2023年湖南省衡阳市衡阳县咸水中学中考数学一模试卷（含解析）

2023年湖南省衡阳市衡阳县咸水中学中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知的倒数是，则的相反数为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  阿里巴巴数据显示，年天猫“双”交易额超亿元，数据亿用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  手机已逐渐成为人们日常通讯的主要工具，其背后离不开通讯运营商的市场支持，如图展现的是我国四大通讯运营商的企业图标，其中是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  下列调查中，适合全面调查的是(    )

A. 检测载人飞船零件的质量 B. 检测一批灯的使用寿命
C. 检测杭嘉湖三地的空气质量 D. 检测一批家用汽车的抗撞击能力

6.  若最简二次根式和能合并，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  下列说法错误的是(    )

A. 了解一批灯泡的使用寿命应采用抽样调查
B. 一组数据，，，，的众数是，中位数是
C. 一组数据，，，，的平均数是，方差是
D. “人中至少有人的生日是同一天”是必然事件

8.  在一张桌子上摆放着一些碟子，从个方向看到的种视图如图所示，则这个桌子上的碟子的个数是(    )

 

A.  B.  C.  D.

9.  周末小李带妹妹游览校园，如图所示，在学校门口点观察到刻有校名的牌坊底部的仰角为，牌坊顶部的仰角为，测得斜坡的坡面距离，斜坡的坡度：则牌坊的高度是米参考数据，，；，；结果保留到(    )

A.  B.  C.  D.

10.  下列命题中，假命题是(    )

A. 直角三角形的两个锐角互余
B. 三角形的一个外角大于任何一个内角
C. 有一个角为的等腰三角形是等边三角形
D. 三内角之比为：：的三角形是直角三角形

11.  不等式组的解集在数轴上表示正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

12.  如图，在中，、，是等边三角形，将四边形折叠，使点与点重合，为折痕，则的值是(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13.  式子有意义的的取值范围是______．

14.  化简：______．

15.  若，则代数式的值为______．

16.  一个圆锥的底面半径，高，则这个圆锥的侧面积是______结果取整数．

17.  一艘轮船在静水中的最大航速为，它以最大航速沿江顺流航行所用时间，与以最大航速逆流航行所用时间相同，则江水的流速为______．

18.  如图，正方形的边长是，点在边上，，点是边上不与点，重合的一个动点，把沿折叠，点落在处．若恰为等腰三角形，则的长为______．

 

三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）

19.  先化简，再求值：，其中，．

四、解答题（本大题共7小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

20.  本小题分
如图，和的顶点，，，在同一直线上，点，点在两侧，已知，，与全等吗？说明理由．

21.  本小题分
为鼓励创业，某市政府制定了小型企业的优惠政策，许多小型企业应运而生，某社区统计了该社区今年月份新注册小型企业的数量，并将结果绘制成如图的条形统计图和扇形统计图：

根据以上信息解答下列问题：
该社区月新注册小型企业一共有______家；
补全条形统计图；
扇形统计图中“月份”所在扇形的圆心角的度数为______；
如果该市今年月份新注册小型企业共有家，估计全市今年月份新注册小型企业的数量．

22.  本小题分
如图，在中，，是高，，．
求证：四边形是矩形；
点是的中点，连接，，若，，求的长．

23.  本小题分
用无刻度直尺和圆规作图：不要求写作法，保留必要的作图痕迹．
如图，已知，在边上确定一点，使得；
在图中，作直角，使斜边落在上，且的周长等于线段的长．

 

24.  本小题分
反比例函数，经过点、和点点在点的右侧，作轴，垂足为点、连接、，、．
求反比例函数的解析式；
若，求直线的解析式．

25.  本小题分
如图，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴相交于点，点的坐标为，是抛物线上一点点与点、、都不重合．
求抛物线解析式；
求点的坐标；
设直线与直线相交于点，且存在这样的点，使得：：，试确定点的横坐标．

