精品解析：上海市嘉定区第二中学2023届高三三模数学试题（解析版）

这是一份精品解析：上海市嘉定区第二中学2023届高三三模数学试题（解析版），共20页。试卷主要包含了填空题，选择题等内容，欢迎下载使用。

1. 设集合，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】化简集合，即可得出的值.
【详解】由题意，
在中，解得：，
∴，
故答案为：.
2. 若复数是的一个根，则______.
【答案】
【解析】
【分析】设，，代入中，得到方程组，求出，求出模长即可.
【详解】由题意得，设，，
则，即，
所以，
因为，所以，故，
故.
故答案为：
3. 二项式的展开式中的系数等于__________.
【答案】5
【解析】
【分析】首先写出展开式的通项，再令求出，最后代入计算可得.
【详解】二项式展开式的通项为，，
令，解得，所以，所以展开式中的系数为.
故答案为：
4. 一般的数学建模包含如下活动过程：①建立模型；②实际情境；③提出问题；④求解模型；⑤实际结果；⑥检验结果，请写出正确的序号顺序________．
【答案】②③①④⑥⑤
【解析】
【分析】根据给定条件，利用数学建模的活动过程及顺序写出结论作答.
【详解】数学建模活动，根据实际情境，提出问题，基于问题，建立模型，通过模型的求解，以检验模型解决问题的结果，
若结果不符合实际，还需重新建立模型；若结果符合实际，问题的回答便有了实际的结果，
所以正确的序号顺序是②③①④⑥⑤.
故答案为：②③①④⑥⑤
5. 在中，已知，则角的大小为__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用正弦定理化边为角，再结合二倍角的正弦公式即可得解.
【详解】因为，
由正弦定理得，即，
又因为，所以，
所以，
所以.
故答案为：.
6. 某工厂生产的产品的质量指标服从正态分布．质量指标介于99至101之间的产品为良品，为使这种产品的良品率达到，则需调整生产工艺，使得至多为________．(若，则)
【答案】##0.5
【解析】
【分析】根据题意以及正态曲线的特征可知，的解集，即可根据集合的包含关系列出不等式组，从而得解．
【详解】依题可知，，再根据题意以及正态曲线特征可知，的解集，
由可得，，
所以，解得：，故σ至多为．
故答案为：．
7. 已知，与垂直，，且与夹角是钝角，则在方向上的投影为______.
【答案】
【解析】
【分析】设，利用向量垂直及模的坐标公式求出向量的坐标，最后根据投影公式直接计算即可.
【详解】设，因为，与垂直，所以，即，
又，所以，即，解得或，
因为与的夹角是钝角，所以，所以，
则在方向上的投影为.
故答案为：.
8. 若关于的方程在上有实数解，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用二倍角公式及辅助角公式化简，结合三角函数性质判定值域即可.
【详解】原方程
等价于
即函数，在上有交点，
∵，∴，，故，
则
故答案为：
9. 甲､乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和体积分别为和.若，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】由题意知甲，乙两个圆锥的侧而展开图刚好拼成个圆，设圆的半径（即圆锥母线）为3，结合，即可求出，再利用勾股定理可得，由此即可求出答案.
【详解】由题意知甲，乙两个圆锥的侧而展开图刚好拼成个圆，
设圆的半径（即圆锥母线）为3，
甲､乙两个圆锥的底面半径分别为，高分别为，
由，则，
解得，
由勾股定理得，
所以，
故答案为：.
10. 在等差数列中，若，且它的前n项和有最大值，则当取得最小正值时，n的值为_______.
【答案】.
【解析】
【详解】试题分析：因为等差数列前项和有最大值，所以公差为负，所以由得，所以，＝，所以当时，取到最小正值．
考点：1、等差数列性质；2、等差数列的前项和公式．
【方法点睛】求等差数列前项和的最值常用的方法有：(1)先求，再利用或求出其正负转折项，最后利用单调性确定最值；(2)利用性质求出其正负转折项，便可求得前项和的最值；（3）利用等差数列的前项和 (为常数)为二次函数，根据二次函数的性质求最值．
11. 若P，Q分别是抛物线与圆上的点，则的最小值为________．
【答案】##
【解析】
【分析】设点，圆心，的最小值即为的最小值减去圆的半径，求出的最小值即可得解．
【详解】依题可设，圆心，根据圆外一点到圆上一点的最值求法可知，
的最小值即为的最小值减去半径．
因为，，
设，
，由于恒成立，
所以函数在上递减，在上递增，即，
所以，即的最小值为．
故答案为：．
12. 下图改编自李约瑟所著的《中国科学技术史》，用于说明元代数学家郭守敬在编制《授时历》时所做的天文计算.图中的都是以为圆心的圆弧，是为计算所做的矩形，其中分别在线段上，.记，，，，给出四个关系式，其中成立的等式的序号有__________.

