2023年山东省菏泽市东明县中考三模数学试题（含解析）

2023年山东省菏泽市东明县中考三模数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．的相反数是（    ）．

A． B． C． D．

2．如今网络购物已成为一种常见的购物方式，2016年11月11日当天某电商平台的交易额就达到了1107亿元，用科学记数法表示为（单位：元）（　　）

A．1.107×1010 B．1.107×1011

C．0.1107×1012 D．1.107×1012

3．下列四个几何体中，主视图是三角形的是（    ）

A． B． C． D．

4．如图，将矩形ABCD沿EF翻折，使B点恰好与D点重合，已知AD＝8，CD＝4，则折痕EF的长为（    ）

A．4 B．5 C． D．

5．小明收集了某酒店2021年10月1日～10月7日每天的用水量（单位：吨），整理并绘制成如图所示的折线统计图，下列结论正确的是（    ）

A．中位数是6吨 B．众数是6吨

C．中位数是4吨 D．众数是4吨

6．如图，在中，,是的两条中线，是上一个动点，则下列线段的长度等于最小值的是（    ）

A． B． C． D．

7．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，反比例函数y＝与正比例函数y＝cx在同一坐标系内的大致图象是（    ）

A． B．

C． D．

8．已知，如图等腰直角沿MN所在的直线以的速度向右做匀速直线运动，若，则和正方形重叠部分的面积与匀速运动所有的时间之间函数的大致图像是（  ）  

A． B． C． D．

二、填空题

9．分解因式：___________．

10．如果分式有意义，那么需要满足的条件是________.

11．若一个多边形的内角和比它的外角和多，则该多边形的边数是_________．

12．如图，以AB为直径的半圆O，绕点A顺时针旋转45°，点B的对应点为点C，AC交半圆O于点D，若，则图中阴影部分的面积为______．

13．若，则代数式的值是___________．

14．正方形，，，…按如图的方式放置，点，，，…和点，，，…分别在直线和轴上，则点的坐标为__________．

三、解答题

15．计算：．

16．解不等式组并把解集在数轴上表示出来．

17．如图，等边三角形△ACB的边长为3，点P为BC上的一点，点D为AC上的一点，连接AP、PD，∠APD=60°．

(1)求证：△ABP∽△PCD；

(2)若PC=2，求CD的长．

18．某海域有一小岛P，在以P为圆心，半径r为海里的圆形海域内有暗礁．一海监船自西向东航行，它在A处测得小岛P位于北偏东60°的方向上，当海监船行驶海里后到达B处，此时观测小岛P位于B处北偏东45°方向上．

(1)求A、P之间的距离AP；

(2)若海监船由B处继续向东航行是否有触礁危险？请说明理由．

19．某公司计划购买A，B两种型号的机器人搬运材料．已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运材料，A型机器人搬运所用时间与B型机器人搬运所用时间相等．

(1)求A，B两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料；

(2)该公司计划采购A，B两种型号的机器人共20台，要求每小时搬运材料不得少于，则至少购进A型号机器人多少台？

20．如图，已知是一次函数和反比例函数的图象的两个交点．

(1)求一次函数和反比例函数的解析式；

(2)观察图象，直接写出的解集；

(3)求的面积．

21．国家航天局消息：北京时间2022年12月4日，神舟十四号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，标志着神舟十四号载人飞行任务取得圆满成功，某中学科技兴趣小组为了解本校学生对航天科技的关注程度，在该校内进行了随机调查统计，将调查结果分为不关注、关注、比较关注、非常关注四类，回收、整理好全部调查问卷后，得到下列不完整的统计图：

(1)此次调查中接受调查的人数为______人，扇形统计图中，“关注”对应扇形的圆心角为____；

(2)补全图1条形统计图；

(3)该校共有900人，根据调查结果估计该校“关注”，“比较关注”及“非常关注”航天科技的人数共多少人？

(4)该校九年一班非常关注的学生有A、B、C、D四人，随机选取两人去参加学校即将举办的航天知识竞赛，请利用列表或画树状图的方法，求出恰好抽到A、B两位同学的概率．

22．如图，在中，，以为直径的⊙与相交于点，与的延长线相交于点，过点作，垂足为点．

(1)求证：是⊙的切线；

(2)若⊙的直径为3，，求的长．

23．（1）尝试探究：如图①，在中，∠BAC90°，ABAC，AF是过点A的一条直线，且B， C在AE的同侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，则图中与线段AD相等的线段是 ；DE与BD、CE的数量关系为 ．

