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    2021北京重点校初三(上)期中数学汇编:圆的性质1 试卷
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    2021北京重点校初三(上)期中数学汇编:圆的性质1

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    这是一份2021北京重点校初三(上)期中数学汇编:圆的性质1,共28页。试卷主要包含了单选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    2021北京重点校初三(上)期中数学汇编

    圆的性质1

    一、单选题

    1.(2021·北京市回民学校九年级期中)如图,的外接圆,,则的度数是(     

    A B C D

    2.(2021·北京市回民学校九年级期中)如图,点是以点为圆心,为直径的半圆上的动点(点不与点重合),.设弦的长为的面积为,则下列图象中,能表示的函数关系的图象大致是(     

    A B C D

    3.(2021·北京师大附中九年级期中)如图所示,点CO上一动点,它从点A开始逆时针旋转一周又回到点A,点C所走过的路程为xBC的长为y,根据函数图象所提供的信息,AOB的度数和点C运动到弧AB的中点时所对应的函数值分别是(  )

    A150° B150°2 C120° D120°2

    4.(2021·北京市回民学校九年级期中)如图,OABC的外接圆,OCB40°,则A的度数是(    

    A40 B80 C50 D45

    5.(2021·北京·人大附中九年级期中)数学活动课上,同学们想测出一个残损轮子的半径,小宇的解决方案如下:如图,在轮子圆弧上任取两点AB,连接AB,再作出AB的垂直平分线,交ABC点,交弧ABD点,测出ABCD的长度,即可计算得出轮子的半径,现测出AB40cmCD10cm,则轮子的半径为(   

    A50cm B30cm C25cm D20cm

    6.(2021·北京四中九年级期中)如图,点ABC均在上,当时,的度数是(   

    A B C D

    7.(2021·北京八十中九年级期中)如图,的直径,上两点,若,则的度数是(    

    A B C D

    8.(2021·北京市第一六一中学九年级期中)如图,点O为线段AB的中点,点BCD到点O的距离相等,连接ACBD.则下面结论不一定成立的是(   

    A∠ACB=90° B∠BDC=∠BAC

    CAC平分∠BAD D∠BCD+∠BAD=180°

    二、填空题

    9.(2021·北京·北师大实验中学九年级期中)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A与点B的坐标分别是(10)与(70).对于坐标平面内的一动点P,给出如下定义:APB45°,则称点P为线段AB等角点.”

    若点P为线段AB在第一象限的等角点,且在直线x4上,则点P的坐标为 __________________

    若点P为线段AB等角点,并且在y轴上,则点P的坐标为 __________________

    10.(2021·北京·北师大实验中学九年级期中)如图,四边形ABCD内接于O,点MAD的延长线上,AOC142°,则CDM_____

    11.(2021·北京师大附中九年级期中)如图,ABO的一条弦,ODAB于点C,交O于点D,连接OA.如果AB8CD2,那么O的半径为_____

    12.(2021·北京八十中九年级期中)如图,四边形ABCD内接于OBCD120°,则BOD___°

    13.(2021·北京市回民学校九年级期中)如图,四边形ABCD内接于OBOD110°,则DCE__________

    14.(2021·北京八十中九年级期中)如图,ABO的直径,弦,分别过MNAB的垂线,垂足为CD,以下结论

    ACBD

    AMBN

    若四边形MCDN是正方形,则MNAB

    M为弧AN的中点,则DOB中点.

    所有正确结论的序号是 ___

    15.(2021·北京四中九年级期中)在O 中,弦 AB 所对圆心角为 140°,则弦AB 所对的圆周角的度数是___________

    16.(2021·北京四中九年级期中)京西某游乐园的摩天轮采用了国内首创的横梁结构,风格更加简约.如图,摩天轮直径 88 米,最高点 A 距离地面 100 米,匀速运行一圈的时间是 18 分钟.由于受到周边建筑物的影响,乘客与地面的距离超过 34 米时,可视为最佳观赏位置,在运行的一圈里最佳观赏时长为___________分钟.

