2021北京重点校初三（上）期中数学汇编：二次函数与一元二次方程

2021北京重点校初三（上）期中数学汇编

二次函数与一元二次方程

一、单选题

1．（2021·北京五十五中九年级期中）如图，已知顶点为（﹣3，﹣6）的抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，﹣4），则下列结论中正确的是（　　）

A．b2﹣4ac＜0

B．ax2+bx+c≥﹣6

C．若点（﹣2，m），（﹣4，n）在抛物线上，则m＞n

D．关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣4的两根为﹣6和﹣1

2．（2021·北京八十中九年级期中）已知二次函数，当和时对应的函数值相等，则下列说法中不正确的是（    ）

A．抛物线的开口向上 B．抛物线与y轴有交点

C．当时，抛物线与x轴有交点 D．若是抛物线上两点，则

3．（2021·北京十五中九年级期中）下表是二次函数y=ax2+bx+c的x,y的部分对应值:

则对于该函数的性质的判断:

①该二次函数有最大值;②不等式y>-1的解集是x<0或x>2;

③方程ax2+bx+c=0的两个实数根分别位于-<x<0和2<x<之间;

④当x>0时,函数值y随x的增大而增大;

其中正确的是:A．②③ B．②④ C．①③ D．①④

4．（2021·北京八十中九年级期中）已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一元二次方程ax2+bx+c=0(   )

A．没有实根

B．只有一个实根

C．有两个实根，且一根为正，一根为负

D．有两个实根，且一根小于1，一根大于2

5．（2021·北京十五中九年级期中）如图，抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）的对称轴为直线x=1，如果关于x的方程ax2+bx﹣8=0（a≠0）的一个根为4，那么该方程的另一个根为（　　）

A．﹣4 B．﹣2 C．1 D．3

二、填空题

6．（2021·北京·北师大实验中学九年级期中）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为A(﹣3，6)，，则方程的解是______．

7．（2021·北京师大附中九年级期中）若抛物线y＝x2+6x+m与x轴只有两个交点，则m的值为 _____．

8．（2021·北京师大附中九年级期中）下列关于抛物线y＝x2+bx﹣2．

①抛物线的开口方向向下；

②抛物线与y轴交点的坐标为（0，﹣2）；

③当b＞0时，抛物线的对称轴在y轴右侧；

④对于任意的实数b，抛物线与x轴总有两个公共点．

其中正确的说法是 _____．（填写正确的序号）

9．（2021·北京市回民学校九年级期中）下表是二次函数的x，y的部分对应值：则对于该函数的性质的判断：  

①该二次函数有最大值；②不等式y＞－1的解集是x＜0或x＞2；③方程的两个实数根分别位于－＜x＜0和2＜x＜之间；④当x＞0时，函数值y随x的增大而增大；其中正确的是__________

10．（2021·北京八十中九年级期中）已知直线与抛物线交点的横坐标为1，则__________，交点坐标为__________．

11．（2021·北京八十中九年级期中）如图，直线与抛物线交于点，且点A在y轴上，点B在x轴上，则不等式的解集为_____．

12．（2021·北京八十中九年级期中）已知抛物线y=ax2＋bx＋c的系数有a－b＋c=0，则这条抛物线经过定点__________．

13．（2021·北京四中九年级期中）已知二次函数的图象与轴只有一个交点．请写出 一组满足条件的的值：__________，_________________

三、解答题

14．（2021·北京八十中九年级期中）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线G：y＝ax2﹣2ax+4（a≠0）．

（1）当a＝1时，

①抛物线G的对称轴为x＝　 　；

②若在抛物线G上有两点（2，y1），（m，y2），且y2＞y1，则m的取值范围是 　 　．

（2）抛物线G的对称轴与x轴交于点M，点M与点A关于y轴对称，将点M向右平移3个单位长度得到点B，若抛物线G与线段AB恰有一个公共点，请结合图象，求a的取值范围．

15．（2021·北京市回民学校九年级期中）已知二次函数．

（1）求出这个二次函数图象的对称轴和顶点坐标；

（2）求出这个二次函数的图象与坐标轴的交点；

（3）直接写出y＞0时x的范围

16．（2021·北京五十五中九年级期中）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4ax+3a与y轴交于点A，与x轴交于点B和点C（点B在点C的左边）．

（1）求点A的坐标（用含a的式子表示）和对称轴；

（2）求点B和点C的坐标；

（3）已知点P(0，1)，Q(3，1)，如果抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，直接写出a的取值范围．

17．（2021·北京·景山学校九年级期中）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过（3，0）点，当x＝1时，函数的最小值为﹣4．

