知AB为经过圆心O的直径,根据圆周角定理推论可知.故A不符合题意.
B.,所以根据圆周角定理可知.故B不符合题意.
C.当时,,所以此时AC不平分.故C符合题意.
D.根据圆周角定理推论可知,.故D不符合题意.
故选:C.
【点睛】本题考查圆周角定理及其推论,充分理解圆周角定理是解答本题的关键.
9. ①, ②或
【分析】①根据P在直线x=4上画图1,作△APB的外接圆C,连接AC,BC,可知:AB=6,⊙C的半径为3,最后计算PD的长可得点P的坐标;
②同理作△APB的外接圆C,计算OP和OP1的长,可得点P的坐标,注意不要丢解.
【详解】解:①如图1,作△APB的外接圆,设圆心为C,连接AC,BC,
∵点A与点B的坐标分别是(1,0)与(7,0),
∴AB=7−1=6,
∵∠APB=45°,
∴∠ACB=90°,
∵AC=BC,
∴△ABC是等腰直角三角形,AC2+BC2=AB2
∴AC=BC=3,
∴PC=3,
∵点P在直线x=4上,
∴AD=4−1=3,
∴AD=BD,
∵CD⊥AB,
∴CD=AD=3,
∴P(4,3+3);
故答案为:(4,3+3);
②如图2,同理作△APB的外接圆,设圆心为C,过C作CD⊥x轴于D,作CE⊥OP于E,连接PC,P1C,
在y轴上存在∠APB=∠AP1B=45°,
则①知:CD=OE=3,OD=CE=4,PC=3,
由勾股定理得:PE=,
∴PO=3+,
同理得:OP1=3−,
∴P(0,3±),
同理在y轴的负半轴上,存在符合条件的点P的坐标为(0,−3±),
综上,点P的坐标为或.
故答案为:或.
【点睛】此题主要考查坐标和图形的性质,圆周角定理,勾股定理等知识,作△APB的外接圆是本题的关键.
10.71°
【分析】根据圆周角定理得到∠B=71°,再根据圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角即可得解.
【详解】解:∵∠AOC=142°,
∴∠B=∠AOC=71°,
∵四边形ABCD内接于⊙O,
∴∠CDM=∠B=71°,
故答案为:71°.
【点睛】此题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理,熟记圆内接四边形的性质、圆周角定理是解题的关键.
11.5
【分析】根据垂径定理求出AC,根据勾股定理列式计算即可.
【详解】解答:解:设⊙O的半径为R,则OC=R﹣2,
∵OD⊥AB,
∴AC=AB=4,
在Rt△AOC中,OA2=OC2+AC2,即R2=(R﹣2)2+42,
解得,R=5,
故答案为:5.
【点睛】本题考查的是垂径定理、勾股定理,掌握垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧是解题的关键.
12.
【分析】先利用圆的内接四边形的性质求解 再利用圆周角定理可得答案.
【详解】解: 四边形ABCD内接于⊙O,∠BCD=120°,
故答案为:
【点睛】本题考查的是圆的内接四边形的性质,圆周角定理,掌握“圆的内接四边形的对角互补,同弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半”是解题的关键.
13.125°##125度
【分析】根据圆周角等于同弧所对圆心角的一半求出∠BCD的度数,再根据邻补角的定义求出答案.
【详解】解:∵∠BOD=110°,
∴∠,
∴∠DCE=,
故答案为:125°.
【点睛】此题考查圆周角定理:圆周角等于同弧所对圆心角的一半,熟记定理是解题的关键.
14.①②④
【分析】先证明四边形CMND是矩形,再证明Rt△OMC≌Rt△OND(HL),可得结论①②正确,证明AB=MN,可得③错误;证明△OBN是等边三角形,可得④正确,从而可得答案.
【详解】解:连接OM、ON,AM如图, ∵MC⊥AB、ND⊥AB,
∴∠OCM=∠ODN=90°,
∵,
∴∠CMN+∠MCD=180°,
∴∠CMN=90°,
∴四边形CMND是矩形,
∴CM=DN,
在Rt△OMC和Rt△OND中,,
∴Rt△OMC≌Rt△OND(HL),
∴OC=OD,∠COM=∠DON,
∴ ,
故②正确,
∵OA=OB,OC=OD, ∴AC=BD,故①正确,
当四边形MCDN是正方形时,CM=2OC,
∴OM=OC,
∴AB=2OM=OC=MN,
故③错误,
若M是的中点,连接BN,而
∴∠AOM=∠MON=∠BON=60°,
∵ON=OB,
∴△ONB是等边三角形,
∵ND⊥OB, ∴OD=DB,故④正确.