26.  本小题分
如图，的顶点坐标分别为，，，动点、同时从点出发，分别沿轴正方向和轴正方向运动，速度分别为每秒个单位和每秒个单位，点到达点时点、同时停止运动过点作分别交、于点、，连接、设运动时间为秒．
求点的坐标用含的式子表示；
求四边形面积的最大值或最小值；
是否存在这样的直线，总能平分四边形的面积？如果存在，请求出直线的解析式；如果不存在，请说明理由；
连接，当时，求点到的距离．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的倒数是，
，
则的相反数为：．
故选：．
直接利用倒数的定义得出的值，再利用相反数的定义求出答案．
此题主要考查了倒数和相反数，正确把握相关定义是解题关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：亿，
故选：．
科学记数法表示为的形式，其中，为整数，且比原来的整数位数少，据此换算即可．
此题考查了用科学记数法表示较大的数，正确理解科学记数法的形式并运用是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：．
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此判断即可．
本题主要考查了轴对称图形，熟记定义是解答本题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：、原式，符合题意；
B、原式，不符合题意；
C、原式不能合并，不符合题意；
D、原式，不符合题意，
故选：．
原式各项计算得到结果，即可作出判断．
此题考查了整式的混合运算化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：、检测载人飞船零件的质量，适宜采用全面调查的方式，符合题意；
B、检测一批灯的使用寿命，适宜采用抽样调查的方式，不符合题意；
C、检测杭嘉湖三地的空气质量，适宜采用抽样调查的方式，不符合题意；
D、检测一批家用汽车的抗撞击能力，适宜采用抽样调查的方式，不符合题意．
故选：．
根据全面调查与抽样调查的特点，逐一判断即可解答．
本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
 

6.【答案】 

【解析】解：最简二次根式和能合并，
．
解得．
故选：．
依据同类二次根式的被开方数相同求解即可．
本题主要考查的是同类二次根式的定义，依据同类二次根式的定义列出关于的方程是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：、了解一批灯泡的使用寿命应采用抽样调查，说法正确，不符合题意；
B、一组数据，，，，的众数是，中位数是，说法正确，不符合题意；
C、一组数据，，，，的平均数是，方差是，故本选项说法错误，符合题意；
D、“人中至少有人的生日是同一天”是必然事件，说法正确，不符合题意；
故选：．
根据事件发生的可能性大小判断即可．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
 

8.【答案】 

【解析】解：易得三摞碟子数第一列从上往下分别为，；第二列是，
则这个桌子上共有个碟子．
故选：．
从俯视图中可以看出最底层碟子的个数及形状，从主视图和左视图可以看出每一层碟子的个数，从而算出总的个数．
本题考查对三视图的理解应用及空间想象能力．可从主视图和左视图上分清物体的上下和左右的层数，从俯视图上分清物体的左右和前后位置，综合上述分析数出碟子的个数．
 

9.【答案】 

【解析】解：由斜坡的坡度：设、，
则，
解得，
米，米，
在中，米，
在中，米，
则米，
故选：．
由斜坡的坡度：设、，由求得，据此知、的长，再根据可得答案．
本题主要考查解直角三角形的应用能力，注意能借助仰角与俯角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：、直角三角形的两个锐角互余，正确，是真命题，不符合题意；
B、三角形的一个外角大于任何一个不与它相邻的内角，故错误，是假命题，符合题意；
C、有一个角为的等腰三角形是等边三角形，正确，是真命题，不符合题意；
D、三内角之比为：：的三角形是直角三角形，正确，是真命题，不符合题意，
故选：．
利用直角三角形的性质、三角形的外角的性质、等边三角形的判定及直角三角形的定义分别判断后即可确定正确的选项．
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解直角三角形的性质、三角形的外角的性质、等边三角形的判定及直角三角形的定义，难度不大．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
由得，
由得，
不等式组的解集为．
故选：．
先分别求出各不等式的解集，再求其公共解集即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：是等边三角形，
，，
，
．
在中，，
设，则．
．
设，则，
在中，，
在中，，即，
解得，即

，
故选：．
设，则设，则，利用勾股定理进可求得，即，，进而得到的值．
本题考查了折叠的性质，锐角三角函数值，勾股定理的应用，解题时常常设要求的线段长为，然后根据折叠和轴对称的性质用含的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．
 