    17.(2021·北京五十五中九年级期中)在进行垂径定理的证明教学中,老师设计了如下活动:先让同学们在圆中作了一条直径MN,然后任意作了一条弦(非直径).如图1,接下来老师提出问题:在保证AB长度不变的情况下,如何能找到它的中点?在同学们思考作图验证后,小华说了自己的一种想法:只要将弦AB与直径MN保持垂直关系,如图2,它们的交点就是AB的中点,请你说出小华此想法的依据是__

    18.(2021·北京·人大附中九年级期中)如图,AB是半圆O的直径,CD点在半圆O上,若BOC80°,则BDC_______

    19.(2021·北京·景山学校九年级期中)如图,ABO的直径,弦CDABE,若ABC30°OE,则OD长为 ___

    20.(2021·北京·人大附中九年级期中)如图,在O中,弧AB=弧BC=弧CD,连接ACCD,则AC______2CD(填

    21.(2021·北京八中九年级期中)如图,在O中,OCABADC=32°,则OBA的度数是__________

    三、解答题

    22.(2021·北京·北师大实验中学九年级期中)在RtABC中,BCA=90°BC=AC,点EABC外一动点(点B,点E位于AC异侧),连接CEAE

    (1)如图1,点DAB的中点,连接DCDE,当ADE为等边三角形时,求AEC的度数;

    (2)AEC=135°时,

    如图2,连接BE,用等式表示线段BECEEA之间的数量关系,并证明;

    如图3,点F为线段AB上一点,AF=1BF=7,连接CFEF,直接写出CEF面积的最大值.

    23.(2021·北京·北师大实验中学九年级期中)如图,ABO的直径,CDO的一条弦,且CDAB于点E

    (1)求证:∠BCOD

    (2)BE8cmCD6cm,求O的半径.

    24.(2021·北京师大附中九年级期中)如图,点ABCO上的点,ADO的直径,ADBC于点E

    1)求证:BADCAD

    2)若BAD30°BC2,求O的半径.

    25.(2021·北京市第一六一中学九年级期中)如图,ABO的直径,CDO的一条弦,且CDABE,连接ACOCBC

    1)求证:∠1=∠2

    2)若,求O的半径的长.

    26.(2021·北京十五中九年级期中)下面是小明设计作已知圆的内接正三角形的尺作图过程.

    已知:O 求作:O的内接正三角形.

    作法:

    如图,作直径AB

    B为圆心,OB为半径作弧,与O交于CD两点;

    连接ACADCD.所以ACD就是所求的三角形.

    根据小明设计的尺作图过程,

    1)使用直尺和圆规,补全图形;(保留作图痕迹)

    2)完成下面的证明:

    证明:在O中,连接OCODBCBD

    OCOBBC

    ∴△OBC为等边三角形.

    ∴∠BOC     °

    ∴∠AOC     °

    同理AOD120°

    ∴∠CODAOCAOD120°

    ACCDAD                   )(填推理的依据).

    ∴△ACD是等边三角形.

    27.(2021·北京四中九年级期中)如图,已知 CD O 的直径,点 AB O 上,ABCD 于点 E,连接 OBCE=1AB=10 O 的半径.

    28.(2021·北京·人大附中九年级期中)如图,ABO的直径,CO上一点,连接BC,过O点作ODBCD点,交弧BCE点,连接AEBCF点.

    1)如图1,求证:BAC2∠E

    2)如图2,连接OF,若OFABDF1,求AE的长.

    29.(2021·北京·人大附中九年级期中)下图是小宇设计作已知角的平分线的尺作图过程.

    已知:MON

    求作:射线OP,使得OP平分MON

    作法:如图,

    在射线OM上任取一点A,以A为圆心,OA长为半径作圆,交OA的延长线于B点;

    O为圆心,OB长为半径作弧,交射线ONC点;

    连接BC,交AP点,作射线OP

    射线OP就是要求作的角平分线.