故答案为:①②④.
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质,勾股定理的应用,直角三角形全等的判定与性质,矩形的判定与性质,正方形的性质,圆心角、弧、弦的关系;掌握“在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等”是解题的关键.
15.70°或110°
【分析】根据圆周角定理计算即可.
【详解】如图,当角的顶点在优弧上时,∠ADB=∠AOB=70°;当角的顶点在劣弧上时,∠ACB=180°-∠ADB=110°;
故答案为:70°或110°.
【点睛】本题考查了圆周角定理,熟练掌握定理,并灵活分类计算是解题的关键.
16.12
【分析】先计算出圆的底端距离地面的距离为12,从而得到圆的底部到弦的距离为22,从而计算出弦所对的圆心角,用弧长公式计算劣弧的长,周长减去劣弧的长得到最佳观赏路径长,除以运动速度即可.
【详解】如图所示,根据题意,得OC=44,CD=AD-AC=100-88=12,ED=34,
∴CE=ED-CD=34-12=22,
∴OE=OC-CE=44-22=22,
在直角三角形OEF中,sin∠OFE=,
∴∠OFE=30°,
∴∠FOE=60°,
∴∠FOB=120°,
∴,
∵圆转动的速度为,
∴最佳观赏时长为(分钟),
故答案为:12.
【点睛】本题考查了垂径定理,弧长公式,特殊角的三角函数,熟练掌握弧长公式,灵活运用特殊角的三角函数是解题的关键.
17.等腰三角形三线合一的性质
【分析】连接OA、OB,则△OAB是等腰三角形,依据等腰三角形的性质判断.
【详解】解:连接OA、OB,则△OAB是等腰三角形,当MN⊥AB时,一定有MB过AB的中点,依据三线合一的性质可得.
故答案是:等腰三角形三线合一的性质.
【点睛】本题考查了垂径定理,正确转化为等腰三角形的性质解决问题是关键.
18.
【分析】连接,根据圆周角定理求得,进而根据圆的内接四边形对角互补,即可求得
【详解】如图,连接,
故答案为:
【点睛】本题考查了圆周角定理,圆的内接四边形对角互补,掌握以上知识是解题的关键.
19.
【分析】先利用垂径定理得到,再根据圆周角定理得到,然后根据含30度的直角三角形三边的关系得到的长.
【详解】解:,
,
,则∠EDO=30°
在中,,
故答案是:.
【点睛】本题考查了圆周角定理、垂径定理,解题的关键是掌握在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.
20.
【分析】连接AB、BC,根据题意得AB=BC=CD,再根据三角形的三边关系,即可求解.
【详解】解:如图,连接AB、BC,
∵弧AB=弧BC=弧CD,
∴AB=BC=CD,
∵ ,
∴.
故答案为:
【点睛】本题主要考查了圆的弧、弦,的关系,三角形的三边关系,熟练掌握同圆内,等弧所对的弦相等是解题的关键.
21.26°
【分析】根据垂径定理可得,再根据圆周角定理及其推论求得∠BOC=2∠ADC,进而可求得∠OBC的度数.
【详解】解:∵在⊙O中,OC⊥AB,
∴,∠BOC+∠OBA=90°,
∴∠BOC=2∠ADC=64°,
∴∠OBA=90°﹣∠BOC=90°﹣64°=26°,
故答案为:26°.
【点睛】本题考查垂径定理、圆周角定理及其推论、直角三角形的两锐角互余,熟练掌握垂径定理和圆周角定理及其推论是解答的关键.
22.(1)∠AEC=135°;
(2)①BE=CE+EA,理由见解析;②4
【分析】(1)由等腰直角三角形的性质得∠CDA=90°,CD=DA,再由等边三角形的性质得DE=DA,∠DEA=∠EDA=60°,然后求出∠DEC=75°,即可求解;
(2)①过点C作CH⊥CE交AE的延长线于点H,证△ACH≌△BCE(SAS),得BE=AH=HE+EA=CE+AE;
②取AB的中点O,连接OC,由勾股定理得CF=5,再证A、B、C、E四点共圆,由圆周角定理得AB是圆的直径,AB的中点O是圆心,过点O作ON⊥CF于N,延长ON交圆O于点E,此时点E到CF的距离最大,△CEF面积的面积最大,然后由三角形面积求出ON=,则EN=OE-ON=,即可求解.
