陕西省师大附中2022-2023学年高三数学（理）下学期第十一次模考试题（Word版附答案）

陕西师大附中2022-2023学年度高三年级第十一次模考

数学（理科）  试题

注意事项：

1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．答案均写在答题纸上，满分分，时间分钟．
  2．答卷前将答题卡上的姓名、班级、考场填写清楚，并检查条形码是否完整、信息是否准确．

3．答卷必须使用的黑色签字笔书写，字迹工整、笔迹清晰．并且必须在题号所指示的答题区内作答，超出答题区域的书写无效．
 

第 Ⅰ 卷（选择题  共60分）

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分， 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)

1. 已知集合，则（    ）

A．  B． C． D．

2. 如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数（i为虚数单位）为“等部复数”，则实数的值为（    ）

A．              B．              C．             D．

3. 若圆锥的母线长为，侧面展开图的面积为，则该圆锥的体积是（    ）

A． B． C． D．

4. 我市拟向新疆哈密地区的三所中学派出5名教师支教，要求每所中学至少派遣一名教师，则不同的派出方法有（    ）

A．300种          B．150种          C．120种         D．90种

5. 若，则（    ）

A． B． C． D．

6. 在如今这个5G时代，6G研究已方兴未艾. 2021年8月30日第九届未来信息通信技术国际研讨会在北京举办. 会上传出消息，未来6G速率有望达到1Tbps，并启用毫米波、太赫兹、可见光等尖端科技，有望打造出空天地融合的立体网络，预计6G数据传输速率有望比5G快100倍，时延达到亚毫秒级水平. 香农公式是被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递率取决于信道带宽、信道内信号的平均功率，信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比. 若不改变带宽，而将信噪比从11提升至499，则最大信息传递率会提升到原来的（    ） (参考数据: )

A． 倍          B．倍          C．倍              D．倍

7. 已知抛物线，倾斜角为的直线交于两点，若线段中点的纵坐标为，则的值为（    ）

A.               B.                  C.                    D.

8. 已知函数，若将的图像向右平移个单位长度后图像关于轴对称，则实数的最小值为（    ）

A． B． C． D．

9. 已知函数，，，，则（    ）

A． B．

C． D．

10.已知双曲线的左、右焦点分别为，过点且垂直于轴的直线与该双曲线的左支交于两点，若的周长为，则当取得最大值时，该双曲线的离心率为（    ）

A．             B．           C．            D．

11. 已知函数，的定义域均为，为偶函数且，，则 （    ）

A．             B．           C．            D．

12. 已知函数有两个零点，且存在唯一的整数，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C．        D．

第 Ⅱ 卷（非选择题 共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题纸中相应的横线上.）

13. 已知，若，则______．

14. 已知点在直线上，点在直线外，若，且，，则的最小值为______.

15. 数列中，．定义：使数列的前项的积为整数的数叫做期盼数，则区间内的所有期盼数的和等于______.

16. 已知正四面体内接于球，为棱上点，满足. 若存在过点且面积为的截面圆，则正四面体棱长的取值范围为______.

三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17. (本小题满分12分)已知数列的前项的积记为，且满足.

(1) 证明：数列为等差数列;

(2) 设，求数列的前项和.

18. (本小题满分12分) 强基计划校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试后才能进入面试环节. 已知甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否通过相互独立，若某考生报考甲大学，每门科目通过的概率均为；该考生报考乙大学，每门科目通过的概率依次为，其中．

(1) 若，分别求出该考生报考甲、乙两所大学在笔试环节恰好通过一门科目的概率；

(2) 强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中通过科目数的数学期望为依据作决策，当该考生更希望通过乙大学的笔试时，求的取值范围．

19. (本小题满分12分) 如图，分别是圆台上､下底面的直径，且，点(异于两点)是下底面圆周上一点，，圆台的高为.

(1) 证明：不存在点使平面平面；

(2) 若，求二面角的余弦值.

20. (本小题满分12分) 已知椭圆的左、右顶点分别为点且椭圆离心率为.