    1)使用直尺和圆规,依作法补全图形(保留作图痕迹);

    2)完成下面的证明

    证明:OBA直径,P点在A

    ∴∠OPB90°                         )(填依据)

    OPBC

    OBOC

    OP平分MON                         )(填依据)

    30.(2021·北京·人大附中九年级期中)如图,ABO上的两点,C是弧AB中点.求证:AB


    参考答案

    1C

    【分析】在等腰三角形OCB中,求得两个底角OBCOCB的度数,然后根据三角形的内角和求得COB=100°;最后由圆周角定理求得A的度数并作出选择.

    【详解】解:在中,

    故选:

    【点睛】本题考查了圆周角定理,等腰三角形的性质,三角形的内角和定理,熟练掌握圆周角定理是解题的关键.

    2B

    【分析】由AB为圆的直径,得到C=90°,在RtABC中,由勾股定理得到,进而列出ABC面积的表达式即可求解.

    【详解】解:AB为圆的直径,

    ∴∠C=90°

    ,由勾股定理可知:

    此函数不是二次函数,也不是一次函数,

    排除选项A和选项C

    为定值,当时,面积最大,

    此时

    时,最大,故排除,选

    故选:

    【点睛】本题考查了动点问题的函数图象,根据题意列出函数表达式是解决问题的关键.

    3D

    【分析】观察图象可得:y的最大值为4,即BC的最大值为4,当x0时,y2,即AB2,如图,点C的中点,连接OCAB于点D,则OC′⊥ABADBDAOB2∠BOC,利用三角函数定义可得BOC60°,即可求得答案.

    【详解】解:由函数图象可得:y的最大值为4,即BC的最大值为4

    ∴⊙O的直径为4OAOB2

    观察图象,可得当x0时,y2

    AB2

    如图,点C的中点,连接OCAB于点D

    OC′⊥ABADBDAOB2∠BOC

    sin∠BOC

    ∴∠BOC60°

    ∴∠AOB120°

    OBOCBOC60°

    ∴△BOC是等边三角形,

    BCOB2

    即点C运动到弧AB的中点时所对应的函数值为2

    故选:D

    【点睛】本题主要考查了垂径定理,锐角三角函数,等边三角形的判定和性质,熟练掌握相关知识点是解题的关键.

    4C

    【分析】由OB=OC,根据等边对等角的性质,可求得OBC的度数,继而求得BOC的度数,然后由在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半,即可求得答案.

    【详解】解:OB=OC

    ∴∠OBC=OCB=40°

    ∴∠BOC=180°−OBCOCB=100°

    ∴∠A=BOC=50°.

    故选:C.

    【点睛】本题考查了圆周角定理以及等腰三角形的性质.注意在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.

    5C

    【分析】由垂径定理可得出BC的长,连接,在中,可用半径表示出的长,进而可根据勾股定理求出轮子的半径即可.

    【详解】解:如图,设圆心为点,连接

    AB40cm

    CD10cm

    中,

    解得:cm

    轮子的半径为25cm

    故选:C

    【点睛】本题考查垂径定理,勾股定理等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题.

    6C

    【分析】首先在优弧AC上取点D,连接ADCD,首先求出AOC,然后由圆周角定理,求得ADC的度数,再由圆的内接四边形的性质,可求得B的度数.

    【详解】解:如图,在优弧AC上取点D,连接ADCD

    OA=OC

    ∴∠OAC=∠OCA=40°

    ∴∠AOC=180°-40°×2=100°

    ∴∠ADC=AOC=50°

    ∴∠B=180°-50°=130°

    故选C

    【点睛】此题考查了圆周角定理以及圆的内接四边形的性质.此题难度不大,注意掌握辅助线的作法,注意掌握数形结合思想的应用.

    7D

    【分析】由ABO的直径,根据直径所对的圆周角是直角,可求得ACB=90°,又由D=55°,得出B的度数,从而计算出CAB,根据同弧所对的圆心角是圆周角度数的2倍进行求解即可.

    【详解】解:ABO的直径,

    ∴∠ACB=90°

    ∵∠D=55°

    ∴∠B=∠D=55°(同弧所对的圆周角相等)

    ∴∠BAC=90°-∠B=35°

    ∴∠BOC=2∠BAC =70°(同弧所对的圆心角是圆周角的2)

    故选:D

    【点睛】本题主要考查了圆周角定理,圆周角与圆心角之间的关系,解题的关键是理清角之间的关系.