（2）类比延伸：如图②，∠ABC=90°，BA=BC，点A，B的坐标分别是(-2，0)，(0，3)，求点C的坐标．

（3）拓展迁移：在（2）的条件下，在坐标平面内找一点P（不与点C重合），使与全等．请在图②中画出并直接写出点P的坐标．（一种即可）

24．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A(1，0)和B(3，0)，点D为线段BC上一点，过点D作y轴的平行线交抛物线于点E，连结BE．

(1)求抛物线的解析式；

(2)当BDE为直角三角形时，求线段DE的长度；

(3)在抛物线上是否存在这样的点P，使得∠ACP＝45°，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案：

1．B

【分析】利用相反数的定义，先列式，再化简绝对值即可．

【详解】−的相反=-=-．

故选择：B．

【点睛】本题考查相反数与绝对值问题，掌握相反数与绝对值概念是关键．

2．B

【详解】分析：先把1107亿元的单位换成元，然后用科学记数法表示出来即可.

详解：1107亿元=110 700 000 000元=1.107×，

故选B.

点睛：此题考查了科学记数法的表示方法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键.

3．A

【分析】主视图是从几何体的正面看，主视图是三角形的一定是一个锥体，是长方形的一定是柱体，由此分析可得答案．

【详解】A.圆锥的主视图是三角形，符合题意；

B.圆台的主视图是等腰梯形，不符合题意；

C.圆柱的主视图是长方形，不符合题意；

D.棱台的主视图的等腰梯形，不符合题意；

故选A

【点睛】本题考查了几何体的三视图的主视图，解题的关键是：掌握三视图中主视图的定义，是由正面看到的图形．

4．D

【分析】作于，则，由四边形为矩形，得，由折叠的性质及等量代换得，设，则，由勾股定理解得，所以，，根据矩形的判定可证四边形是矩形，可得出，在由勾股定理得即可计算出．

【详解】解：如图，作于，则，

四边形为矩形，

，，，，

，

矩形沿折叠，使点与点重合，

，，，

，

，

设，则，

在中，，

，

解得：，

，，

，

，

四边形是矩形，

，，

，

在中，，

故选：D．

【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的判定和性质、勾股定理，解题的关键是掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化．

5．C

【分析】中位数，因图中是按从小到大的顺序排列的，所以只要找出最中间的一个数（或最中间的两个数）即可，本题是最中间的那个数；对于众数可由条形统计图中出现频数最大或条形最高的数据写出．

【详解】解：由折线统计图知，某酒店2021年10月1日～10月7日用水量由低到高为2吨、2吨、3吨、4吨、4吨、5吨、6吨，

所以中位数为第4个数据，即中位数为4吨，故选项A不合题意，选项C符合题意；

出现次数最多的是2吨和4吨，所以众数是2吨和4吨，故选项B、D不合题意．

故选：C．

【点睛】本题考查了折线统计图，求中位线和众数，根据折线统计图获取信息是解题的关键．

6．B

【分析】如图连接PC，只要证明PB=PC，即可推出PB+PE=PC+PE，由PE+PC≥CE，推出P、C、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为CE的长度．

【详解】解：如图连接PC，

∵AB=AC，BD=CD，

∴AD是BC的垂直平分线，

∴PB=PC，

∴PB+PE=PC+PE，

∵PE+PC≥CE，

∴P、C、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为CE的长度，

故选：B．

【点睛】本题考查轴对称-最短问题，等腰三角形的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

7．C

【分析】利用抛物线开口方向得到a＜0，利用抛物线与y轴的交点位置得到c＞0，然后根据反比例函数的性质和正比例函数的性质对各选项进行判断．

【详解】∵抛物线的开口向下，与y轴的交点在y轴的正半轴，

∴a＜0，c＞0，

∴反比例函数y＝分布在第二、四象限，正比例函数y＝cx经过第一、三象限，

∴C选项正确．

故选C．

【点睛】本题考查二次函数的性质、正比例函数的性质及反比例函数的性质，根据二次函数的图象确定a、c的符号是解题关键.

