2023年高考数学三模试题分项汇编（全国通用）专题08 立体几何（理科）（原卷版）

专题08 立体几何（理科）

一、单选题

1．（湖北省云学新高考联盟学校2021-2022学年高一下学期5月联考数学试题）设，为两个不同的平面，则的一个充分条件是（    ）

A．内有无数条直线与平行 B．，平行于同一个平面

C．，平行于同一条直线 D．，垂直于同一个平面

2．（福建省2022届高三毕业班4月百校联合测评数学试题）已知某圆台的高为，上底面半径为，下底面半径为，则其侧面展开图的面积为（    ）

A． B． C． D．

3．（浙江省温州市2023届高三下学期5月第三次适应性考试（三模）数学试题）四面体满足，点在棱上，且，点为的重心，则点到直线的距离为（    ）

A． B． C． D．

4．（黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2023届高三第三次模拟考试数学试题）已知四棱锥的底面为正方形，底面，点是线段上的动点，则直线与平面所成角的最大值为（    ）

A． B． C． D．

5．（江苏省七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、连云港、宿迁）2023届高三三模数学试题）已知底面半径为r的圆锥SO，其轴截面是正三角形，它的一个内接圆柱的底面半径为，则此圆柱与圆锥的侧面积的比值为（    ）

A． B． C． D．

6．（河北省唐山市2023届高三三模数学试题）把边长为的正方形沿对角线折成直二面角，则三棱锥的外接球的球心到平面的距离为（    ）

A． B． C． D．

7．（福建省宁德市普通高中2023届高三质量检测数学试题）中国古代数学家很早就对空间几何体进行了系统的研究，中国传世数学著作《九章算术》卷五“商功”主要讲述了以立体问题为主的各种形体体积的计算公式.例如在推导正四棱台（古人称方台）体积公式时，将正四棱台切割成九部分进行求解.下图（1）为俯视图，图（2）为立体切面图.对应的是正四棱台中间位置的长方体；对应四个三棱柱，对应四个四棱锥.若这四个三棱柱的体积之和为12，四个四棱锥的体积之和为4，则该正四棱台的体积为（    ）

A．24 B．28 C．32 D．36

8．（上海市浦东新区2023届高三三模数学试题）如图，在正方体中，，分别为，的中点，则下列说法错误的是（    ）

A．与垂直 B．与平面垂直

C．与平行 D．与平面平行

9．（湘豫名校联考2023届高三5月三模理科数学试题）已知非钝角中，，，是边上的动点.若平面，，且周长的最小值为，则三棱锥外接球的体积为（    ）

A． B． C． D．

10．（广西2023届高三毕业班高考模拟测试数学（理）试题）在三棱锥中，，平面经过的中点，并且与垂直，当截此三棱锥所得的截面面积最大时，此时三棱锥的外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

11．（广西壮族自治区玉林市2023届高三教学质量检测数学（理）试题）在正四棱柱中，，，为中点，为正四棱柱表面上一点，且，则点的轨迹的长为（    ）

A． B． C． D．

二、多选题

12．（黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2023届高三第三次模拟考试数学试题）正四棱锥中，，，过点作截面分别交棱于点，且，则下列结论正确的是（    ）

A．若为中点，则

B．若平面，则截面的面积

C．若为所在棱的中点，则

D．若为所在棱的中点，则点到平面的距离为

13．（福建省2022届高三毕业班4月百校联合测评数学试题）已知三棱锥外接球的球心为，外接球的半径为，，，（为正数），则下列命题是真命题的是（    ）

A．若，则三棱锥的体积的最大值为

B．若不共线，则平面平面

C．存在唯一一点，使得平面

D．的最大值为

14．（江苏省七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、连云港、宿迁）2023届高三三模数学试题）已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长都为1，E为AB的中点，则（    ）

A．BC1∥平面A1EC

B．二面角A1－EC－A的正弦值为

C．点A到平面A1BC1的距离为

D．若棱柱的各顶点都在同一球面上，则该球的半径为

15．（河北省唐山市2023届高三三模数学试题）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中提到底面为长方形的屋状的楔体（图示的五面体．底面长方形中，，上棱长，且平面，高（即到平面的距离）为，是底面的中心，则（    ）