    8C

    【分析】以点O为圆心,OA长为半径作圆.再根据圆周角定理及其推论逐项判断即可.

    【详解】如图,以点O为圆心,OA长为半径作圆.由题意可知:

    OA=OB=OC=OD.即点ABCD都在圆O上.

    A .由图可知AB为经过圆心O的直径,根据圆周角定理推论可知.故A不符合题意.

    B,所以根据圆周角定理可知.故B不符合题意.

    C.当时,,所以此时AC不平分.故C符合题意.

    D.根据圆周角定理推论可知,.故D不符合题意.

    故选:C

    【点睛】本题考查圆周角定理及其推论,充分理解圆周角定理是解答本题的关键.

    9         

    【分析】根据P在直线x4上画图1,作APB的外接圆C,连接ACBC,可知:AB6C的半径为3,最后计算PD的长可得点P的坐标;

    同理作APB的外接圆C,计算OPOP1的长,可得点P的坐标,注意不要丢解.

    【详解】解:如图1,作APB的外接圆,设圆心为C,连接ACBC

    A与点B的坐标分别是(10)与(70),

    AB7−16

    ∵∠APB45°

    ∴∠ACB90°

    ACBC

    ∴△ABC是等腰直角三角形,AC2+BC2AB2

    ACBC3

    PC3

    P在直线x4上,

    AD4−13

    ADBD

    CDAB

    CDAD3

    P433);

    故答案为:(433);

    如图2,同理作APB的外接圆,设圆心为C,过CCDx轴于D,作CEOPE,连接PCP1C

    y轴上存在APBAP1B45°

    知:CDOE3ODCE4PC3

    由勾股定理得:PE

    PO3

    同理得:OP13−

    P0),

    同理在y轴的负半轴上,存在符合条件的点P的坐标为(0−3±),

    综上,点P的坐标为

    故答案为:

    【点睛】此题主要考查坐标和图形的性质,圆周角定理,勾股定理等知识,作APB的外接圆是本题的关键.

    1071°

    【分析】根据圆周角定理得到B71°,再根据圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角即可得解.

    【详解】解:∵∠AOC142°

    ∴∠BAOC71°

    四边形ABCD内接于O

    ∴∠CDMB71°

    故答案为:71°

    【点睛】此题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理,熟记圆内接四边形的性质、圆周角定理是解题的关键.

    115

    【分析】根据垂径定理求出AC,根据勾股定理列式计算即可.

    【详解】解答:解:设O的半径为R,则OCR2

    ODAB

    ACAB4

    RtAOC中,OA2OC2+AC2,即R2=(R22+42

    解得,R5

    故答案为:5

    【点睛】本题考查的是垂径定理、勾股定理,掌握垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧是解题的关键.

    12

    【分析】先利用圆的内接四边形的性质求解 再利用圆周角定理可得答案.

    【详解】解: 四边形ABCD内接于OBCD120°

    故答案为:

    【点睛】本题考查的是圆的内接四边形的性质,圆周角定理,掌握圆的内接四边形的对角互补,同弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半是解题的关键.

    13125°##125

    【分析】根据圆周角等于同弧所对圆心角的一半求出BCD的度数,再根据补角的定义求出答案.

    【详解】解:∵∠BOD110°

    ∴∠

    ∴∠DCE

    故答案为:125°

    【点睛】此题考查圆周角定理:圆周角等于同弧所对圆心角的一半,熟记定理是解题的关键.

    14①②④

    【分析】先证明四边形CMND是矩形,再证明RtOMCRtONDHL),可得结论①②正确,证明AB=MN,可得错误;证明OBN是等边三角形,可得正确,从而可得答案.