①
②；
③；
④.
【答案】①③④
【解析】
【分析】利用题设中的垂直关系可得、、、，利用这些直角三角形逐项计算各角的三角函数后可得它们的关系，从而可得正确的选项.
【详解】因为四边形是矩形，故，而，
平面，故平面.
因为四边形是矩形，故，故，而，
而平面，故平面.
而，，，.
故，，而平面，
故平面，因平面，故,
同理，.
在中，有；
在中，有；
在中，有；
故，故①正确.
在中，有，
在中，有；
故，故，故③正确.
在中，有，
在中，有；
故，故④正确.
若不成立，否则由④的结论可得，这样为锐角矛盾.
故答案为：①③④.
【点睛】思路点睛：立体几何中的角的关系的计算，一般放置在直角三角形进行讨论，注意利用空间中的垂直关系实现不同面中的垂直关系的转化.
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中第13题第14题每题4分，第15题第16题每题5分）
13. 下列关于统计概率知识的判断，正确的是（ ）
A. 将总体划分为层，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为、和，且已知，则总体方差
B. 在研究成对数据的相关关系时，相关关系越强，相关系数越接近于
C. 若，，则事件、相互独立
D. 某医院住院的位新冠患者的潜伏天数分别为、、、、、、、，则该样本数据的第百分位数为
【答案】C
【解析】
【分析】利用方差公式可判断A选项；利用相关系数与线性相关关系可判断B选项；利用条件概率公式以及独立事件的定义可判断C选项；利用百分位数的定义可判断D选项.
【详解】对于A选项，设层数据分别为、、、；、、、，
因为，所以，总体平均数为，
所以，，，
所以，总体方差为
，
则，
所以，当或时，，否则，A错；
对于B选项，在研究成对数据的相关关系时，相关关系越强，相关系数的绝对值越接近于，B错；
对于C选项，由条件概率公式可得，所以，，
所以，，故，
所以，事件、相互独立，C对；
对于D选项，将样本数据由小到大排列分别为、、、、、、、，
所以，该样本数据的第百分位数为，D错.
故选：C.
14. 已知函数与它的导函数的定义域均为，则“在上严格增”是“在上严格增”的（ ）
A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件
C. 充要条件D. 非充分非必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】通过特例可得两个条件之间的推出关系，从而可得正确的选项.
【详解】取，则，而上严格增函数，
而不是上严格增函数，
故“在上严格增”推不出“在上严格增”.
取，，则是上严格增函数，
而不是上严格增函数，
故“在上严格增”推不出“在上严格增”.
故“在上严格增”是“在上严格增”的非充分非必要条件，
故选：D.
15. 已知双曲线的离心率为，点的坐标为，若上的任意一点都满足，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】依题意即有恒成立，设点，把表示为关于的二次函数，求出此函数的最小值，即可建立不等式求解.
【详解】设，因为，所以，
则，
所以当时取得最小值为，
依题意恒成立，所以，
即，化简整理得，，
即，又，所以，解得.
故选：C
16. 已知函数，若满足（、、互不相等），则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】作出函数的图象，根据，利用数形结合法求解.
【详解】解：作出函数的图象，如图所示：

不妨设，
因为，
由函数的性质得，，即，
所以，
故选：D
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
17. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，分别为棱，的中点，.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由线面平行的判定定理即可证明；
（2）以点为坐标原点，、、分别为、、轴，如图建立空间直角坐标系.求出直线的方向向量和平面的法向量，由线面角的向量公式代入即可得出答案.
【小问1详解】
证明：在四棱锥中，
取的中点，连接、，
因为是的中点，所以，且.
又因为底面是正方形，是的中点，
所以，且.所以.
所以四边形是平行四边形，所以.
由于平面，平面，所以平面.
【小问2详解】
因为底面是正方形，所以.又因为平面.
所以以点为坐标原点，、、分别为、、轴，如图建立空间直角坐标系.
，，，，，.
，，
设平面的法向量为.有：即令，则，
所以..设直线与平面所成角为.
有：.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
18. 已知数列的前项和为，对任意的正整数，点均在函数图象上.
（1）证明：数列是等比数列；
（2）问中是否存在不同三项能构成等差数列？说明理由.
【答案】（1）证明见解析
（2）不存在，理由见解析
【解析】
【分析】（1）由题意，得到，求得，结合等比数列的定义，即可求解；
（2）由（1）得到，求得，假设存在使得成等差数列，化简得到，即可求解.
【小问1详解】
证明：对任意的正整数，点均在函数图象上，
可得，即，
又因为，可得，
所以数列表示首项为，公比为的等比数列.
【小问2详解】
解：不存在.
理由：由（1）得，
当时，可得，
又因为，所以，
反证法：因为，且从第二项起数列严格单调递增，
假设存在使得成等差数列，
可得，即，
两边同除以，可得
因为是偶数，是奇数，所以，
所以假设不成立，即不存在不同的三项能构成等差数列.
19. 烧烤是某地的特色美食，今年春季一场始于烟火、归于真诚的邂逅，让无数人前往“赶烤”.当地某烧烤店推出150元的烧烤套餐，调研发现，烧烤店成本y（单位：千元，包含人工成本、原料成本、场地成本、设备损耗等各类成本）与每天卖出套餐数x（单位：份）的关系如下：
与可用回归方程（其中为常数）进行模拟.
参考数据与公式：设，则
线性回归直线中，.