A．平面

B．五面体的体积为5

C．四边形与四边形的面积和为定值

D．与的面积和的最小值为

16．（河北省唐山市2023届高三三模数学试题）已知为异面直线，平面，平面，是空间任意一条直线，以下说法正确的有（    ）

A．平面与必相交

B．若，则

C．若与所成的角为，则与平面所成的角为

D．若与所成的角为，则平面与的夹角为

17．（辽宁省农村重点高中协作校2023届高三第三次模拟考试数学试题）如图，在几何体中，平面平面平面，底面为直角梯形．为的中点，，则（    ）

A． B．

C．与所成角的余弦值为 D．几何体的体积为2

18．（浙江省温州市2023届高三下学期5月第三次适应性考试（三模）数学试题）如图，圆柱的轴截面是边长为2的正方形，为圆柱底面圆弧的两个三等分点，为圆柱的母线，点分别为线段上的动点，经过点的平面与线段交于点，以下结论正确的是（    ）

A．

B．若点与点重合，则直线过定点

C．若平面与平面所成角为，则的最大值为

D．若分别为线段的中点，则平面与圆柱侧面的公共点到平面距离的最小值为

三、填空题

19．（沪教版（2020）必修第三册经典导学课后作业第11章11.4第2课时球的体积与表面积）体积为的球的表面积为______．

20．（上海市浦东新区2023届高三三模数学试题）陕西历史博物馆收藏的“独孤信多面体煤精组印”是一枚形状奇特的印信（如图1），它的形状可视为一个26面体，由18个正方形和8个正三角形围成（如图2）． 已知该多面体的各条棱长均为1，则其体积为__________．

四、解答题

21．（湘豫名校联考2023届高三5月三模理科数学试题）如图，直三棱柱中，，，，为上一点，且.

(1)证明：平面平面；

(2)若直三棱柱的表面积为，求五面体的体积.

22．（四川省南充市2023届高三三模理科数学试题）如图所示，已知，是圆锥底面的两条直径，为劣弧的中点，，．

(1)证明：；

(2)若为线段上的一点，且平面，求与平面所成角的正弦值．

23．（云南省曲靖市2023届高三第一次教学质量监测数学试题）如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，，，M，N分别是线段AB，PC的中点．

(1)求证：MN平面PAD；

(2)在线段CD上是否存在一点Q，使得直线NQ与平面DMN所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

24．（黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2023届高三第三次模拟考试数学试题）如图，四边形是圆柱的轴截面，点是母线的中点，圆柱底面半径.

(1)求证：平面；

(2)当三棱锥的体积最大时，求平面与平面夹角的余弦值.

25．（山西省朔州市怀仁市第一中学2023届高三三模数学试题）如图，在三棱柱中，平面平面，四边形是边长为2的菱形，为等边三角形，，为的中点，为的中点，为线段上的动点，平面．

(1)请确定点在线段上的位置；

(2)求平面和平面所成二面角的正弦值．

26．（河北省唐山市2023届高三三模数学试题）如图所示，在三棱锥中，已知平面，平面平面，点为线段上一点，且.

(1)证明：平面；

(2)若，，且三棱锥的体积为18，求平面与平面的夹角的余弦值.

27．（山西省晋城一中教育集团南岭爱物学校2023届高三下学期2月月考数学试题）如图，在四棱台中，底面四边形为菱形，，，平面.

(1)证明：；

(2)若是棱上一动点（含端点），平面与平面所成锐二面角的余弦值为，求的值.

28．（【全国校级联考】天津七校联考2017-2018学年高二上期中数学（理）试题）如图，四边形为矩形，四边形为直角梯形，，，，，，.

（1）求证：；

（2）求证：平面；

（3）若二面角的大小为，求直线与平面所成的角.

29．（上海市浦东新区2023届高三三模数学试题）如图所示的几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成，圆锥底面圆O的半径为1，圆锥的高，三棱锥的底面是以圆锥的底面圆的直径AB为斜边的等腰直角三角形，且与圆锥底面在同一个平面上．

(1)求直线和平面所成角的大小；

(2)求该几何体的表面积．

30．（浙江省温州市2023届高三下学期5月第三次适应性考试（三模）数学试题）如图，已知四棱台的体积为，且满足，为棱上的一点，且平面.

(1)设该棱台的高为，求证：；

(2)求直线与平面所成角的正弦值.

31．（江苏省七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、连云港、宿迁）2023届高三三模数学试题）如图，三棱锥P－ABC的底面为等腰直角三角形，∠ABC＝90°，AB＝2．D，E分别为AC，BC的中点，PD⊥平面ABC，点M在线段PE上．

(1)再从条件①、②、③、④四个条件中选择两个作为已知，使得平面MBD⊥平面PBC，并给予证明；

(2)在（1）的条件下，求直线BP与平面MBD所成的角的正弦值．

条件①：；

条件②：∠PED＝60°；

条件③：PM＝3ME：

条件④：PE＝3ME．