2021北京重点校初三（上）期中数学汇编：点和圆、直线和圆的位置关系

2021北京重点校初三（上）期中数学汇编

点和圆、直线和圆的位置关系

一、单选题

1．（2021·北京·北师大实验中学九年级期中）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，以A为圆心作一个半径为2的圆，下列结论中正确的是（　　）

A．点B在⊙A内 B．点C在⊙A上

C．直线BC与⊙A相切 D．直线BC与⊙A相离

2．（2021·北京·景山学校九年级期中）如图，以点P为圆心，以下列选项中的线段的长为半径作圆，所得的圆与直线l相切的是（   ）

A．PA B．PB C．PC D．PD

3．（2021·北京师大附中九年级期中）如图，OA交⊙O于点B，AD切⊙O于点D，点C在⊙O上．若∠A＝40°，则∠C为（　　）

A．20° B．25° C．30° D．35°

4．（2021·北京·北师大实验中学九年级期中）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有这样一个问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆，径几何？”其意思是：“如图，今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）直径是多少？”此问题中，该内切圆的直径是（　　）

A．5步 B．6步 C．8步 D．10步

5．（2021·北京·北师大实验中学九年级期中）小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块碎片如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（ ）

A．① B．② C．③ D．均不可能

6．（2021·北京四中九年级期中）⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为6，则直线l与⊙O的位置关系是（　　）

A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定

二、填空题

7．（2021·北京十五中九年级期中）在《九章算术》卷九中记载了一个问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“如图，今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形能容纳的圆（内切圆）的直径是多少步？”根据题意，该内切圆的直径为______步．

8．（2021·北京·北师大实验中学九年级期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A与点B的坐标分别是（1，0）与（7，0）．对于坐标平面内的一动点P，给出如下定义:若∠APB＝45°，则称点P为线段AB的“等角点.”

①若点P为线段AB在第一象限的“等角点”，且在直线x＝4上，则点P的坐标为 __________________；

②若点P为线段AB的“等角点”，并且在y轴上，则点P的坐标为 __________________．

9．（2021·北京·北师大实验中学九年级期中）如图，AB，AC，BD是⊙O的切线，P，C，D为切点，若AB=10，AC=7，则BD的长为 ___．

10．（2021·北京八中九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，-3），半径为1的动圆⊙A沿y轴正方向运动，若运动后⊙A与x轴相切，则点A的运动距离为____________．

11．（2021·北京八中九年级期中）⊙O的半径为3，点P 在⊙O外，点P到圆心的距离为d，则d需要满足的条件____________．

12．（2021·北京五十五中九年级期中）如图，⊙O的半径为2，直线PA、PB为⊙O的切线，A、B为切点，若PA⊥PB，则OP的长__．

13．（2021·北京四中九年级期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，7），点B的坐标为（0，3），点C的坐标为（3，0），那么△ABC的外接圆的圆心坐标为____．

14．（2021·北京十五中九年级期中）如图，⊙O的半径是5，点A在⊙O上．P是⊙O所在平面内一点，且AP＝2，过点P作直线l，使l⊥PA．

（1）点O到直线l距离的最大值为_____；

（2）若M，N是直线l与⊙O的公共点，则当线段MN的长度最大时，OP的长为_____．

三、解答题

15．（2021·北京·北师大实验中学九年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OB为半径的圆经过点D，交BC于点E．

(1)求证:AC是⊙O的切线；

(2)若OB＝10，CD＝8，求CE的长．

16．（2021·北京师大附中九年级期中）已知：如图，AB是⊙O直径，延长直径AB到点C，使AB＝2BC，DF是⊙O的弦，DF⊥AB于点E，OE＝1，∠BAD＝30°．

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）连接并延长DO交于点G，连接GE，请补全图形并求GE的长．

17．（2021·北京·景山学校九年级期中）对于平面直角坐标系xOy中的点P，给出如下定义：记点P到x轴的距离为d1，到y轴的距离为d2，若d1≤d2，则称d1为点P的“引力值”；若d1＞d2，则称d2为点P的“引力值”．特别地，若点P在坐标轴上，则点P的“引力值”为0．

例如，点P（﹣2，3）到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，因为2＜3，所以点P的“引力值”为2．