    【详解】解:连接OMONAM如图, MCABNDAB

    ∴∠OCM=∠ODN=90°

    ∴∠CMN+∠MCD=180°

    ∴∠CMN=90°

    四边形CMND是矩形,

     CM=DN

    RtOMCRtOND中,

    RtOMCRtONDHL),

    OC=ODCOM=∠DON

    正确,

    OA=OBOC=OD AC=BD,故正确,

    当四边形MCDN是正方形时,CM=2OC

     

    OM=OC

    AB=2OM=OC=MN

    错误,

    M的中点,连接BN,而 

    ∴∠AOM=∠MON=∠BON=60°

    ON=OB

    ∴△ONB是等边三角形,

    NDOB OD=DB,故正确.

    故答案为:①②④

    【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质,勾股定理的应用,直角三角形全等的判定与性质,矩形的判定与性质,正方形的性质,圆心角、弧、弦的关系;掌握在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等是解题的关键.

    1570°110°

    【分析】根据圆周角定理计算即可.

    【详解】如图,当角的顶点在优弧上时,ADB=AOB=70°;当角的顶点在劣弧上时,ACB=180°-∠ADB=110°

    故答案为:70°110°

    【点睛】本题考查了圆周角定理,熟练掌握定理,并灵活分类计算是解题的关键.

    1612

    【分析】先计算出圆的底端距离地面的距离为12,从而得到圆的底部到弦的距离为22,从而计算出弦所对的圆心角,用弧长公式计算劣弧的长,周长减去劣弧的长得到最佳观赏路径长,除以运动速度即可.

    【详解】如图所示,根据题意,得OC=44CD=AD-AC=100-88=12ED=34

    CE=ED-CD=34-12=22

    OE=OC-CE=44-22=22

    在直角三角形OEF中,sinOFE=

    ∴∠OFE=30°

    ∴∠FOE=60°

    ∴∠FOB=120°

    圆转动的速度为

    最佳观赏时长为(分钟),

    故答案为:12

    【点睛】本题考查了垂径定理,弧长公式,特殊角的三角函数,熟练掌握弧长公式,灵活运用特殊角的三角函数是解题的关键.

    17.等腰三角形三线合一的性质

    【分析】连接OAOB,则OAB是等腰三角形,依据等腰三角形的性质判断.

    【详解】解:连接OAOB,则OAB是等腰三角形,当MNAB时,一定有MBAB的中点,依据三线合一的性质可得.

    故答案是:等腰三角形三线合一的性质.

    【点睛】本题考查了垂径定理,正确转化为等腰三角形的性质解决问题是关键.

    18

    【分析】连接,根据圆周角定理求得,进而根据圆的内接四边形对角互补,即可求得

    【详解】如图,连接,

    故答案为:

    【点睛】本题考查了圆周角定理,圆的内接四边形对角互补,掌握以上知识是解题的关键.

    19

    【分析】先利用垂径定理得到,再根据圆周角定理得到,然后根据含30度的直角三角形三边的关系得到的长.

    【详解】解:

    ,则EDO=30°

    中,

    故答案是:

    【点睛】本题考查了圆周角定理、垂径定理,解题的关键是掌握在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.

    20

    【分析】连接ABBC,根据题意得AB=BC=CD,再根据三角形的三边关系,即可求解.

    【详解】解:如图,连接ABBC

    AB=弧BC=弧CD

    AB=BC=CD

    故答案为:

    【点睛】本题主要考查了圆的弧、弦,的关系,三角形的三边关系,熟练掌握同圆内,等弧所对的弦相等是解题的关键.

    2126°

    【分析】根据垂径定理可得,再根据圆周角定理及其推论求得BOC=2∠ADC,进而可求得OBC的度数.

    【详解】解:O中,OCAB

    BOC+∠OBA=90°

    ∴∠BOC=2∠ADC=64°

    ∴∠OBA=90°BOC=90°64°=26°

    故答案为:26°

    【点睛】本题考查垂径定理、圆周角定理及其推论、直角三角形的两锐角互余,熟练掌握垂径定理和圆周角定理及其推论是解答的关键.