8．D

【分析】分0＜t＜1时，1≤t≤2时，2＜t≤3时三种情况，分别求出函数解析式，判断出相应的函数图象，找出符合条件的选项即可．

【详解】解：∵△ABC的运动速度是2cm/min，MN＝2AC＝4cm，

∴2÷2＝1min，4÷2＝2min，（4＋2）÷2＝3min，

分情况讨论：

如图1，当0＜t＜1时，重叠部分为梯形，由图形得：AN＝2－2t，NC＝2t，

则面积，函数图象为开口向下的抛物线的一部分，且y随x的增大而增大，

如图2，当1≤t≤2时，重叠部分为△ABC，面积y＝×2×2＝2，函数图象为平行x轴的一条线段，

如图3，当2＜t≤3时，重叠部分是三角形，由图形得：AM＝，

则面积，函数图象为开口向上的抛物线的一部分，且y随x的增大而减小，

纵观各选项，只有D选项符合．

故选：D．

【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，判断出重叠部分的形状并求出相应的函数关系式是解题的关键．

9．

【分析】首先提公因式，再根据，进行分解即可．

【详解】解：

故答案为：．

【点睛】本题考查因式分解，解题的关键是掌握提公因式法和公式分解法．

10．x≠．

【分析】根据分式有意义的条件可得2x-1≠0，再解即可．

【详解】解：由题意得：2x-1≠0，

解得：x≠，

故答案为：x≠．

【点睛】此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．

11．8

【分析】根据多边形的内角和公式以及外角和为360°建立一个关于边数的方程，解方程即可．

【详解】设多边形边数为n，

根据题意有 ，

解得 ，

故答案为：8．

【点睛】本题主要考查多边形内角和与外角和，掌握多边形内角和公式和外角和为360°是解题的关键．

12．/

【分析】连接BD，根据圆周角定理得出∠ADB=90°，根据题意可得∠BAC=45°，AD=BD=，结合图形得出弓形AD的面积与弓形BD的面积相等，利用扇形面积减去三角形面积即可得出结果．

【详解】解：连接BD，

∵AB为半圆O的直径，

∴∠ADB=90°，

∵以AB为直径的半圆O，绕点A顺时针旋转45°，点B的对应点为点C，

∴∠BAC=45°，

∴∠BAC=∠ABD=45°，

∴AD=BD=，

∴弓形AD的面积与弓形BD的面积相等，

∵，

∴，

∴，

故答案为：．

【点睛】题目主要考查圆周角定理，等腰直角三角形的性质，求不规则图形的面积等，理解题意，找准面积之间的关系是解题关键．

13．

【分析】先用y表示x，再代入分式求值，即可求解．

【详解】解：∵，

∴，

∴=，

故答案是：．

【点睛】本题主要考查分式求值，用y表示x，再代入求值，是解题的关键．

14．

【分析】根据直线可求轴，轴的交点坐标，得到第一个正方形的边长，得出点的横坐标，再根据第二个正方形的关系可求出第二正方形的边长，进而确定的横坐标，以此类推即可解答．

【详解】解：当时，，

∴点，

∵四边形为正方形，

∴点的坐标为，点的坐标为，

当时，，

∴点，

∵四边形为正方形，

∴点的坐标为，点的坐标为，

同理可得：点，点的坐标为，点的坐标为，……，

∴点的坐标为，

∴点的坐标为，

故答案为；

【点睛】本题考查了一次函数与正方形，一次函数的规律探究，掌握一次函数的性质是解题的关键．

15．

【分析】先计算零指数幂，负整数指数幂和有理数的乘方，再计算加减法即可．

【详解】解：原式

．

【点睛】本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂，含乘方的有理数混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．

16．，数轴见解析

【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式组的解集表示在数轴上即可．

【详解】

解不等式①得：

解不等式②得： ，

故不等式的解集为：

把解集在数轴上表示出来为：

【点睛】本题考查了一元一次不等式组、数轴的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次不等式组、数轴的性质，从而完成求解．

17．(1)见解析

(2)CD的长为

【分析】（1）由等边三角形和∠APD=60°得，∠B=∠C=∠APD=60°，∠APB+∠CPD=120°，在△APB中，∠APB+∠BAP=120°，由此可得∠BAP=∠CPD．因此△ABP∽△PCD；

（2）由（1）的结论△ABP∽△PCD 可得，从而可以求出线段CD的长．

【详解】（1）证明：∵等边三角形ABC，

∴∠B=∠C=60°，

∵∠APD=60°，

∴∠APB+∠CPD=120°，

在△APB中，∠APB+∠BAP=120°，

∴∠BAP=∠CPD，

∴△ABP∽△PCD；

（2）解：等边三角形边长为3，PC=2，

由（1）得△ABP∽△PCD，

，

∴，

∴CD=．

答：CD的长为．

【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，关键是推出△ABP∽△PCD．

18．(1)

