2023年甘肃省陇南市西和县中考数学一模试卷（含解析）

2023年甘肃省陇南市西和县中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列各数中，是负数的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  点分，时针与分针所夹的小于平角的角为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  一元一次不等式的解为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  用公式法解方程时，(    )

A.  B.  C.  D.

5.  已知∽，且，，则的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  制鞋厂准备生产一批男皮鞋，经抽样名中年男子，得知所需鞋号和人数如下：

并求出鞋号的中位数是，众数是，平均数约是，下列说法正确的是(    )

A. 因为需要鞋号为的人数太少，所以鞋号为的鞋可以不生产
B. 因为平均数约是，所以这批男鞋可以一律按的鞋生产
C. 因为中位数是，所以的鞋的生产量应占首位
D. 因为众数是，所以的鞋的生产量应占首位

7.  在年北京冬奥会开幕式和闭幕式中，一片“雪花”的故事展现了“世界大同、天下一家”的主题，让世界观众感受到中国人的浪漫，如图，将“雪花”图案边长为的正六边形放在平面直角坐标系中，“雪花”中心与原点重合，，在轴上，则顶点的坐标为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  “五一”节期间，几名同学在老师组织下包租一辆旅游中巴车前往七星关鸡鸣三省红色景区游览，租价为元，出发时因特殊原因两名同学不能前往，结果每个同学比原来多摊了元车费，设实际参加游览的同学共有人，则所列方程为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  道路施工部门在铺设如图所示的管道时，需要先按照其中心线计算长度后再备料．图中的管道中心线的长为单位：(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图，▱中，，，动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度运动到点图是点运动时，的面积随时间变化的图象，则的值为(    )

 

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）

11.  计算： ______ ．

12.  因式分解：______．

13.  直线经过点，且与坐标轴围成的三角形面积为，则 ______ ．

14.  如图矩形的对角线和相交于点，过点的直线分别交和于点，，，，则图中阴影部分的面积为______．

15.  如图，点、、在上，且，若，则的度数为______
 

16.  如图，四边形是菱形，与相交于点，添加一个条件：______ ，可使它成为正方形．

17.  有一个抛物线型蔬菜大棚，将其截面放在如图所示的平面直角坐标系中，抛物线可以用函数来表示，已知米若借助横梁建一个门，要求门的高度为米，则横梁的长度是______ 米
 

18.  如图，点是矩形中边上一点，沿折叠得到对应的，且点的对应点落在上．若，，则______．

三、解答题（本大题共10小题，共88.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
计算：．

20.  本小题分
化简：．

21.  本小题分
在中，，点在的延长线上，的平分线交于点的平分线与射线交于点．
依题意补全图形；用尺规作图法作的平分线；
求的度数．

22.  本小题分
某建筑工地的平衡力矩塔吊如图所示，在配重点处测得塔帽的仰角为，在点的正下方米处的点处测得塔帽的仰角为，请你依据相关数据计算塔帽与地面的距离的高度计算结果精确到米．
参考数据：，，，．

23.  本小题分
某校为丰富课后活动，实现“多彩校园，出彩少年”的教育目标，创建了“诗词雅颂”、“民乐风韵”、“武术雄姿”、“围旗圣手”四个社团依次记为、、、小华和小莉两名同学报名参加社团，一人只能参加一个社团．
小华参加“诗词雅颂”社团的概率是______ ；
请用列表法或画树状图的方法，求小华和小莉两名同学参加同一社团的概率．

24.  本小题分
“春节”是我国最重要的传统佳节，民间历来有除夕夜吃饺子的习俗我市某食品厂为了解市民对今年销售的四种口味的饺子什锦馅饺子，素菜馅饺子，羊肉馅饺子，牛肉馅饺子的喜爱情况，在节后对某居民区进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅统计图尚不完整．

请根据以上信息回答：
本次参加抽样调查的居民有______ 人；
将两幅不完整的统计图补充完整；
该居民区共有常住居民约人，那么估计有多少人喜欢羊肉馅饺子？

25.  本小题分
如图，在直角坐标系中，反比例函数图象与直线相交于点，且点的横坐标为点在该反比例函数的图象上，且点的纵坐标为，连接．
求反比例函数的解析式；
求的度数．

26.  本小题分
如图，是的外接圆，是的直径，过作于点，延长至点，连结，使．
求证：是的切线；
若，求的长．

27.  本小题分
如图，在正方形中，点，分别在边，上，且．

求证：．
【迁移应用】
如图，在矩形中，为常数，点，，，分别在矩形的边上，且，求证：．

28.  本小题分
如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
求抛物线的函数解析式；
已知点在抛物线上，当时，直接写出的取值范围；
抛物线的对称轴与轴交于点，点坐标为，试问在该抛物线上是否存在点，使与全等？若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、，是正数，不符合题意；
B、，是负数，符合题意；
C、，是正数，不符合题意；
D、，是正数，不符合题意；
故选：．
先将个数化简，再逐个进行判断即可．
本题主要考查了化简多重符号，乘方的运算，绝对值的定义，解题的关键是掌握相关内容，正确化简各数．
 