（1）填写表格中的三个数据，并预测该烧烤店一天卖出100份的利润是多少元.（利润=售价-成本，结果精确到1元）
（2）据统计，由于烧烤的火爆，饮料需求也激增.4月份的连续16天中某品牌饮料每天为该地配送的箱数的频率分布直方图如图，用这16天的情况来估计相应的概率.供货商拟购置n辆小货车专门运输该品牌饮料，一辆货车每天只能运营一趟，每辆车每趟最多只能装载40箱该饮料，满载发车，否则不发车.若发车，则每辆车每趟可获利500元；若未发车，则每辆车每天平均亏损200元.若或4，请从每天的利润期望角度给出你的建议.
【答案】（1）表格见解析，（元）
（2）建议购买3辆车
【解析】
【分析】（1）根据表格与参考公式计算数据补全空并求出回归方程、估计成本即可；
（2）由频率分布直方图得出送货箱数的概率，再由离散型随机变量的分布列与期望公式得出购3辆车和购4辆车时每天的利润的分布列，比较期望大小即可.
【小问1详解】
由表格及公式通过计算器可计算得
补全填空如下：
根据题意，，
所以
所以，
又，所以，
所以时，（千元），
即卖出100份的成本为11764元，
故利润（元）.
【小问2详解】
根据频率分布直方图，可知送货箱数的概率分布表为：
设该运输户购3辆车和购4辆车时每天的利润分别为元，
则的可能取值为，其分布列为：
故，
的可能取值为，其分布列为：
故，
即购置3辆小货车的利润更高，建议购买3辆车.
20. 已知椭圆的左、右焦点分别为和的下顶点为A，直线，点在上.
（1）若，线段的中点在轴上，求的坐标；
（2）若直线与轴交于，直线经过右焦点，在中有一个内角的余弦值为，求；
（3）在椭圆上存在一个点到的距离为，使，当变化时，求的最小值.
【答案】（1）
（2）或
（3）
【解析】
【分析】（1）由题意及条件先得出椭圆方程，由AM的中点在轴上先得出M纵坐标，再代入直线方程即可求得M；
（2）分类讨论中哪个内角余弦值为，分别解三角形求得对应的值即可；
（3）根据点到直线的距离公式化简得出
，再根据三角函数的有界性得出
，解不等式求出的取值范围即可求得的最小值.
【小问1详解】
由题意可得，
的中点在轴上，则由中点坐标公式可知：A、M的纵坐标之和为0，
的纵坐标为，代入得：.
【小问2详解】

由直线方程可知，由直线方程可知，故有如下两种情况：
①若，则，，即，
.
②若，则，
，
.
即，
综上或.
【小问3详解】
设，则由题意得，
显然椭圆在直线的左下方，则，
即，
，
据此可得，
整理可得，即1，
又
从而.即的最小值为.
21. 已知函数，其导函数为，
（1）若函数有三个零点，且，试比较与的大小.
（2）若，试判断在区间上是否存在极值点，并说明理由.
（3）在（1）的条件下，对任意的，总存在使得成立，求实数的最大值.
【答案】（1）
（2）存在，理由见解析
（3）2
【解析】
【分析】（1）根据分析得到，是方程的两根，由韦达定理得，计算出；
（2）由导函数为二次函数，开口向上，结合特殊点的函数值及零点存在性定理得到极值点情况；
（3）将分别代入，得到不等式组，整理得到，求出，进而求出的最大值.
【小问1详解】
因为，故一正一负，
，所以，所以是方程的两根，
由韦达定理得，
因为
所以，故，，，
因为，，所以；
【小问2详解】
，开口向上，
，，，
①当时，，
根据零点存在定理可知，存在使得，
且时，，单调递增，时，，单调递减，
所以在区间上存在极大值点，
②当时，，，
根据零点存在定理可知，存在使得，且时，，
时，，所以在区间上存在极小值点；
【小问3详解】
对任意的，总存在使得成立，
设，的最大值为，则，
即①，②，③，
由①+③得④，
由②得⑤，
④+⑤得，即，
当且仅当，即时取等，所以的最大值为2.
【点睛】设一元三次方程的三个根为，
原方程可化为，
整理得，
比较左右两边同类项，得到一元三次的根与系数关系：
.
1
3
4
6
7
5
6.5
7
7.5
8
6.8
0.54
6.8
1.53
0.45
箱数
1500
800
100
P
2000
1300
600
-100
P