（1）①点A（﹣1，4）的“引力值”为 　 　；

②若点B（a，3）的“引力值”为2，则a的值为 　 　；

（2）若点C在直线y＝﹣2x+4上，且点C的“引力值”为2，求点C的坐标；

（3）已知点M是以（3，4）为圆心，半径为2的圆上一个动点，那么点M的“引力值”d的取值范围是 　 　．

18．（2021·北京四中九年级期中）如图，内接于半圆，是直径，过作直线，使，

（1）求证：是半圆的切线；

（2）作弧的中点，连结交于，过作于，交于．（尺规作图，并保留作图痕迹），并求证：．

（3）若，，求．

19．（2021·北京·北师大实验中学九年级期中）下面是小融设计的“过直线外一点作圆与这条直线相切”的尺规作图过程．

已知：直线及直线外一点P（如图1）．

求作：⊙P，使它与直线相切．

作法：如图2，

①在直线上任取两点A，B；

②分别以点A，点B为圆心，AP，BP的长为半径画弧，两弧交于点Q；

③作直线PQ，交直线于点C；

④以点P为圆心，PC的长为半径画⊙P．

所以⊙P即为所求．

根据小融设计的尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明．

证明：连接AP，AQ，BP，BQ．

∵AP＝        ，BP＝ ，

∴点A，点B在线段PQ的垂直平分线上．

∴直线AB是线段PQ的垂直平分线．

∵PQ⊥，PC是⊙P的半径，

∴⊙P与直线相切（        ）（填推理的依据）．

20．（2021·北京·景山学校九年级期中）下面是小东设计的“过圆外一点作这个圆的切线”的尺规作图过程．

已知：⊙O及⊙O外一点P．

求作：直线PA和直线PB，使PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B．

作法：如图，

①作射线PO，与⊙O交于点M和点N；

②以点P为圆心，以PO为半径作⊙P；

③以点O为圆心，以⊙O的直径MN为半径作圆，与⊙P交于点E和点F，连接OE和OF，分别与⊙O交于点A和点B；

④作直线PA和直线PB．

所以直线PA和PB就是所求作的直线．

（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）

（2）完成下面的证明．

证明：连接PE和PF，

∵OE＝MN，OA＝OM＝MN，

∴点A是OE的中点．

∵PO＝PE，

∴PA⊥OA于点A （            ）（填推理的依据）．

同理PB⊥OB于点B．

∵OA，OB为⊙O的半径，

∴PA，PB是⊙O的切线．（           ）（填推理的依据）．

21．（2021·北京市回民学校九年级期中）已知，如图，在△ADC中，∠ADC＝90°，以DC为直径作半圆⊙O，交边AC于点F，点B在CD的延长线上，连接BF，交AD于点E，∠BED＝2∠C．

（1）求证：BF是⊙O的切线；

（2）若BF＝FC，，求⊙O的半径．

22．（2021·北京八十中九年级期中）已知，如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为弧AC上一点，AE、DC的延长线相交于点F，

求证：∠AED=∠CEF

23．（2021·北京五十五中九年级期中）已知△ABC中∠ACB=90°,E在AB上,以AE为直径的⊙O与BC相切于D,与AC相交于F,连接AD．

（1）求证：AD平分∠BAC；

（2）连接OC,如果∠B=30°,CF=1,求OC的长．

参考答案

1．D

【分析】过A点作AH⊥BC于H，如图，利用等腰三角形的性质得到BH=CH=BC=4，则利用勾股定理可计算出AH=3，然后根据点与圆的位置关系的判定方法对A选项和B选项进行判断；根据直线与圆的位置关系对C选项和D选项进行判断．

【详解】解：过A点作AH⊥BC于H，如图，

∵AB=AC，

∴BH=CH=BC=4，

在Rt△ABH中，AH==3，

∵AB=5＞3，

∴B点在⊙A外，所以A选项不符合题意；

∵AC=5＞3，

∴C点在⊙A外，所以B选项不符合题意；

∴AH⊥BC，AH=3＞半径，

∴直线BC与⊙A相离，所以C选项不符合题意，D选项符合题意．

故选：D．

【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，若直线l和⊙O相交⇔d＜r；直线l和⊙O相切⇔d=r；直线l和⊙O相离⇔d＞r．也考查了点与圆的位置关系和等腰三角形的性质．