(1)
解:∵∠BCA=90°,BC=AC,点D是AB的中点,
∴∠CDA=90°,CD=AB=DA,
∵△ADE是等边三角形,
∴DE=DA,∠DEA=∠EDA=60°,
∴DC=DE,∠CDE=∠CDA-∠EDA=90°-60°=30°,
∴∠DEC=(180°-∠CDE)=×(180°-30°)=75°,
∴∠AEC=∠DEC+∠DEA=75°+60°=135°;
(2)
解:①线段BE,CE,EA之间的数量关系为:BE=CE+EA,理由如下:
过点C作CH⊥CE交AE的延长线于点H,如图2所示:
则∠CEH=180°-∠AEC=180°-135°=45°,
∴△ECH是等腰直角三角形,
∴CH=CE,HE=CE,
∵∠BCA=∠ECH=90°,
∴∠ACH=∠BCE,
在△ACH和△BCE中,
,
∴△ACH≌△BCE(SAS),
∴BE=AH=HE+EA=CE+AE;
②取AB的中点O,连接OC,如图3所示:
∵∠BCA=90°,BC=AC,
∴△ACB是等腰直角三角形,
∴∠ABC=45°,
∵O是AB的中点,
∴OC⊥AB,OC=OA=AB=(AF+BF)=×(1+7)=4,
∴OF=OA-AF=4-1=3,
在Rt△COF中,由勾股定理得:CF==5,
∵CF是定值,
∴点E到CF的距离最大时,△CEF面积的面积最大,
∵∠AEC=135°,
∴∠ABC+∠AEC=180°,
∴A、B、C、E四点共圆,
∵∠BCA=90°,
∴AB是圆的直径,AB的中点O是圆心,
过点O作ON⊥CF于N,延长ON交圆O于点E,
此时点E到CF的距离最大,△CEF面积的面积最大,
∵S△OCF=OC•OF=CF•ON,
∴,
∵OE=OC=4,
∴EN=OE-ON=4-=,
∴△CEF面积的面积最大值为:CF•EN=×5×=4.
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质、四点共圆、圆周角定理、垂径定理、勾股定理、三角形面积等知识,本题综合性强,熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质和圆周角定理,证明△ACH≌△BCE是解题的关键.
23.(1)见解析;
(2)⊙O的半径为 cm
【分析】(1)由等腰三角形的性质与圆周角定理,易得∠BCO=∠B=∠D;
(2)由垂径定理可求得CE与DE的长,然后证得△BCE∽△DAE,再由相似三角形的对应边成比例,求得AE的长,继而求得直径与半径.
(1)
证明:∵OB=OC,
∴∠BCO=∠B,
∵∠B=∠D,
∴∠BCO=∠D;
(2)
解:∵AB是⊙O的直径,CD⊥AB,
∴CE=DE=CD=×6=3,
∵∠B=∠D,∠BEC=∠DEA,
∴△BCE∽△DAE,
∴AE:CE=DE:BE,
∴AE:3=3:8,
解得:AE=,
∴AB=AE+BE==,
∴⊙O的半径为(cm).
【点睛】本题考查了圆周角定理、垂径定理、相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质.注意在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等.证得△BCE∽△DAE是关键.
24.(1)见解析;(2)2.
【分析】(1)先根据垂径定理得到,然后利用圆周角定理得到结论;
(2)连接OB,如图,利用垂径定理得到BE=CE=,再利用圆周角定理得到∠BOE=60°,然后利用含30度的直角三角形三边的关系求OB的即可.
【详解】解答:(1)证明:∵BC⊥AD,
∴
∴∠BAD=∠CAD;
(2)解:连接OB,如图,
∵BC⊥AD,
∴BE=CE=BC=×2=,
∵∠BOE=2∠BAD=2×30°=60°,
在Rt△BOE中,∵OE=BE=×=1,
∴OB=2OE=2,
即⊙O的半径为2.