(1) 求椭圆的方程；

(2) 过椭圆的右焦点，且斜率不为的直线交椭圆于，两点，直线，的交于点，求证：点在直线上.

21. (本小题满分12分) 已知函数.

(1) 讨论的单调性；

(2) 若存在两个极值点，，证明：

请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．并请考生务必将答题卡中对所选试题的题号进行涂写．

22．(本小题满分10分)选修：坐标系与参数方程．

如图是以等边的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形，记为勒洛（勒洛三角形是德国机械工程专家，机械运动学家勒洛首先发现的，故命名为勒洛三角形）．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，以轴非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系（规定：极径，极角），已知两点的极坐标分别为，．

(1) 求和的极坐标方程；

(2) 已知点的极坐标，是上的动点，求的取值范围．

23．(本小题满分10分)选修：不等式选讲．

已知，

(1) 当时，解关于的不等式;

(2) 若对，都有成立，求的取值范围.

陕西师大附中2022-2023学年度高三年级第十一次模考

数学（理科）  试题参考答案

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分， 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题纸中相应的横线上.）

13．．  14．．   15．．   16．．

三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．【详解】（1）当时，，，即，

又当时，，得，数列是以3为首项，2为公差的等差数列；

（2）由（1）得，则，

.

18．【详解】（1）设该考生报考甲大学恰好通过一门笔试科目为事件，该考生报考乙大学恰好通过一门笔试科目为事件，

根据题意可得，.

（2）设该考生报考甲大学通过的科目数为X，报考乙大学通过的科目数为，

根据题意可知，，则，，

，

，，

则随机变量的分布列为

，

若，则，故，即的取值范围是.

19．【详解】(1)假设存在这样的点使平面平面，是底面直径，故，作，垂足为，由于平面平面，平面平面，平面，根据面面垂直的性质定理，平面，又平面，故，又，平面，故平面，故，同理可证，又平面 于是平面，又圆台上下底面圆心连线垂直于底面，但显然上下底的圆心连线不和平行，于是假设矛盾，故不存在点使平面平面.

(2)过作，垂足为，下以为原点，为轴，过垂直于且落在底面的射线为轴，建立空间直角坐标系.列出各点坐标

，，设平面的法向量，

可得，不妨取；

，，设平面的法向量，

可得，不妨取.

于是法向量的夹角为.

由图所示二面角的大小是钝角，故二面角大小的余弦值是.

20．【详解】（1）因为，椭圆离心率为，所以，解得，.

所以椭圆的方程是.

（2）①若直线的斜率不存在时，如图，因为椭圆的右焦点为，所以直线的方程是.所以点的坐标是，点的坐标是.

所以直线的方程是，直线的方程是.

所以直线，的交点的坐标是.所以点在直线上.

②若直线的斜率存在时，如图.

设斜率为.所以直线的方程为.联立方程组

消去，整理得.显然.不妨设，，

所以，.所以直线的方程是.

令，得.直线的方程是.

令，得.所以

分子..

所以点在直线上.

21．【详解】（1），设．，△，

当时，△，，则，在上单调递增，当时，△，的零点为，，且，令，得，或，令，得，在，上单调递减，在，，单调递增，当时，△，的零点为，

在上单调递增，在，上单调递减．

（2）证明：由（1）知，当时，存在两个极值点，不妨设，则，要证：，只要证，

只需要证，即证，设，，设函数，，

△，，，在上单调递减，则

又，则，则，

从而．

22．【详解】 (1)因为所在圆的直角坐标方程为，

所以的极坐标方程为，；

因为的直角坐标是，所以的所在的圆的直角坐标方程，

所以的极坐标方程为，．

(2)解：因为Q是上的动点，所以设，，

在中，由余弦定理得

，由，得，

所以，故.

23．【详解】（1）当时，当时，，∴当时，，无解．当时，，∴综上不等式的解集为

（2）由已知∵，

∴∴等价于或，

解得或．