（1）求该二次函数的解析式并画出它的图象；

（2）直线x＝m与抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）和直线y＝x﹣3的交点分别为点C，点D，点C位于点D的上方，结合函数的图象直接写出m的取值范围．

18．（2021·北京师大附中九年级期中）已知抛物线．

（1）该抛物线的对称轴为______；

（2）若该抛物线的顶点在轴上，求抛物线的函数表达式；

（3）设点、在该抛物线上，若，求的取值范围．

参考答案

1．B

【分析】利用抛物线与x轴的交点个数可对A进行判断；利用抛物线的顶点坐标可对B进行判断；由顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线x=-3，则根据二次函数的性质可对C进行判断；根据抛物线的对称性得到抛物线y=ax2+bx+c上的点（-1，-4）的对称点为（-5，-4），则可对D进行判断．

【详解】解：A、图象与x轴有两个交点，方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，b2﹣4ac＞0，所以b2＞4ac，故A选项不符合题意；

B、抛物线的开口向上，函数有最小值，因为抛物线的最小值为﹣6，所以ax2+bx+c≥﹣6，故B选项符合题意；

C、抛物线的对称轴为直线x=﹣3，因为﹣4离对称轴的距离等于﹣2离对称轴的距离，所以m=n，故C选项不符合题意；

D、根据抛物线的对称性可知，（﹣1，﹣4）关于对称轴的对称点为（﹣5，﹣4），所以关于x的一元二次方程ax2+bx+c=﹣4的两根为﹣5和﹣1，故D选项不符合题意．

故选B．

【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数与一元二次方程的关系，熟练运用数形结合是解题的关键．

2．C

【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称性、与坐标轴交点等性质逐条判断即可．

【详解】解：二次函数二次项系数是1，大于0，抛物线开口向上，故A正确，不符合题意；

当时，，抛物线与y轴有交点为（0，n），故B正确，不符合题意；

二次函数，当和时对应的函数值相等，它的对称轴为，即，，抛物线解析式为，若抛物线与x轴有交点，则，解得，故C错误，符合题意；

两点关于抛物线对称轴直线对称，所以，故D正确,不符合题意；

故选：C．

【点睛】本题考查了二次函数图象与性质，解题关键是熟练掌握二次函数性质，根据相关性质准确进行推断．

3．A

【分析】根据表格给出的数据和二次函数的各种性质逐项分析即可.

【详解】解：①由当x=1时，二次函数有最小值，a＞0，故(1)错误；

②由表格可知，当x=0及x=2时，y=-1，由a＞0可得y>-1的解集是x<0或x>2，故(2)正确.

③由表格可知，方程ax2+bx+c=0的两个实数根分别位于-<x<0和2<x<之间，故（3）正确；

④由表格可知，方程ax2+bx+c=0的对称轴为x=1，当x>0时，函数值y随x的增大先减小后增大，故（4）错误.

故：②③正确，故选A.

【点睛】本题主要考查二次函数的性质.

4．D

【分析】首先根据图象求出抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点横坐标取值范围，进而写出一元二次方程ax2+bx+c=0的解的情况．

【详解】由图可知：抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点横坐标的取值范围是0＜x1＜1，2＜x2＜3，

则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实根，且一根小于1，一根大于2．

故选D．

【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点问题的知识，根据抛物线与x轴的交点求出一元二次方程的两个根是解答此题的关键，此题难度不大．

5．B

【分析】抛物线与抛物线的对称轴相同是解题的关键.

【详解】解：∵关于x的方程有一个根为4，

∴抛物线与x轴的一个交点为（4，0），

抛物线的对称轴为直线

抛物线的对称轴也是x=1，

∴抛物线与x轴的另一个交点为

∴方程的另一个根为

故选B．

【点睛】考查抛物线与一元二次方程的关系，抛物线的对称轴方程是：．

6．，

【分析】利用图象法即可解决问题，方程的解就是两个函数图象的交点的横坐标．

【详解】解：由图象可知，关于x的方程的解，就是抛物线（a≠0）与直线（b≠0）的两个交点坐标分别为A(﹣3，6)，B(1，3)的横坐标，

即，．

故答案为：，．

【点睛】本题考查抛物线与x轴交点、一次函数的应用、一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会利用图象法解决实际问题．