【点睛】本题考查了圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.也考查了垂径定理.
25.(1)见解析;(2)
【分析】(1)根据垂径定理和圆的性质,同弧的圆周角相等,又因为△AOC是等腰三角形,即可求证.
(2)根据勾股定理,求出各边之间的关系,即可确定半径.
【详解】(1)证明:
∵AB是⊙O的直径,CD⊥AB,
=.
∴∠A=∠2.
又∵OA=OC,
∴∠1=∠A.
∴∠1=∠2.
(2)∵AB为⊙O的直径,弦CD⊥AB,CD=6
∴∠CEO=90º,CE=ED=3.
设⊙O的半径是R,EB=2,则OE=R-2
∵在Rt△OEC中,
解得:
∴⊙O的半径是.
【点睛】本题考查垂弦定理、圆心角、圆周角的性质,关键是熟练运用垂径定理和圆周角的性质进行推理证明和计算.
26.(1)见解析;(2)60;120;同圆中,相等的圆心角所对的弦也相等
【分析】(1)利用画圆的方法作出C、D两点,从而得到△ACD;
(2)在⊙O中,连接OC,OD,BC,BD,利用等边三角形的判定方法得到△OBC为等边三角形,则∠BOC=60°,接着分别计算出∠COD=∠AOC=∠AOD=120°.然后根据圆心角、弧、弦的关系得到AC=CD=AD,从而判断△ACD是等边三角形.
【详解】(1)解:如图,△ACD为所作;
(2)证明:在⊙O中,连接OC,OD,BC,BD,
∵OC=OB=BC,
∴△OBC为等边三角形.
∴∠BOC=60°.
∴∠AOC=180°−∠BOC=120°.
同理∠AOD=120°,
∴∠COD=∠AOC=∠AOD=120°.
∴AC=CD=AD(在同圆中,相等的圆心角所对的弦相等),
∴△ACD是等边三角形.
故答案为:60;120;同圆中,相等的圆心角所对的弦也相等.
【点睛】本题考查了作图−复杂作图:复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图,一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质,结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图,逐步操作.
27.13
【分析】设OB=x,则OE=x-1,在直角三角形OBE中,根据勾股定理计算即可.
【详解】设OB=x,则OE=x-1,
∵CD 为⊙O 的直径, AB⊥CD ,AB=10,
∴AE=EB=5,
在直角三角形OBE中,根据勾股定理得:
,
解得x=13,
故圆的半径为13.
【点睛】本题考查了垂径定理,勾股定理,熟练掌握垂径定理,灵活运用勾股定理是解题的关键.
28.(1)见解析;(2)6
【分析】(1)根据垂径定理可知,,进而可得,由可得,进而即可证明;
(2)由是直径,可得,根据,可得,进而可得,根据含30度角的直角三角形的性质即可求得,进而求得的长.
【详解】(1)
,
,
(2)是直径
又
在中,
【点睛】本题考查了垂径定理,等弧所对的圆周角相等,垂直平分线的定理,等边对等角,含30度角的直角三角形的性质,直径所对的圆周角是直角,求得是解题的关键.
29.(1)见解析;(2)直径所对的圆周角为;在等腰三角形中顶角的角平分线,底边的中线,底边的高线,三条线互相重合
【分析】(1)按照题中的作法,补全作图即可;
(2)根据圆和等腰三角形的有关性质,结合上下文,求解即可.
【详解】解:(1)作图如下:
(2)∵OB是⊙A直径,P点在⊙A上
∴∠OPB=90°(直径所对的圆周角为)
∴OP⊥BC
∵OB=OC
∴OP平分∠MON(在等腰三角形中顶角的角平分线,底边的中线,底边的高线,三条线互相重合)
故答案为:直径所对的圆周角为;在等腰三角形中顶角的角平分线,底边的中线,底边的高线,三条线互相重合
【点睛】此题考查了尺规作图,圆的有关性质和等腰三角形的性质,解题的关键是熟练掌握圆和等腰三角形的有关性质.
30.见解析
【分析】连接,通过证明即可得结论.
【详解】证明:如图,连接,
是的中点,
,
,
在和中,
,
,
.
【点睛】本题考查弧、弦、圆心角的关系,全等三角形的判定和性质等知识,解题的关键是利用全等三角形的判定和性质解决问题,属于中考常考题型.
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