    22(1)∠AEC=135°

    (2)①BE=CE+EA,理由见解析;②4

    【分析】(1)由等腰直角三角形的性质得CDA=90°CD=DA,再由等边三角形的性质得DE=DADEA=∠EDA=60°,然后求出DEC=75°,即可求解;

     2过点CCHCEAE的延长线于点H,证ACH≌△BCESAS),得BE=AH=HE+EA=CE+AE

    AB的中点O,连接OC,由勾股定理得CF=5,再证ABCE四点共圆,由圆周角定理得AB是圆的直径,AB的中点O是圆心,过点OONCFN,延长ON交圆O于点E,此时点ECF的距离最大,CEF面积的面积最大,然后由三角形面积求出ON=,则EN=OE-ON=,即可求解.

    (1)

    解:∵∠BCA=90°BC=AC,点DAB的中点,

    ∴∠CDA=90°CD=AB=DA

    ∵△ADE是等边三角形,

    DE=DADEA=∠EDA=60°

    DC=DECDE=∠CDA-∠EDA=90°-60°=30°

    ∴∠DEC=180°-∠CDE=×180°-30°=75°

    ∴∠AEC=∠DEC+∠DEA=75°+60°=135°

    (2)

    解:线段BECEEA之间的数量关系为:BE=CE+EA,理由如下:

    过点CCHCEAE的延长线于点H,如图2所示:

    CEH=180°-∠AEC=180°-135°=45°

    ∴△ECH是等腰直角三角形,

    CH=CEHE=CE

    ∵∠BCA=∠ECH=90°

    ∴∠ACH=∠BCE

    ACHBCE中,

    ∴△ACH≌△BCESAS),

    BE=AH=HE+EA=CE+AE

    AB的中点O,连接OC,如图3所示:

    ∵∠BCA=90°BC=AC

    ∴△ACB是等腰直角三角形,

    ∴∠ABC=45°

    OAB的中点,

    OCABOC=OA=AB=AF+BF=×1+7=4

    OF=OA-AF=4-1=3

    RtCOF中,由勾股定理得:CF==5

    CF是定值,

    ECF的距离最大时,CEF面积的面积最大,

    ∵∠AEC=135°

    ∴∠ABC+∠AEC=180°

    ABCE四点共圆,

    ∵∠BCA=90°

    AB是圆的直径,AB的中点O是圆心,

    过点OONCFN,延长ON交圆O于点E

    此时点ECF的距离最大,CEF面积的面积最大,

    SOCF=OCOF=CFON

    OE=OC=4

    EN=OE-ON=4-=

    ∴△CEF面积的面积最大值为:CFEN=×5×=4

    【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质、四点共圆、圆周角定理、垂径定理、勾股定理、三角形面积等知识,本题综合性强,熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质和圆周角定理,证明ACH≌△BCE解题的关键.

    23(1)见解析;

    (2)⊙O的半径为 cm

    【分析】(1)由等腰三角形的性质与圆周角定理,易得BCO=∠B=∠D

    2由垂径定理可求得CEDE的长,然后证BCE∽△DAE,再由相似三角形的对应边成比例,求得AE的长,继而求得直径与半径.

    1

    证明:OB=OC

    ∴∠BCO=∠B

    ∵∠B=∠D

    ∴∠BCO=∠D

    2

    解:ABO的直径,CDAB

    CE=DE=CD=×6=3

    ∵∠B=∠DBEC=∠DEA

    ∴△BCE∽△DAE

    AECE=DEBE

    AE3=38

    解得:AE=

    AB=AE+BE==

    ∴⊙O的半径为(cm)

    【点睛】本题考查了圆周角定理、垂径定理、相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质.注意在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等.证得BCE∽△DAE是关键.

    24.(1)见解析;(22

    【分析】(1)先根据垂径定理得到,然后利用圆周角定理得到结论;

    2)连接OB,如图,利用垂径定理得到BECE,再利用圆周角定理得到BOE60°,然后利用含30度的直角三角形三边的关系求OB的即可.

