2021北京十区初三二模数学汇编：方程与不等式（教师版）

2021北京十区初三二模数学汇编：方程与不等式

一．选择题（共6小题）

1．（2021•丰台区二模）若a＞b，则下列不等式一定成立的是（　　）

A．a+3＜b+3 B．﹣2a＜﹣2b C． D．a2＜b2

2．（2021•顺义区二模）关于x的一元二次方程x2+ax+1＝0有两个不相等的实数根，则a的值可以是（　　）

A．3 B．2 C．1 D．0

3．（2021•东城区二模）在下列不等式中，解集为x＞﹣1的是（　　）

A．2x＞2 B．﹣2x＞﹣2 C．2x＜﹣2 D．﹣2x＜2

4．（2021•房山区二模）方程组的解为（　　）

A． B． C． D．

5．（2021•门头沟区二模）方程组的解为（　　）

A． B． C． D．

6．（2021•顺义区二模）某厂家2021年1﹣5月份的产量如图所示．下面有三个推断：

①从1月份到5月份产量在逐月增长；②1月份到2月份产量的增长率是60%；③若设从3月份到5月份产量的平均月增长率为x，则可列方程为220（1+x）2＝480．所有正确的推断是（　　）

A．② B．③ C．①② D．②③

二．填空题（共4小题）

7．（2021•丰台区二模）随着5G网络技术的发展，市场对5G产品的需求越来越大．为满足市场需求，某大型5G产品生产厂家更新技术后，加快了生产速度．现在平均每天比更新技术前多生产30万件产品，现在生产500万件产品所需的时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同．设更新技术前每天生产x万件，依据题意列出关于x的方程　                　．

8．（2021•海淀区二模）《孙子算经》是中国南北朝时期重要的数学专著，其中包含了“鸡兔同笼”“物不知数”等许多有趣的数学问题．

《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”

其译文为：“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺．将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺？”

设木长x尺，绳子长y尺，可列方程组为　                　．

9．（2021•石景山区二模）已知二元一次方程2x﹣3y＝10，若x与y互为相反数，则x的值为　 　．

10．（2021•昌平区二模）方程组的解为　                　．

三．解答题（共16小题）

11．（2021•朝阳区二模）解不等式2﹣3x≥2（x﹣4），并把它的解集在数轴上表示出来．

12．（2021•顺义区二模）解不等式组：．

13．（2021•海淀区二模）关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣4＝0．

（1）求证：方程总有两个实数根；

（2）若方程有一个根小于1，求m的取值范围．

14．（2021•丰台区二模）解不等式组：．

15．（2021•北京二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+1﹣k＝0有两个不相等的实数根．

（1）求k的取值范围；

（2）请你给出一个k的值，并求出此时方程的根．

16．（2021•北京二模）列方程（组）解应用题：《九章算术》是中国传统数学最重要的著作．其中第七卷《盈不足》记载了一道有趣的数学问题：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛．问大、小器各容几何？”

译文：“今有大容器5个，小容器1个，总容量为3斛；大容器1个，小容器5个，总容量为2斛．问大容器、小容器的容量各是多少斛？”

（注：斛，音hú，是古代的一种容量单位）

17．（2021•房山区二模）解不等式组：．

18．（2021•西城区二模）解不等式：≤+x．

19．（2021•房山区二模）已知关于x的一元二次方程x2+（m+2）x+2m＝0．

（1）求证：方程总有两个实数根；

（2）若该方程有一个根大于3，求m的取值范围．

20．（2021•东城区二模）已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+1）x+1＝0（m≠0）．

（1）求证：此方程总有实数根；

（2）写出一个m的值，使得此该方程的一个实数根大于1，并求此时方程的根．

21．（2021•朝阳区二模）关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+m＝0．

（1）求证：方程总有两个实数根；

（2）若方程有一个根为负数，求m的取值范围．

22．（2021•西城区二模）已知关于x的方程（k﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个实数根．

（1）求k的取值范围；

（2）当k取最大整数时，求此时方程的根．

23．（2021•石景山区二模）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2＝0有两个不相等的实数根．

（1）求m的取值范围；

（2）若该方程的两个根都是整数，写出一个符合条件的m的值，并求此时方程的根．

24．（2021•石景山区二模）解不等式≤x﹣1，并把它的解集在数轴上表示出来．

25．（2021•昌平区二模）解不等式组：，并把解集表示在数轴上．

26．（2021•昌平区二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+a＝0有两个不相等的实数根．