2．B

【分析】圆的切线垂直于过切点的半径，据此解答．

【详解】∵以点P为圆心，所得的圆与直线l相切，

∴直线l垂直于过点P的半径，

∵PB⊥l，

∴PB的长是圆的半径，

故选：B．

【点睛】此题考查切线的性质定理：知切线得垂直，熟记定理是解题的关键．

3．B

【分析】根据切线的性质得到∠ODA＝90°，根据直角三角形的性质求出∠DOA，根据圆周角定理计算即可．

【详解】解：∵切于点

∴

∴

∵

∴

∴

故选：B

【点睛】本题考查了切线的性质：圆心与切点的连线垂直切线、圆周角定理以及直角三角形两锐角互余的性质，结合图形认真推导即可得解．

4．B

【详解】勾股定理知，斜边是=17，利用切线长定理知，

半径==3，直径是6.故选B.

5．A

【详解】解：第①块出现两条完整的弦，

作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．

故选A．

6．C

【详解】已知⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为6，因6＞5，即d＜r，所以直线l与⊙O的位置关系是相离.

故选C

7．6

【分析】根据勾股定理可算出AB的长度，根据直角三角形三边长度，计算出内切圆的直径．

【详解】解：根据勾股定理可知，

∴内切圆直径为 （步），

故答案为：6．

【点睛】本题考查勾股定理，以及直角三角形的内切圆，能够熟练利用勾股定理是解决本题的关键．

8．     ①，     ②或

【分析】①根据P在直线x＝4上画图1，作△APB的外接圆C，连接AC，BC，可知：AB＝6，⊙C的半径为3，最后计算PD的长可得点P的坐标；

②同理作△APB的外接圆C，计算OP和OP1的长，可得点P的坐标，注意不要丢解．

【详解】解：①如图1，作△APB的外接圆，设圆心为C，连接AC，BC，

∵点A与点B的坐标分别是（1，0）与（7，0），

∴AB＝7−1＝6，

∵∠APB＝45°，

∴∠ACB＝90°，

∵AC＝BC，

∴△ABC是等腰直角三角形，AC2+BC2＝AB2

∴AC＝BC＝3，

∴PC＝3，

∵点P在直线x＝4上，

∴AD＝4−1＝3，

∴AD＝BD，

∵CD⊥AB，

∴CD＝AD＝3，

∴P（4，3＋3）；

故答案为：（4，3＋3）；

②如图2，同理作△APB的外接圆，设圆心为C，过C作CD⊥x轴于D，作CE⊥OP于E，连接PC，P1C，

在y轴上存在∠APB＝∠AP1B＝45°，

则①知：CD＝OE＝3，OD＝CE＝4，PC＝3，

由勾股定理得：PE＝，

∴PO＝3＋，

同理得：OP1＝3−，

∴P（0，3±），

同理在y轴的负半轴上，存在符合条件的点P的坐标为（0，−3±），

综上，点P的坐标为或．

故答案为：或．

【点睛】此题主要考查坐标和图形的性质，圆周角定理，勾股定理等知识，作△APB的外接圆是本题的关键．

9．

【分析】由AC与⊙O相切于点C、AB与⊙O相切于点P，可得AC=AP，同理得BD=BP，再由BD=BP=AB-AC求得结果．

【详解】解：∵AC与⊙O相切于点C、AB与⊙O相切于点P，

∴AC=AP=7，

∵AB=10，

∴BP=AB-AP=10-7=3，

∵BD与⊙O相切于点D、BP与⊙O相切于点P，

∴BD=BP=3，

∴BD的长为3，

故答案为：3．

【点睛】本题考查切线长定理，由于两次用到切线长定理，所以应先通过观察确定要求的线段的长由哪两条线段的差构成．

10．2或4

【分析】利用切线的性质得到点A到x轴的距离为1，此时圆心的坐标为（0，-1）或（0，1），然后分别计算点（0，-1）和（0，1）到（0，-3）的距离即可．

【详解】解：若运动后⊙A与x轴相切，

则点A到x轴的距离为1，此时圆心的坐标为（0，-1）或（0，1），

而-1-（-3）=2，1-（-3）=4，

∴点A的运动距离为2或4，

故答案为：2或4．