    【详解】解答:(1)证明:BCAD

    ∴∠BADCAD

    2)解:连接OB,如图,

    BCAD

    BECEBC×2

    ∵∠BOE2∠BAD2×30°60°

    Rt△BOE中,OEBE×1

    OB2OE2

    O的半径为2

    【点睛】本题考查了圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.也考查了垂径定理

    25.(1)见解析;(2

    【分析】1根据垂径定理和圆的性质,同弧的圆周角相等,又因为△AOC是等腰三角形,即可求证.

    2)根据勾股定理,求出各边之间的关系,即可确定半径.

    【详解】(1)证明:

    ABO的直径,CDAB

    =

    ∴∠A=∠2

    OA=OC

    ∴∠1=∠A

    ∴∠1∠2

    2ABO的直径,弦CDABCD=6

    ∴∠CEO90ºCEED3

    O的半径是REB=2,则OE=R-2

    RtOEC中,

    解得:

    ∴⊙O的半径是

    【点睛】本题考查垂弦定理、圆心角、圆周角的性质,关键是熟练运用垂径定理和圆周角的性质进行推理证明和计算.

    26.(1)见解析;(260120;同圆中,相等的圆心角所对的弦也相等

    【分析】(1)利用画圆的方法作出CD两点,从而得到ACD

    2)在O中,连接OCODBCBD,利用等边三角形的判定方法得到OBC为等边三角形,则BOC60°,接着分别计算出CODAOCAOD120°.然后根据圆心角、弧、弦的关系得到ACCDAD,从而判断ACD是等边三角形.

    【详解】(1)解:如图,ACD为所作;

    2)证明:在O中,连接OCODBCBD

    OCOBBC

    ∴△OBC为等边三角形.

    ∴∠BOC60°

    ∴∠AOC180°−∠BOC120°

    同理AOD120°

    ∴∠CODAOCAOD120°

    ACCDAD(在同圆中,相等的圆心角所对的弦相等),

    ∴△ACD是等边三角形.

    故答案为:60120;同圆中,相等的圆心角所对的弦也相等.

    【点睛】本题考查了作图复杂作图:复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图,一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质,结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图,逐步操作.

    2713

    【分析】设OB=x,则OE=x-1,在直角三角形OBE中,根据勾股定理计算即可.

    【详解】设OB=x,则OE=x-1

    CD O 的直径, ABCD AB=10

    AE=EB=5

    在直角三角形OBE中,根据勾股定理得:

    解得x=13

    故圆的半径为13

    【点睛】本题考查了垂径定理,勾股定理,熟练掌握垂径定理,灵活运用勾股定理是解题的关键.

    28.(1)见解析;(26

    【分析】(1根据垂径定理可知,,进而可得,由可得,进而即可证明

    2)由是直径,可得,根据,可得,进而可得,根据含30度角的直角三角形的性质即可求得,进而求得的长.

    【详解】(1

    2是直径

    中,

    【点睛】本题考查了垂径定理,等弧所对的圆周角相等,垂直平分线的定理,等边对等角,含30度角的直角三角形的性质,直径所对的圆周角是直角,求得是解题的关键.

    29.(1)见解析;(2)直径所对的圆周角为;在等腰三角形中顶角的角平分线,底边的中线,底边的高线,三条线互相重合

    【分析】(1)按照题中的作法,补全作图即可;

    2)根据圆和等腰三角形的有关性质,结合上下文,求解即可.

    【详解】解:(1)作图如下:

    2OBA直径,P点在A

    ∴∠OPB90°(直径所对的圆周角为

    OPBC

    OBOC

    OP平分MON(在等腰三角形中顶角的角平分线,底边的中线,底边的高线,三条线互相重合)

    故答案为:直径所对的圆周角为;在等腰三角形中顶角的角平分线,底边的中线,底边的高线,三条线互相重合

    【点睛】此题考查了尺作图,圆的有关性质和等腰三角形的性质,解题的关键是熟练掌握圆和等腰三角形的有关性质.

    30.见解析

    【分析】连接,通过证明即可得结论.

    【详解】证明:如图,连接

    的中点,

    中,

    【点睛】本题考查弧、弦、圆心角的关系,全等三角形的判定和性质等知识,解题的关键是利用全等三角形的判定和性质解决问题,属于中考常考题型.

     

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