（1）求a的取值范围；

（2）请你给出一个符合条件的a的值，并求出此时方程的解．

2021北京初三二模数学汇编：方程与不等式

参考答案

一．选择题（共6小题）

1．【分析】根据不等式的性质1判断A选项；根据不等式的性质3判断B选项；根据不等式的性质2判断C选项；根据有理数的乘方判断D．

【解答】解：A、∵a＞b，

∴a+3＞b+3，本选项不等式不成立，不符合题意；

B、∵a＞b，

∴﹣2a＜﹣2b，本选项不等式成立，符合题意；

C、∵a＞b，

∴＞，本选项不等式不成立，不符合题意；

D、当a＞b＞0时，a2＞b2，本选项不等式不成立，不符合题意；

故选：B．

【点评】本题考查的是不等式的性质，不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个代数式，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．

2．【分析】根据根的判别式得到△＝a2﹣4×1×1＞0，然后解关于a的不等式，即可求出a的范围，并根据选项判断．

【解答】解：根据题意得△＝a2﹣4×1×1＞0，解的a＞2或a＜﹣2．

故选：A．

【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2−4ac有如下关系：

当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；

当△＝0时，方程有两个相等的实数根；

当△＜0时，方程无实数根．

3．【分析】根据不等式的性质逐一判断即可，在不等式两边同乘或同除一个正数或式子，不等号的方向不变；在不等式两边同乘或同除一个负数或式子，不等号的方向改变．

【解答】解：A.2x＞2，不等式的两边同时除以2得：x＞1，即该不等式的解集不合题意，故本选项不合题意；

B．﹣2x＞﹣2，不等式的两边同时除以﹣2得：x＜1，即该不等式的解集不合题意，故本选项不合题意；

C.2x＜﹣2，不等式的两边同时除以2得：x＜﹣1，即该不等式的解集不合题意，故本选项不合题意；

D．﹣2x＜2，不等式的两边同时除以﹣2得：x＞﹣1，即该不等式的解集符合题意，故本选项符合题意；

故选：D．

【点评】本题考查了解一元一次不等式，熟记不等式的基本性质是解答本题的关键．

4．【分析】应用加减消元法，求出方程组的解是多少即可．

【解答】解：，

①+②，得3x＝6，

解得x＝2，

把x＝2代入①，得2﹣y＝5，解得y＝﹣3，

故方程组的解为．

故选：B．

【点评】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，要熟练掌握，注意代入消元法和加减消元法的应用．

5．【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．

【解答】解：方程组，

①+②得：2x＝4，

解得：x＝2，

①﹣②得：2y＝﹣2，

解得：y＝﹣1，

则方程组的解为．

故选：C．

【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．

6．【分析】①观察图形，由220＜240可得出3月份的产量比2月份的产量低，推论①不正确；

②利用增长率＝×100%，可求出1月份到2月份产量的增长率是60%，推论②正确；

③设从3月份到5月份产量的平均月增长率为x，利用5月份的产量＝3月份的产量×（1+增长率），可得出关于x的一元二次方程，推论③正确．

【解答】解：①∵220＜240，

∴3月份的产量比2月份的产量低，推论①不正确；

②∵×100%＝60%，

∴1月份到2月份产量的增长率是60%，推论②正确；

③设从3月份到5月份产量的平均月增长率为x，

依题意得：220（1+x）2＝480，推论③正确．

故选：D．

【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，逐一分析三个推论的正误是解题的关键．

二．填空题（共4小题）

7．【分析】根据题意更新技术前每天生产x万件，现在每天生产（30+x）万件，再根据生产总量÷生产速度＝生产时间列出方程即可．

【解答】解：设更新技术前每天生产x万件，则现在每天生产（30+x）万件，

∵现在生产500万件产品所需的时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同，

∴＝，

故答案为：＝．

【点评】本题主要考查了分式方程的应用，找出题中等量关系列出相应的方程是解题的关键．

8．【分析】根据“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺”可列出方程y﹣x＝4.5，根据“将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺”可列出方程x﹣y＝1，联立两方程即可得出结论．