2.【答案】 

【解析】解：由题意知，，
点分，时针与分针所夹的小于平角的角为，
故选：．
根据钟面角的知识得出结论即可．
本题主要考查钟面角的知识，熟练掌握钟面角的知识是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
故选：．
移项，合并同类项，系数化成即可．
本题考查了解一元一次不等式，能正确根据不等式的性质进行变形是解此题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
，，，
．
故选：．
直接利用进行计算即可．
本题考查了解一元二次方程公式法：熟练掌握用公式法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：∽，，
，
，
．
故选：．
根据相似三角形的对应角相等，以及三角形的内角和定理，进行求解即可．
本题考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的对应角相等是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：因为需要鞋号为的人数太少，所以鞋号为的鞋可以少生产，故选项A不符合题意；
因为平均数约是，所以这批男鞋可以一律按的鞋生产是不合理的，其他号码的人就买到鞋子了，故选项B不符合题意；
因为中位数是，所以的鞋的生产量应占首位是不合理的，关键要看众数，表格中的众数是的，故选项C不符合题意，选项D符合题意；
故选：．
根据中位数、众数、平均数的含义和题意，可以判断各个选项中的说法是否合理，从而可以解答本题．
本题考查众数、中位数、加权平均数，解答本题的关键是明确中位数、众数、平均数的含义．
 

7.【答案】 

【解析】解：连接，，如图所示：

正六边形是轴对称图形，中心与坐标原点重合，
是等边三角形，，轴，，
，
，
，
点的坐标为：，
故选：．
先连接，，由于正六边形是轴对称图形，中心与坐标原点重合，可得是等边三角形，，由得，即可求得的坐标．
本题考查了正六边形的性质，掌握正六边形的性质是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：设实际参加游览的同学共人，
根据题意得：．
故选：．
设实际参加游览的同学共人，则原有的几名同学每人分担的车费为：元，出发时每名同学分担的车费为：元，根据每个同学比原来多摊了元车费即可得到等量关系．
本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是首先弄清题意，根据关键描述语，找到合适的等量关系；易错点是得到出发前后的人数．
 

9.【答案】 

【解析】解：图中的管道中心线的长为，
故选：．
根据弧长公式求出答案即可．
本题考查了弧长的计算，能熟记弧长公式是解此题的关键，圆心角为，半径为的弧的长度是．
 

10.【答案】 

【解析】解：由图可知，，，
则，
由，可得是直角三角形，
由勾股定理可得：，
即，
解得，
即，
所以，
所以．
故选：．
由题意可知，，则，利用勾股定理求出，再根据三角形的面积公式计算即可．
本题主要考查了动点函数的图象，解决本题的关键是掌握平行四边形的性质．
 

11.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
直接约分即可．
本题考查了约分，掌握约分的方法，找准公因式是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：．
本题是一个二次三项式，且和分别是和的平方，是它们二者积的两倍，符合完全平方公式的结构特点，因此可用完全平方公式进行因式分解．
本题主要考查利用完全平方公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：如图：直线与轴交于点，
，，
，
当时，即，
解得，
直线与轴交于点，，直线与坐标轴围成的三角形面积为，
，
即，
解得，
即，
故答案为：．

如图，直线与轴交于点，分别求出直线与轴轴的交点坐标，即、，然后应用面积计算即可．
本题考查了一次函数与坐标轴围成图形的面积问题，用参数表示坐标轴与直线的交点坐标及相应线段的值是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，；
又，
在和中，
，
≌，得，
；
，故．
故答案为．
首先结合矩形的性质证明≌，得、的面积相等，从而将阴影部分的面积转化为的面积．
此题主要考查了矩形的性质以及全等三角形的判定和性质，能够根据三角形全等，从而将阴影部分的面积转化为矩形面积的一半，是解决问题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
，
故答案为：．
由平行线的性质得，再由等腰三角形的性质得，然后由三角形内角和定理即可得出结论．
本题考查了平行线的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理等知识，熟练掌握平行线的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：由于四边形是菱形，
如果，
那么四边形是正方形．
故答案为：．
根据“有一个角是直角的菱形是正方形”可得到添加的条件．
本题考查了正方形的判定，解决本题的关键是熟练掌握正方形的判定定理．
 