7．m＜9

【分析】令y＝0，则x2+6x+m＝0，由题意得Δ＞0，解不等式即可得出m的取值范围．

【详解】解：令y＝0，则x2+6x+m＝0，

∵抛物线y＝x2+6x+m与x轴只有两个交点，

∴Δ＝62﹣4×1×m＞0．

解得：m＜9．

故答案为：m＜9．

【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，利用抛物线与x轴有两个交点时Δ＞0是解题的关键．

8．②④

【分析】利用抛物线的性质对每个说法进行逐一判断即可得出结论．

【详解】∵a＝1＞0，

∴抛物线的开口方向向上．

∴①说法错误；

令x＝0则y＝﹣2，

∴抛物线与y轴交点的坐标为（0，﹣2）．

∴②说法正确；

∵抛物线y＝x2+bx﹣2的对称轴为直线x＝﹣，

∴当b＞0时，﹣＜0，

∴当b＞0时，抛物线的对称轴在y轴左侧．

∴③说法错误；

令y＝0，则x2+bx﹣2＝0，

∵Δ＝b2﹣4×1×（﹣2）＝b2+8＞0，

∴对于任意的实数b，抛物线与x轴总有两个公共点．

∴④说法正确；

综上，说法正确的有：②④，

故答案为：②④．

【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，抛物线与x轴的交点，抛物线上点的坐标的特征，利用抛物线的开口方向，对称轴，抛物线与x轴的交点的性质解答是解题的关键．

9．②③##③②

【分析】由图表可得二次函数y＝ax2＋bx＋c的对称轴为直线x＝1，a＞0，即可判断①④不正确，由图表可直接判断②③正确．

【详解】解：∵当x＝0时，y＝−1；当x＝2时，y＝−1；

当x＝，y＝−；当x＝，y＝−；

∴二次函数y＝ax2＋bx＋c的对称轴为直线x＝1，

x＞1时，y随x的增大而增大，x＜1时，y随x的增大而减小．

∴a＞0即二次函数有最小值

则①④错误

由图表可得：不等式y＞−1的解集是x＜0或x＞2，故②正确；

由图表可得：方程ax2＋bx＋c＝0的两个实数根分别位于−＜x＜0和2＜x＜之间，故③正确；

故正确的结论有：②③，

故答案为：②③．

【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数的最值，理解图表中信息是本题的关键．

10．     4    

【分析】首先把x＝1分别代入抛物线求得纵坐标，再代入直线求得k，进一步与抛物线联立方程求得答案即可．

【详解】解：把x＝1分别代入抛物线＝9，

把（1，9）代入直线解得k＝4，

由题意得，

解得，

所以交点坐标为（1，9）．

故答案为：4；（1，9）．

【点睛】本题考查的是二次函数的性质，待定系数法求函数解析式，根据题意得出关于x、y的方程组是解答此题的关键．

11．

【分析】根据函数的解析式，得A（0，3），B的坐标为（3，0），利用数形结合思想完成解答．

【详解】∵，

∴，

解得x=3或x=-1，

∴点B的坐标为（3，0），

当x=0时，y=3，

∴点A的坐标为（0，3），

∴不等式的解集为,

故答案为：．

【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的图像，交点问题，解析式构造的不等式解集问题，熟练掌握函数交点的意义，灵活运用数形结合思想是解题的关键．

12．（-1，0）

【分析】根据x=-1时得到的函数值即为a-b+c，即可得到结论．

【详解】解：把x=-1代入抛物线y=ax2＋bx＋c，

得到y=a-b+c，

又∵a-b+c=0

∴当x=-1时，y=a-b+c=0，

∴抛物线必过定点（-1，0）

故答案为：（-1，0）．

【点睛】本题考查二次函数特殊点与系数的关系，熟练掌握当x=±1和x=±2时的对应的函数值是解题的关键．

13．         

【分析】根据判别式的意义得到△=b2-4a=0，然后a取一个不为0的实数，再确定对应的b的值．

【详解】解：∵二次函数y=ax2+bx+1（a≠0）的图象与x轴只有一个交点，

∴△=b2-4a=0，

若a=1，则b可取2．

故答案为1，2（答案不唯一）．

【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．

14．（1）①；②m＞2或m＜0；（2）＜a≤或a=4．

【分析】（1）把a=1代入抛物线解析式，①利用对称轴公式即可求得抛物线G的对称轴； ②先画二次函数的简易图象，根据二次函数的图象和性质，抛物线G上有两点（2，y1），（m，y2），且y2＞y1，判断点（m，y2）的位置，进而可得m的取值范围；