【点睛】本题考查了切线的性质，坐标与图形的性质，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．

11．d>3

【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法求解．

【详解】解：∵点P在⊙O外，

∴d＞3．

故答案为：d＞3．

【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d=r；点P在圆内⇔d＜r．

12．

【分析】首先连接OA，由直线PA、PB为⊙O的切线，PA⊥PB，易得△OPA是等腰直角三角形，继而可求得OP的长．

【详解】解：连接OA，

∵直线PA、PB为⊙O的切线，PA⊥PB，

∴OA⊥PA，∠OPA=∠APB=45°，

∴△OPA是等腰直角三角形，

∵⊙O的半径为2，

即OA=2，

∴OP=OA=2．

故答案为：．

【点睛】本题考查了切线的性质、切线长定理以及等腰直角三角形的性质．注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．

13．(5，5)

【分析】分别作出三角形任意两边的垂直平分线得到圆心的位置，进而得出答案．

【详解】∵B(0，3)，C(3，0)，

∴在网格中，BC可以看作边长为3的正方形的对角线，

根据网格特征及正方形对角线互相垂直平分，分别作出AB、BC的垂直平分线，交于点E，则点E即为外接圆的圆心，如图所示，

∵A(0，7)，B(0，3)，

∴点E纵坐标为5，

∴由图可得，E(5，5)．

故答案为：(5，5)．

【点睛】本题考查了坐标与图形，三角形的外接圆与外心，熟练掌握定义及性质是解题的关键．

14．     7    

【分析】（1）如图1，当点P在圆外且O，A，P三点共线时，点O到直线l距离的最大，于是得到结论；

（2）如图2，根据已知条件得到线段MN是⊙O的直径，根据勾股定理即可得到结论．

【详解】（1）如图1，∵l⊥PA，

∴当点P在圆外且O，A，P三点共线时，点O到直线l距离的最大，

最大值为AO+AP＝5+2＝7；

（2）如图2，∵M，N是直线l与⊙O的公共点，当线段MN的长度最大时，

线段MN是⊙O的直径，

∵l⊥PA，

∴∠APO＝90°，

∵AP＝2，OA＝5，

∴OP＝＝，

故答案为7,

【点睛】此题主要考查点到直线的距离以及勾股定理的运用，熟练掌握，即可解题.

15．(1)见解析；

(2)

【分析】（1）连接OD，根据OB=OD， BD平分∠ABC，证得∠ODB=∠CBD，推出，得到∠ODA=∠C＝90°，由此得到结论；

（2）过点O作OF⊥BC于F，推出四边形ODCF是矩形，得到OF=CD=8，CF=OD=10，根据勾股定理求出BF，由垂径定理得到EF=BF=6，由此求出结果．

(1)

证明：连接OD，

∵OB=OD，

∴∠ODB=∠OBD．

∵BD平分∠ABC，

∴∠OBD=∠CBD，

∴∠ODB=∠CBD．

∴，

∴∠ODA=∠C＝90°，

∵以点O为圆心，OB为半径的圆经过点D，

∴AC是⊙O的切线；

(2)

解：过点O作OF⊥BC于F，

∴∠OFC=∠ODC=∠C＝90°，

∴四边形ODCF是矩形，

∴OF=CD=8，CF=OD=10．

在Rt△OBF中，，

∴，

∵OF⊥BC，

∴EF=BF=6，

∴CE=CF-EF=10-6=4．

【点睛】此题考查了切线的判定定理，垂径定理，矩形的判定及性质，勾股定理，解题的关键是正确掌握各定理并熟练应用解决问题．

16．（1）见解析；（2）图见解析，．

【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠ODA＝∠OAD＝30°，根据垂直的定义得到∠AED＝90°，根据直角三角形的性质得到OE＝OD，求得OD＝2OE＝2，得到AB＝2OD＝4，根据等腰三角形的性质得到∠DCA＝∠DAC＝30°，根据切线的判定定理得到CD是⊙O的切线；