17.【答案】 

【解析】解：由题意可得，抛物线经过，
将代入，
，
解得，
抛物线的函数关系式为
由题意可得当时，
，
解得，，
米．
则横梁的长度是米．
故答案为：．
根据题意可知抛物线经过点，将这点的坐标代入函数中，求出该函数的解析式；根据门的高度为米，可知点和点的纵坐标为，将代入函数解析式中，得到一个关于的二元一次方程；解此二元一次方程，即可得到，两点的横坐标，从而可确定的长度．
此题主要考查了二次函数的应用，正确得出函数解析式是解题关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，，
，
由折叠的性质，可得：，，，
，
，
，
，，
在中，，，
，
．
故答案为：．
由四边形是矩形，可得，，又由折叠的性质，可得：，，，然后由同角的余角相等，可求得，然后由，，利用三角函数的性质，即可求得答案．
此题考查了折叠的性质、矩形的性质以及三角函数等知识．此题难度适中，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想与转化思想的应用．
 

19.【答案】解：原式
． 

【解析】先计算零指数幂和负整数指数幂，再根据实数的混合计算法则求解即可．
本题主要考查了实数的混合计算，零指数幂和负整数指数幂，正确计算是解题的关键．
 

20.【答案】解：原式




． 

【解析】先计算括号内的分式加法，再计算分式的除法即可得．
本题考查了分式的除法与加法，掌握分式的运算法则是解题关键．
 

21.【答案】解：如图，即为所求．

，，
．
是的平分线，
．
，是的平分线，
，
． 

【解析】根据尺规作图法即可作的平分线；
根据角平分线的定义可得，，然后利用三角形内角和定理即可解决问题．
本题主要考查了复杂作图，复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
 

22.【答案】解：由题意得：，，，米，
设米，
在中，，
米，
米，
在中，，
米，
，
解得：，
米，
塔帽与地面的距离的高度约为米． 

【解析】根据题意可得：，，，米，然后设米，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而列出关于的方程，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

23.【答案】 

【解析】解：小华参加“诗词雅颂”社团的概率是，
故答案为：；
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中小华和小莉两名同学参加同一社团的结果有种，
小华和小莉两名同学参加同一社团的概率为．
直接由概率公式求解即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中小华和小莉两名同学参加同一社团的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

24.【答案】 

【解析】解：本次参加抽样调查的居民人数是人，
故答案为：；
组所对应的百分比是，
组的人数是，所占的百分比是，
将两幅不完整的统计图补充完整如下：

人
答：估计有人喜欢羊肉馅饺子．
根据类有人，所占的百分比是即可求解；
利用总人数减去其他类型的人数即可求得类型的人数，然后根据百分比的意义求出组和组所占的百分比，将两幅不完整的图补充完整即可；
由居民区总人数乘以爱吃饺的人所占的百分比即可．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
 

25.【答案】解：在中，令得，
，
设反比例函数的解析式为，将代入得：
，
，
反比例函数的解析式为；
连接，如图：

点在反比例函数的图象上，且点的纵坐标为，
，
，
，，，
，
． 

【解析】求出的坐标，反比例函数的解析式为，用待定系数法即可得答案；
求出的坐标，用勾股定理逆定理可得答案；
本题考查反比例函数与一次函数的综合应用，解题的关键是掌握函数图象上点坐标的特征、熟练应用勾股定理的逆定理．
 

26.【答案】证明：连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
解：，
，
，
，
，
，
． 

【解析】连接，根据垂直的定义得到，求得，根据等腰三角形的性质得到，推出，根据切线的判定定理即可得到结论；
根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式得到，根据垂径定理即可得到结论．
本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，三角形的面积公式，正确地作出辅助线是解题的关键．
 

27.【答案】证明：四边形为正方形，
，，
又，
，
，
在和中，
，
≌，
；
过点作交于点，过点作交于点，

，，
四边形为平行四边形，
且，
同理且，
由同理可得，
∽，
，
，
． 

【解析】由“”可证≌，可得；
通过证明∽，可得结论．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
 

28.【答案】解：将、代入抛物线得：
，
解得：，
抛物线的函数解析式为：；

令，
解得：或，即、，
抛物线的对称轴为，
当时，，
当时，函数的最小值为顶点纵坐标的值：，
故的取值范围为；

到轴的距离为，由图象可知，要使≌，则点在轴下方，点到轴的距离为，
当时，，
解得：或，
点的坐标为或．
 

【解析】将，两点的坐标代入解析式可得抛物线的解析式；
根据二次函数的性质可求的取值范围；
在轴上方的不存在，点只可能在轴的下方，按照题意，分别求解即可．
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到函数表达式的求解、点的对称性、三角形全等等，其中，要注意分类求解，避免遗漏．