【解答】解：∵用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺，

∴y﹣x＝4.5；

∵将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，

∴x﹣y＝1．

联立两方程可得出方程组．

故答案为：．

【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．

9．【分析】由x与y互为相反数得y＝﹣x，代入2x﹣3y＝10即可得答案．

【解答】解：∵x与y互为相反数，

∴y＝﹣x，

把y＝﹣x代入2x﹣3y＝10得：

2x﹣3（﹣x）＝10，即5x＝10，

∴x＝2，

故答案为：2．

【点评】本题考查解二元一次方程组，解二元一次方程组基本思想是消元，代入消元法是常用方法之一，本题关键即是用代入消元法把“二元”化为“一元”．

10．【分析】①+②得出3x＝6，求出x把x＝2代入②求出y即可．

【解答】解：，

①+②，得3x＝6，

解得：x＝2，

把x＝2代入②，得2﹣y＝2，

解得：y＝0，

所以方程组的解是，

故答案为：．

【点评】本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．

三．解答题（共16小题）

11．【分析】首先解不等式可得x的取值范围，然后在数轴上表示即可．

【解答】解：2﹣3x≥2（x﹣4），

去括号得：2﹣3x≥2x﹣8，

移项得：﹣2x﹣3x≥﹣2﹣8，

合并同类项得：﹣5x≥﹣10，

系数化为1得：x≤2，

不等式的解集在数轴上表示如下：

．

【点评】此题主要考查了解一元一次不等式，关键是掌握解不等式的步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．

12．【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．

【解答】解：，

解不等式①，得x＜1；

解不等式②，得x＜2；

∴不等式组的解集是x＜1．

【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

13．【分析】（1）先根据方程有两个相等的实数根列出关于m的一元二次方程，求出m的值即可；

（2）利用求根公式得到x1＝m﹣2，x2＝2．根据题意得到m﹣2＜1．即可求得m＜3．

【解答】（1）证明：∵a＝1，b＝﹣m，c＝2m﹣4，

∴△＝b2﹣4ac

＝（﹣m）2﹣4（2m﹣4）

＝m2﹣8m+16

＝（m﹣4）2≥0，

∴此方程总有两个实数根．

（2）解：∵△＝（m﹣4）2≥0，

∴x＝＝．

∴x1＝m﹣2，x2＝2．

∵此方程有一个根小于1．

∴m﹣2＜1．

∴m＜3．

【点评】本题考查的是根的判别式及一元二次方程的解的定义，在解答（2）时得到方程的两个根是解题的关键．

14．【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．

【解答】解：，

由①得，x≤3，

由②得，x＜8，

故不等式组的解集为：x≤3．

【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

15．【分析】（1）根据判别式的意义得到△＝（﹣2）2﹣4×1×（1﹣k）＞0，然后解不等式即可．

（2）根据（1）中k的取值范围，任取一k的值，然后解方程即可．

【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+1﹣k＝0有两个不相等的实数根．

∴△＝（﹣2）2﹣4×1×（1﹣k）＞0，

解得k＞0．

（2）由（1）知，实数k的取值范围为k＞0，

故取k＝1，

则x2﹣2x＝0，即x（x﹣2）＝0，

解得，x1＝0，x2＝2．

【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）根的判别式△＝b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．

16．【分析】设大容器的容量为x斛，小容器的容量为y斛，根据“今有大容器5个，小容器1个，总容量为3斛；大容器1个，小容器5个，总容量为2斛”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．

【解答】解：设大容器的容量为x斛，小容器的容量为y斛，

依题意得：，

解得：．

答：大容器的容量为斛，小容器的容量为斛．

【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．

17．【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．

【解答】解：原不等式组为，

解不等式①，得x＞﹣1，

解不等式②，得x≤2，

∴原不等式组的解集为﹣1＜x≤2．

【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

18．【分析】不等式去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，求出解集即可．

【解答】解：去分母，得3x+3≤2x﹣2+6x，

移项得3x﹣2x﹣6x≤﹣2﹣3，

合并，得﹣5x≤﹣5，

系数化为1，得x≥1．

【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．

19．【分析】（1）根据方程的系数，结合根的判别式可得出△＝（m﹣2）2，利用偶次方的非负性可得出（m﹣2）2≥0，即△≥0，再利用“当△≥0时，方程有两个实数根”即可证出结论；

（2）利用因式分解法解一元二次方程可得出x1＝﹣2，x2＝﹣m，结合该方程有一个根大于3可得出﹣m＞3，解之即可得出m的取值范围．

【解答】（1）证明：∵a＝1，b＝m+2，c＝2m，

∴△＝b2﹣4ac＝（m+2）2﹣4×1×2m＝m2+4m+4﹣8m＝m2﹣4m+4＝（m﹣2）2．

∵无论m取何值时，（m﹣2）2≥0，即△≥0，

∴原方程总有两个实数根．

（2）解：∵x2+（m+2）x+2m＝0，即（x+2）（x+m）＝0，

∴x1＝﹣2，x2＝﹣m．

∵该方程有一个根大于3，

∴﹣m＞3，

∴m＜﹣3．

【点评】本题考查了根的判别式、偶次方的非负性以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有实数根”；（2）利用因式分解法求出方程的解．

