陕西师大附中2022-2023学年度高三年级 第十一次模考 理数答案

陕西师大附中2022-2023学年度高三年级第十一次模考

数学（理科）  试题参考答案

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分， 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题纸中相应的横线上.）

13．．  14．．   15．．   16．．

三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．【详解】（1）当时，，，即，

又当时，，得，数列是以3为首项，2为公差的等差数列；

（2）由（1）得，则，

.

18．【详解】（1）设该考生报考甲大学恰好通过一门笔试科目为事件，该考生报考乙大学恰好通过一门笔试科目为事件，

根据题意可得，.

（2）设该考生报考甲大学通过的科目数为X，报考乙大学通过的科目数为，

根据题意可知，，则，，

，

，，

则随机变量的分布列为

，

若，则，故，即的取值范围是.

19．【详解】(1)假设存在这样的点使平面平面，是底面直径，故，作，垂足为，由于平面平面，平面平面，平面，根据面面垂直的性质定理，平面，又平面，故，又，平面，故平面，故，同理可证，又平面 于是平面，又圆台上下底面圆心连线垂直于底面，但显然上下底的圆心连线不和平行，于是假设矛盾，故不存在点使平面平面.

(2)过作，垂足为，下以为原点，为轴，过垂直于且落在底面的射线为轴，建立空间直角坐标系.列出各点坐标

，，设平面的法向量，

可得，不妨取；

，，设平面的法向量，

可得，不妨取.

于是法向量的夹角为.

由图所示二面角的大小是钝角，故二面角大小的余弦值是.

20．【详解】（1）因为，椭圆离心率为，所以，解得，.

所以椭圆的方程是.

（2）①若直线的斜率不存在时，如图，因为椭圆的右焦点为，所以直线的方程是.所以点的坐标是，点的坐标是.

所以直线的方程是，直线的方程是.

所以直线，的交点的坐标是.所以点在直线上.

②若直线的斜率存在时，如图.

设斜率为.所以直线的方程为.联立方程组

消去，整理得.显然.不妨设，，

所以，.所以直线的方程是.

令，得.直线的方程是.

令，得.所以

分子..

所以点在直线上.

21．【详解】（1），设．，△，

当时，△，，则，在上单调递增，当时，△，的零点为，，且，令，得，或，令，得，在，上单调递减，在，，单调递增，当时，△，的零点为，

在上单调递增，在，上单调递减．

（2）证明：由（1）知，当时，存在两个极值点，不妨设，则，要证：，只要证，

只需要证，即证，设，，设函数，，

△，，，在上单调递减，则

又，则，则，

从而．

22．【详解】 (1)因为所在圆的直角坐标方程为，

所以的极坐标方程为，；

因为的直角坐标是，所以的所在的圆的直角坐标方程，

所以的极坐标方程为，．

(2)解：因为Q是上的动点，所以设，，

在中，由余弦定理得

，由，得，

所以，故.

23．【详解】（1）当时，当时，，∴当时，，无解．当时，，∴综上不等式的解集为

（2）由已知∵，

∴∴等价于或，

解得或．