(2)没有，理由见解析

【分析】（1）过点P作PC⊥AB交AB的延长线于点C，根据题意得：∠PAB=90°-60°=30°，∠PBC=90°-45°=45°，AB=，设PC=x，利用三角函数分别得出AC，BC，列出方程求解即可；

（2）由（1）中结论得出PC=，然后与半径比较即可．

【详解】（1）解：过点P作PC⊥AB交AB的延长线于点C，

根据题意得：∠PAB=90°-60°=30°，∠PBC=90°-45°=45°，AB=，

设PC=x，

∴AC=，BC=，

∴AC-BC=，即，

解得：x=，即PC=，

∴AP=；

（2）PC=，半径r为海里的圆形海域内有暗礁．

∵，

∴海监船由B处继续向东航行没有触礁危险．

【点睛】题目主要考查解三角形的应用，实数的大小比较，理解题意，熟练运用解三角形的方法是解题关键．

19．(1)A型机器人每小时搬运，B型机器人每小时搬运

(2)至少购进17台A型机器人

【分析】（1）设B型机器人每小时搬运材料，则A型机器人每小时搬运，根据题意列分式方程，即可求解；

（2）设购进A型a台，根据题意列不等式，求出不等式的最小整数解即可．

【详解】（1）解：设B型机器人每小时搬运材料，则A型机器人每小时搬运，

依题意得：，

解得，

经检验，是原方程的解，

即A型机器人每小时搬运．

答：A型机器人每小时搬运，B型机器人每小时搬运．

（2）解：设购进A型a台，B型台，

由题意得，，

，

解得，，

故满足要求的最小整数解为：．

答：至少购进17台A型机器人．

【点睛】本题考查分式方程和一元一次不等式的实际应用，读懂题意，根据所给关系列出分式方程和不等式是解题的关键，注意分式方程求出解后要进行检验．

20．(1)，

(2)或

(3)

【分析】(1)根据图象上的点满足函数解析式，可得反比例函数解析式，可得点的坐标，根据待定系数法，可得一次函数的解析式；

 (2) 根据一次函数图象在反比例函数图象下方的部分是不等式的解集，可得答案；

(3)根据三角形的面积公式，三角形面积的和差，可得答案．

【详解】（1）解：把代入，

得：，

所以反比例函数解析式为，

把代入，

得：，

解得，

把和代入，

得

解得

所以一次函数的解析式为．

（2）不等式转化为，

所以不等式的解集即为一次函数图象位于反比例函数图象下方时的取值，

所以的解集为或．

（3）当时，，

解得，

所以点，

所以

．

【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求解析式，三角形面积公式及三角形面积的和差，利用函数图象与不等式的关系解不等式．

21．(1)50，

(2)见解析

(3)828人

(4)

【分析】（1）由“关注”的人数除以所占百分比得出此次调查中接受调查的人数，再由乘以“关注”的人数所占的百分比；

（2）求出“非常关注”的人数，补全条形统计图即可；

（3）由该校共有人数乘以该校“关注”，“比较关注”，“非常关注”航天科技的人数所占的比例即可；

（4）画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好抽到A、B两位同学的结果有2种，再由概率公式求解即可．

【详解】（1）解：（人），

，

故答案为：50，．

（2）解：“非常关注”的人数为：（人），补全条形统计图如下：

（3）解：由题意可得：（人），

答：估计该校“关注”，“比较关注”，“非常关注”航天科技的人数共828人．

（4）解：画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中恰好抽到A、B两位同学的结果为2种，

所以恰好抽到A、B两位同学的概率为．

【点睛】本题考查了树状图求概率及条形统计图和扇形统计图等知识，正确画出树状图是解决问题的问题．

22．(1)见解析

(2)

【分析】（1）连接OA，AD，则∠ADB=90°，通过AB=AC、证明D是BC中点，则，因为，所以，即OD是切线；

（2）连接BE，根据条件可求出AC=3，AE=1，根据勾股定理求出BE， 利用∠E=90°证明，又因为D是中点可得DF是△CBE的中位线，所以DF=，即可求出DF．

【详解】（1）证明：连接，

是的直径

为中点

是中点

是的中位线

为的半径

是的切线

（2）连接，

是的直径

的直径为3，

，

在中，

，

 又是中点

，即

是的中位线

【点睛】本题考查了圆的综合应用，解题关键是灵活运用直径对直角和中位线的性质．

23．（1）BD ；DE=BD+CE；（2）(-3，5)；（3）存在，(-5，2)，(3，1)， (1，-2)