13.【答案】 

【解析】解：由题意可得，
解得：且，
故答案为：且．
根据二次根式和分式有意义的条件列不等式组求解．
本题考查二次根式和分式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件被开方数为非负数，分式有意义的条件分母不能为零是解题关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：原式
．
故答案为：．
原式利用同底数幂的减法法则计算即可得到结果．
此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：当时，




故答案为：．
首先把化成，然后把代入，求出算式的值是多少即可．
此题主要考查了代数式求值问题，要熟练掌握，求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．题型简单总结以下三种：已知条件不化简，所给代数式化简；已知条件化简，所给代数式不化简；已知条件和所给代数式都要化简．
 

16.【答案】 

【解析】解：圆锥的母线长，
所以这个圆锥的侧面积．
故答案为．
先利用勾股定理计算出圆锥的母线长，然后利用扇形的面积公式计算圆锥的侧面积．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
 

17.【答案】 

【解析】解：设江水的流速为，根据题意可得：
，
解得：，
经检验得：是原方程的根，
答：江水的流速为．
故答案为：．
直接利用顺水速静水速水速，逆水速静水速水速，进而得出等式求出答案．
此题主要考查了分式方程的应用，正确得出等量关系是解题关键．
 

18.【答案】或 

【解析】

【分析】
本题考查了翻折变换，利用了翻折的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，根据翻折的性质，可得的长，根据勾股定理，等腰三角形的判定，可得答案．
【解答】
解：当时，
过点作，交于，交于，如图，

则，
当时，，
由，，得．
由翻折的性质，得．
，
，
，
；
当时，则易知点在上且不与点、重合；
当时，则，
由翻折的性质，得，
点、在的垂直平分线上，
垂直平分，由折叠，得也是线段的垂直平分线，
点与点重合，这与已知“点是边上不与点，重合的一个动点”不符，
故此种情况不存在，应舍去．
综上所述，的长为或．
故答案为或．  

19.【答案】解：原式
当，时，原式． 

【解析】原式利用单项式乘以多项式，完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，把与的值代入计算即可求出值．
此题考查了整式的混合运算化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

20.【答案】解：≌．
理由如下：，
，
在和中，
，
≌． 

【解析】根据平行线的性质得出，再根据证出≌．
本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键．
 

21.【答案】   

【解析】解：家，
故答案为：；
月份注册的小型企业的数量为：，
月份注册的小型企业的数量为：，
补全的条形统计图，如右图所示；
扇形统计图中“月份”所在扇形的圆心角的度数为：，
故答案为：；
家，
答：全市今年月份新注册小型企业的有家．
根据统计图中的数据，可以求得该社区月新注册小型企业一共有多少家；
根据中的结果和统计图中的数据，可以求得月份和月份注册的小企业的数量，从而可以将条形统计图补充完整；
根据统计图中的数据，可以求得扇形统计图中“月份”所在扇形的圆心角的度数；
根据统计图中的数据可以估计全市今年月份新注册小型企业的数量．
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

22.【答案】证明：，是高，
，，
，
，
四边形为平行四边形，
，
▱是矩形；
解：如图，连接，

点是的中点，，
，
，
或者：，
，
，
四边形是矩形，
，
，
． 

【解析】根据等腰三角形的性质证明四边形为平行四边形，进而利用矩形的判定解答即可；
根据矩形的性质可得，然后利用勾股定理即可解决问题．
此题考查矩形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行四边形的判定与性质，关键是根据等腰三角形的性质和矩形的判定解答．
 

23.【答案】解：如图，点即为所求．

此时，；
如图即为所求．

于，，
，
线段、的垂直平分线，交于，，
，，，，
，
，
的周长等于． 

【解析】作线段的垂直平分线交于点，点即为所求；
如图，作射线，过作于，在上截取，连接，再分别作线段、的垂直平分线，交于，，则即为所求．
本题考查作图复杂作图，线段的垂直平分线，等腰直角三角形，三角形的外角性质等知识，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
 