（2）连接FG，根据勾股定理得到DE＝＝＝，根据三角形中位线的性质得到OE＝FG，求得FG＝2OE＝2，由勾股定理即可得到结论．

【详解】（1）证明：∵OA＝OD，

∴∠ODA＝∠OAD＝30°，

∵DF⊥AB，

∴∠AED＝90°，

∴∠ADE＝90°﹣∠EAD＝60°，

∴∠ODE＝∠ADE﹣∠ODA＝30°，

∴OE＝OD，

∴OD＝2OE＝2，

∴OA＝OD＝2，

∵AB是⊙O直径，

∴AB＝2OD＝4，

∵AB＝2BC，

∴BC＝2，

∴AE＝OA+OE＝3，

∴AC＝AB+BC＝6，CE＝AC﹣AE＝3，

∴AE＝CE，

∴DA＝DC，

∴∠DCA＝∠DAC＝30°，

∴∠CDE＝90°﹣∠DCE＝60°，

∴∠ODC＝∠ODE+∠CDE＝90°，

∴OD⊥CD，

∵OD是⊙O的半径，

∴CD是⊙O的切线；

（2）解：连接FG，

在Rt△DOE中，

∵OD＝2，OE＝1

∴DE＝＝＝，

∵OE⊥DF，

∴EF＝DE＝，

∵OD＝OG，

∴OE是△DFG的中位线，

∴OE＝ FG，

∴FG＝2OE＝2，

在Rt△EFG中，GE2＝EF2+FG2，

∴GE＝＝＝．

【点睛】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形的中位线等，熟练掌握垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形的中位线等知识是解题的关键．

17．（1）①1；②；（2）点的坐标为或；（3）

【分析】（1）①直接根据“引力值”的定义，其最小距离为“引力值”；

②点到轴的距离为3，且其“引力值”为2，所以；

（2）根据点的“引力值”为2，可得或，代入可得结果；

（3）在点处时，其“引力值”最小为1，在第一象限角平分线上时，其“引力值”最大，根据勾股定理求出的值．

【详解】解：（1）①点到轴的距离为4，到轴的距离为1，

，

点的“引力值”为1．

②点的“引力值”为2，

；

（2）设点的坐标，

点的“引力值”为2，

或，

当时，，此时点的“引力值”为0，不符合题意，舍去，

当时，，此时点的坐标为，

当时，，，此时点的“引力值”为1，不符合题意，舍去，

当时，，，此时点的坐标为，

综上所述，点的坐标为或；

（3）如图，过分别作、轴的垂线，分别交于和，交轴于，

，

，

点的“引力值”最小为1，

设，过作于，

当时，点的“引力值”最大，

，，，

由勾股定理得：，

，

，

，

，或，，

点的“引力值”的取值范围是：．

故答案为：．

【点睛】本题考查一次函数综合题、“引力值”的定义、圆的有关知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用特殊位置解决数学问题，属于中考压轴题．