20．【分析】（1）根据方程的系数，结合根的判别式可得出△＝（m﹣1）2，利用偶次方的非负性可得出（m﹣1）2≥0，即△≥0，再利用“当△≥0时，方程有实数根”即可证出结论；

（2）利用因式分解法解一元二次方程可得出原方程的解且x1＝，x2＝1，结合该方程的一个实数根大于1，可得出＞1，解之可得出0＜m＜1，任取其内的一值即可得出结论．

【解答】（1）证明：∵a＝m，b＝﹣（m+1），c＝1，

∴△＝b2﹣4ac＝[﹣（m+1）]2﹣4×m×1＝m2+2m+1﹣4m＝m2﹣2m+1＝（m﹣1）2．

∵（m﹣1）2≥0，

∴△≥0，

∴此方程总有实数根；

（2）解：∵mx2﹣（m+1）x+1＝0，

∴（mx﹣1）（x﹣1）＝0，

∴x1＝，x2＝1．

又∵该方程的一个实数根大于1，

∴＞1，

∴0＜m＜1，

∴当m＝时，该方程的一个实数根大于1，此时方程的解为x1＝＝2，x2＝1．

【点评】本题考查了根的判别式、偶次方的非负性以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有实数根”；（2）利用因式分解法求出方程的解．

21．【分析】（1）根据方程的系数，结合根的判别式可得出△＝（m﹣1）2，利用偶次方的非负性可得出（m﹣1）2≥0，即△≥0，再利用“当△≥0时，方程有两个实数根”即可证出结论；

（2）利用因式分解法解一元二次方程可得出x1＝m，x2＝1，结合方程有一个根为负数，即可得出m的取值范围．

【解答】（1）证明：∵a＝1，b＝﹣（m+1），c＝m，

∴△＝b2﹣4ac＝[﹣（m+1）]2﹣4×1×m＝m2+2m+1﹣4m＝m2﹣2m+1＝（m﹣1）2．

∵（m﹣1）2≥0，即△≥0，

∴方程总有两个实数根．

（2）解：∵x2﹣（m+1）x+m＝0，即（x﹣m）（x﹣1）＝0，

∴x1＝m，x2＝1．

∵方程有一个根为负数，

∴m＜0．

【点评】本题考查了根的判别式、偶次方的非负性以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）利用因式分解法求出方程的解．

22．【分析】（1）根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围．

（2）由（1）中k的取值范围得出符合条件的k的最大整数值，代入原方程，利用因式分解法即可求出x的值．

【解答】解：（1）∵关于x的方程（k﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个实数根，

∴，

解得：k≤2且k≠1．

（2）当k＝2时，方程为：x2﹣2x+1＝0，即（x﹣1）2＝0，

解得：x1＝x2＝1．

【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系．

23．【分析】（1）根据关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2＝0有两个不相等的实数根，则△＞0，列出不等式，即可求出m的取值范围．

（2）根据方程的两个根都是整数，确定出m的值，经检验即可得到满足题意的m的值，并求出方程的根（答案不唯一）．

【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2＝0有两个不相等的实数根，

∴（2m+1）2﹣4m2＞0，

解得：m＞﹣．

（2）利用求根公式表示出方程的解为x＝，

∵方程的解为整数，

∴4m+1为完全平方数，

则当m的值为0时，方程为：x2+x＝0，

解得：x1＝0，x2＝﹣1（不唯一）．

【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．

24．【分析】不等式去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，求出解集，表示在数轴上即可．

【解答】解：去分母得：x﹣1≤3x﹣3，

移项合并得：﹣2x≤﹣2，

解得：x≥1．

将解集表示在数轴上如下：

【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．

25．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．

【解答】解：解不等式4x﹣6＜2x，得：x＜3，

解不等式＞，得：x＞，

则不等式组的解集为＜x＜3，

将不等式组的解集表示在数轴上如下：

【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

26．【分析】（1）根据判别式的意义得到△＝42﹣4×1×a＞0，然后解不等式即可．

（2）根据（1）中a的取值范围，任取一a的值，然后解方程即可．

【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+a＝0有两个不相等的实数根．

∴△＝42﹣4×1×a＞0，

解得a＜4．

（2）由（1）知，实数a的取值范围为a＜4，

故取a＝3，

则x2﹣4x+3＝0，即（x﹣3）（x﹣1）＝0，

解得，x1＝3，x2＝1．

【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）根的判别式△＝b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．