24.【答案】解：反比例函数的图象经过点，
．
反比例函数的解析式为；
如图，过点作轴于点，交于点，过点作轴于点．

因为，点坐标为，
因为，即点坐标为．
又因为轴，
所以点的纵坐标为．
当时，，解得，点坐标为．
设直线的解析式为，
将，代入，
得，
解得：，
直线的解析式为． 

【解析】由点的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出值，进而可得出反比例函数解析式；
过点作轴于点，交于点，过点作轴于点，则为等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质可得出点的坐标，结合反比例函数图象上点的坐标特征可求出点的坐标，根据点，的坐标，利用待定系数法可求出直线的解析式；
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形、待定系数法求一次函数解析式、反比例函数系数的几何意义以及梯形的面积，解题的关键是：根据点的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征求出值；根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式．
 

25.【答案】解：点在二次函数的图象上，
，
．
抛物线解析式为：；
由得，
当时，有，
解得：，，
点的坐标为．
方法一当时，，
点的坐标为．
设直线的解析式为，
将、代入中，
得：，解得：，
直线的解析式为．
假设存在，设点的坐标为．
当点、在直线的异侧时，点的坐标为，
点在抛物线上，
，
整理，得：．
，
方程无解，即不存在符合题意得点；
当点、在直线的同侧时，点的坐标为，
点在抛物线上，
，
整理，得：，
解得：，，
点的横坐标为或．
综上所述：存在点，使得：：，点的横坐标为或．
方法二当时，，
点的坐标为．
设直线的解析式为，
将、代入中，
得：，解得：，
直线的解析式为．
过点作轴交直线于点，过点作轴交直线于点，如图所示．
点的坐标为，
点的坐标为，
．
，
∽，
，
．
设点的坐标为，则点的坐标为，
，
解得：，，
存在点，使得：：，点的横坐标为或． 

【解析】由点的坐标，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出的值，即可得到抛物线的解析式；
代入求出值，可得出点的坐标；
解法一代入求出值，进而可得出点的坐标，由点、的坐标利用待定系数法可求出直线的解析式，假设存在，设点的坐标为，分、在直线的同侧和异侧两种情况考虑，由点、的坐标结合：：即可得出点的坐标，再利用二次函数图象上点的坐标特征可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论；
解法二代入求出值，进而可得出点的坐标，由点、的坐标利用待定系数法可求出直线的解析式，过点作轴交直线于点，过点作轴交直线于点，由点的坐标可得出的值，结合相似三角形的性质可得出的值，设点的坐标为，则点的坐标为，结合的值可得出关于的含绝对值符号的一元二次方程，解之即可得出结论；
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、三角形的面积、勾股定理、一次函数图象上点的坐标特征以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是：解法一分、在直线的同侧和异侧两种情况找出点的坐标；解法二利用相似三角形的性质找出．
 

26.【答案】解：过点作轴的垂线，交于点，交于点，
由题意得：，，，
，，，
，，，
，
，，
∽，
，
，
，
点的坐标是
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，




，
点到达点时，、同时停止，
，
时，四边形的最大面积为．
，，
，
，
四边形是平行四边形，
平分四边形面积的直线经过四边形的中心，即的中点，
设中点为，
，，
，
．
，
化简得：，
直线的解析式为：．
当时，点和点均在点处，，
此时点在点处，
点到的距离为边上的高，记为，
，
，
点到的距离为：；
当时，
，
，
又，
∽，
，
，
解得：．
，，，
，
，
，
．
设点到的距离为，
，
，
解得：．
当时，不符合题意；
综上所述：点到的距离为或． 

【解析】过点作轴的垂线，分别交和轴于点和点，利用三角形相似写出点的坐标；
四边形的面积可以用分割法求解，和的面积之和；四边形和的面积之差，其它方法亦可；
先判断四边形的形状，就可知道平分四边形的直线经过的定点坐标用含的式子表示，然后消去，得到直线的解析式；
利用三角形相似解题，由和由题意可知，得证∽，再利用相似的性质求出对应的值，再由等面积法求高，求出点到的距离．
本题是函数的综合题，在解题过程中可以利用函数的知识进行解题，也可以用几何知识解题．在这里求点的坐标所使用的是几何法，也可以求出直线的解析式之后令，求出对应的即可写出点的坐标；第问与第有联系，第问可以用分割法求解，也可以先判断出四边形的形状再求面积；第三问考查了学生对平行四边形的中心对称性的灵活应用和求动点路径的掌握；最后一问则考查了学生对于等面积法求高的熟练度．