【分析】（1）由BD⊥AE，∠BAC90°，推进而得到即可求解；

（2）作轴于点E，得出即可求解；

（3）分两种情况，①当时，；②当时，，讨论并构造图①这样的基本图形即可求解．

【详解】解：（1）∵BD⊥AE，∠BAC90°，

∴，

∴．

在和中，，

∴，

∴AD=CE，BD=AE，

∴DE=AD+AE= BD+CE．

故答案为：BD ，DE=BD+CE；

（2）作轴于点E，则∠CEB=90°

∵ ， ，

∴∠ABO=∠BCE．

又∵，

∴ ，

∴，

∴，

∴(-3，5)；

（3）分类讨论：①当∠PAB=90°时，，

∴，．

∵B(0，3)，A(−2，0)，C(−3，5)，

∴， ，

设P(x，y) ，

∴，，

∴，

解得：， ，

∴(−5，2)，(1，−2)，如图 ；

②当∠ABP=90°时，，

∴AP=AC ，BP=AB，

∴，

解得：， ，

∵点P与点C不重合，

∴(−3，5) 舍去，

∴(3，1) ，如图．

综上，存在这样的P 点，坐标分别为(5，2)，(3，1)， (1，2)．

【点睛】本题主要考查三角形全等的判定和性质，两点的距离公式．利用数形结合的思想是解题关键．

24．(1)y＝﹣x2+4x﹣3

(2)2

(3)存在，P(，﹣)

【分析】(1)将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式得到关于b，c的方程组，然后可求得b、c的值，于是可得到抛物线的解析式；

(2)先求出直线BC的解析式为y＝x﹣3．得出点D不可能是直角的顶点．分当点B为直角的顶点时和当点E为直角顶点时两种情况，求线段DE的长度即可；

(3)先求出AC＝，延长CP交x轴于点F，证得△AFC∽△ACB，得出F（6，0），设直线CF的解析式为y＝dx+e，求出直线FC的解析式为y＝x﹣3列方程组求解即可．

【详解】（1）解：∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（1，0）和B（3，0），

∴    ，

解得：．

∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x﹣3．

（2）解：令x＝0，则y＝﹣3，

∴C（0，﹣3）．

设直线BC的解析式为y＝kx+n，

∴，

解得：．

∴直线BC的解析式为y＝x﹣3．

∵点D为线段BC上一点，

∴设D（m，m﹣3），则点E（m，﹣m2+4m﹣3），

∴DE＝（﹣m2+4m﹣3）﹣（m﹣3）＝﹣m2+3m．

∵B（3，0），C（0，﹣3），

∴OB＝OC＝3．

∴∠OBC＝∠OCB＝45°．

∵DE∥y轴，

∴∠EDB＝∠OCB＝45°，

∴点D不可能是直角的顶点．

①当点B为直角的顶点时，设DE交x轴于点F，

∵∠BDE＝45°，∠EBD＝90°，

∴∠DEB＝45°．

∴△BED为等腰直角三角形．

∴EF＝FD＝DE．

∵DF＝3﹣m．

∴3﹣m＝（﹣m2+3m）．

解得：m＝2或3（m＝3不合题意，舍去）．

∴m＝2．

∴DE＝﹣22+3×2＝﹣4+6＝2．

②当点E为直角顶点时，此时边EB在x轴上，点E与点A重合，

∴m＝1．

∴DE＝﹣12+3×1＝﹣1+3＝2．

综上，当△BDE为直角三角形时，线段DE的长度为2．

（3）解：在抛物线上存在点P，使得∠ACP＝45°，理由：

∵A（1，0），

∴OA＝1．

∴AB=OB﹣OA＝2．

∴AC＝．    

延长CP交x轴于点F，如图，

由（2）知：∠OBC＝∠OCB＝45°，

∴∠AFC+∠FCB＝45°．

∵∠ACP＝45°，

∴∠ACB+∠FCB＝∠ACP＝45°．

∴∠AFC＝∠ACB．

∵∠FAC＝∠CAB，

∴△AFC∽△ACB．

∴．

∴．

∴AF＝5．

∴OF＝OA+AF＝6，

∴F（6，0）．

设直线CF的解析式为y＝dx+e，

∴，

解得：．

∴直线FC的解析式为y＝x﹣3．

∴，

解得：，．

∴点P的坐标为（，﹣）．

【点睛】本题是二次函数综合题，利用了二次函数的图像、待定系数法求二次函数的解析式、直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质, 分类讨论是解决问题的关键.