18．（1）见解析；（2）见解析；（3）1

【分析】（1）根据圆周角定理得到，再证明，然后根据切线的判定定理得到结论；

（2）作的垂直平分线交于点，利用基本作图作，利用圆周角定理得到，然后证明得到；

（3）连接交于，如图，根据垂径定理，利用点为的中点得到，，易得，接着证明得到，然后计算即可．

【详解】解：（1）证明：为直径，

，

，

，

，

即，

，

是半圆的切线，

（2）证明：如图，

点为的中点，

，

，

，

，

，

，

；

（3）解：连接交于，如图，

点为的中点，

，，

，

在和中，

，

，

，

．

【点睛】本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆周角定理、切线的判定与性质．

19．（1）见解析；（2）AQ；BQ；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

【分析】（1）按照题目要求作图即可；

（2）根据垂直平分线的性质和切线的判定填写即可．

【详解】（1）如图所示，

；

（2）证明：连接AP，AQ，BP，BQ．

∵AP＝AQ，BP＝BQ ，

∴点A，点B在线段PQ的垂直平分线上．

∴直线AB是线段PQ的垂直平分线．

∵PQ⊥，PC是⊙P的半径，

∴⊙P与直线相切（经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）．

故答案为：AQ；BQ；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

【点睛】本题考查了尺规作图，垂直平分线的判定和性质，圆的性质，切线的判定，掌握知识点并且灵活运用是解题关键．

20．（1）答案见解析；（2）三线合一；经过半径外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

【分析】(1)根据直线的定义，线段的定义，圆的定义作图即可；

(2) 连接PE和PF，根据OE=MN，OA=OM=MN，得到点A是OE的中点，利用PO=PE，证得PA⊥OA于点A，同理PB⊥OB于点B，即可得到结论．

【详解】（1）补全图形如图：

（2）证明：连接PE和PF，

∵OE=MN，OA=OM=MN，

∴点A是OE的中点，

∵PO=PE，

∴PA⊥OA于点A （ 三线合一 ）．

同理PB⊥OB于点B，

∵OA，OB为⊙O的半径，

∴PA，PB是⊙O的切线．（ 经过半径外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切   线 ）．

故答案为：三线合一；经过半径外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

．

【点睛】此题考查尺规作图--圆，根据语句描述画射线，等腰三角形的三线合一的性质，圆的切线的判定定理，正确理解语句作出图形，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．

21．（1）见解析；（2）⊙O的半径是3．

【分析】（1）欲证BF是圆O的切线，只需证明OF⊥BF；

（2）根据角与角间的数量关系推知△AEF的等边三角形．所以易求AD=2．则通过解直角△ADC来求直径CD的长度．

【详解】（1）证明：连接OF．

∵∠OFB=180°﹣∠B﹣∠BOF=180°﹣∠B﹣2∠C=180°﹣∠B﹣∠BED=90°，

∴OF⊥BF，

∴BF是⊙O的切线；

（2）解：∵BF=FC，

∴∠B=∠FCB，

∵∠BED=2∠C，

∴∠BDE+∠B=3∠C=90°，

∴∠B=∠C=30°，

∴∠AFE=60°，∠BED=60°，

∴△AEF是等边三角形，

则EF=AE=．

∴AD=2．

又∵∠C=30°，

∴CD=6，

∴⊙O的半径是3．

【点睛】此题主要考查圆的切线的判定以及解直角三角形，熟练掌握，即可解题.

22．见解析

【分析】连结AD，如图，根据垂径定理由CD⊥AB得到弧AC=弧AD，再根据圆周角定理得∠ADC=∠AED，然后根据圆内接四边形的性质得∠CEF=∠ADC，于是利用等量代换即可得到结论．

【详解】证明：连结AD，如图，

∵CD⊥AB，

∴弧AC=弧AD，

∴∠ADC=∠AED，

∵∠CEF=∠ADC，

∴∠AED=∠CEF．

【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理和圆内接四边形的性质．

23．（1）证明见解析；（2）

【分析】（1）连接OD，由 OD=OA，可得∠1=∠2，再由BC为⊙O的切线，根据切线的性质可得∠ODB=90°，已知∠C=90°，所以∠ODB=∠C，即可判定OD//AC，根据平行线的性质可得∠3=∠2，所以∠1=∠3，即可判定AD是∠BAC的平分线；

（2）连接DF，已知∠B=30°，可求得∠BAC=60°，再由AD是∠BAC的平分线，可得∠3=30°，已知BC是⊙O的切线，根据弦切角定理可得∠FDC=∠3=30°，所以CD= CF=，同理可得AC=CD=3，所以AF=2，过O作OG⊥AF于G，由垂径定理可得GF=AF=1，四边形ODCG是矩形，所以CG=2，OG=CD=，由勾股定理可得OC=．

【详解】解：（1）证明：连接OD，∴OD=OA，∴∠1=∠2，

∵BC为⊙O的切线，∴∠ODB=90°，

∵∠C=90°，∴∠ODB=∠C，∴OD∥AC，

∴∠3=∠2，∴∠1=∠3，

∴AD是∠BAC的平分线；

（2）解：连接DF，

∵∠B=30°，∴∠BAC=60°，

∵AD是∠BAC的平分线，∴∠3=30°，

∵BC是⊙O的切线，∴∠FDC=∠3=30°，

∴CD=CF=，

∴AC=CD=3，∴AF=2，

过O作OG⊥AF于G，

∴GF=AF=1，四边形ODCG是矩形，

∴CG=2，OG=CD=，

∴OC==．