（2）根据题意先求出点M、A、B的坐标，再结合图象，分两种情况讨论，即可求a的取值范围．

【详解】解：（1）①当时，抛物线G为

抛物线G的对称轴为

故答案为1；

②当时，抛物线为

如图，当或时，

抛物线G上有两点（2，y1），（m，y2）， 且y2＞y1，

在点左边抛物线上或点右边的抛物线上，

m的取值范围是m＞2或m＜0；

故答案为：m＞2或m＜0；

（2）∵抛物线G：y=ax2-2ax+4，

抛物线的对称轴为x=1，且对称轴与x轴交于点M，

∴点M的坐标为（1，0）．

∵点M与点A关于y轴对称，

∴点A的坐标为（-1，0）．

∵点M右移3个单位得到点B，

∴点B的坐标为（4，0）．

依题意，抛物线G与线段AB恰有一个公共点，如图，

当时，抛物线的开口向下，

把点A（-1，0）代入y=ax2-2ax+4，可得；此时抛物线与线段有两个交点，

把点B（4，0）代入y=ax2-2ax+4，可得；此时抛物线与线段只有一个交点，

所以：＜a≤

当时，抛物线的开口向上，此时抛物线的顶点在上，

把点M（1，0）代入y=ax2-2ax+4，可得a=4．

综上：抛物线G与线段AB恰有一个公共点时可得：

 ＜a≤或a=4．

【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象与几何变换，解决本题的关键是结合图象解答．

15．（1）x=1；（1，-4）；（2）（0，-3），（-1，0），（3，0）；（3）x<-1或x>3

【分析】（1）将题目中的函数解析式化为顶点式即可求得二次函数图象的对称轴和顶点坐标；

（2）根据题目中的函数解析式可以求得这个二次函数的图象与坐标轴的交点；

（3）根据题目中的函数解析式和二次函数的性质可以得到y＞0时x的范围．

【详解】解：（1）∵二次函数y＝x2−2x-3＝（x−1）2−4，

∴该函数图象的对称轴是直线x＝1，顶点坐标为（1，−4）；

（2）当x＝0时，y＝-3，

当y＝0时，0＝x2−2x-3＝（x−3）（x+1），得x1＝3，x2＝-1，

即该函数图象与坐标轴的交点为（0，-3），（-1，0），（3，0）；

（3）∵二次函数y＝x2−4x＋3的图象开口向上，与x轴的交点为（-1，0），（3，0），

∴y＞0时x的取值范围是x＜-1或x＞3．

【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．

16．（1）点A坐标（0，3a），对称轴x=2（2）B（1，0）、C（3，0）；（3）a≥或a=-1

【分析】（1）令x=0即可求出点A的坐标，根据对称轴公式即可求出对称轴；

（2）令y=0即可求出求点B和点C的坐标；

（3）根据题意作图，故可分类求解．

【详解】（1）令x=0，即y＝ax2﹣4ax+3a=3a

∴点A的坐标为（0，3a）

对称轴为x=-=2

（2）令y=0，y＝ax2﹣4ax+3a=0

解得x1=1，x2=3，

∴点B（1，0）、C（3，0）；

（3）如图，∵抛物线与线段PQ恰有一个公共点，

∴当x=0时，y≥1

即3a≥1

解得a≥；

如图，当抛物线与线段PQ恰有一个公共点时，此时顶点在线段QP上

∴当x=2时，y=1

∴4a﹣8a+3a=1

解得a=-1

综上，a的取值为a≥或a=-1．

【点睛】此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是根据题意作图，根据二次函数的性质求解．

17．（1）；（2）或．

【分析】（1）设顶点式，再把代入求出得到抛物线解析式，然后利用描点法画出二次函数图象；

（2）先画出直线，则可得到直线与抛物线的交点坐标为，，然后写出抛物线在直线上方所对应的自变量的范围即可．

【详解】解：（1）当时，二次函数的最小值为，

二次函数的图象的顶点为，

二次函数的解析式可设为，

二次函数的图象经过点，

．

解得．

该二次函数的解析式为；

如图，

（2）画出直线，则可得到直线与抛物线的交点坐标为，，由上图象可得或．

【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，解题的关键是利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．

18．（1）直线；（2）或；（3）当时，或；当时，．

【分析】（1）利用二次函数的对称轴公式即可求得．

（2）根据题意可知顶点坐标，再利用待定系数法即可求出二次函数解析式．

（3）分类讨论当m＞0时和m＜0时二次函数的性质，即可求出n的取值范围．

【详解】解：（1）利用二次函数的对称轴公式可知对称轴．

故答案为：．

（2）∵抛物线顶点在x轴上，对称轴为，

∴顶点坐标为(-1，0)．

将顶点坐标代入二次函数解析式得：，

整理得：，

解得：或．

∴抛物线解析式为或；

（3）∵对称轴为直线，

∴点关于直线的对称点为，

根据二次函数的性质分类讨论．

（ⅰ）当m＞0时，抛物线开口向上，若y1＞y2，即点M在点N或的上方，两点NN′外侧，则或；

（ⅱ）当m＜0时，抛物线开口向下，若y1＞y2，即点M在点N或的上方，两点内部，则．

【点睛】本题为二次函数综合题，二次函数对称轴，待定系数法求二次函数解析式，比较函数值大小，掌握二次函数的性质是解答本题的关键．