专题16 解三角形综合题-备战宁波中考数学真题模拟题分类汇编

专题16 解三角形综合题

1．（•宁波）每年的11月9日是我国的“全国消防安全教育宣传日”，为了提升全民防灾减灾意识，某消防大队进行了消防演习．如图1，架在消防车上的云梯可伸缩（最长可伸至，且可绕点转动，其底部离地面的距离为，当云梯顶端在建筑物所在直线上时，底部到的距离为．

（1）若，求此时云梯的长．

（2）如图2，若在建筑物底部的正上方处突发险情，请问在该消防车不移动位置的前提下，云梯能否伸到险情处？请说明理由．

（参考数据：，，

【答案】（1）；（2）见解析

【详解】（1）在中，，，

，

此时云梯的长为；

（2）在该消防车不移动位置的前提下，云梯能伸到险情处，

理由：由题意得：

，

，

，

在中，，

，

，

在该消防车不移动位置的前提下，云梯能伸到险情处．

2．（2021•宁波）我国纸伞的制作工艺十分巧妙．如图1，伞不管是张开还是收拢，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的角，且，从而保证伞圈能沿着伞柄滑动．如图2是伞完全收拢时伞骨的示意图，此时伞圈已滑动到点的位置，且，，三点共线，，为中点．当时，伞完全张开．

（1）求的长．

（2）当伞从完全张开到完全收拢，求伞圈沿着伞柄向下滑动的距离．

（参考数据：，，

【答案】（1）20cm；（2）

【详解】（1）为中点，

,

，

；

（2）如图，过点作于点,

,

,

平分,,

,

在中，

,

,

，

．

伞圈沿着伞柄向下滑动的距离为．

3．（2020•宁波）图1是一种三角车位锁，其主体部分是由两条长度相等的钢条组成．当位于顶端的小挂锁打开时，钢条可放入底盒中（底盒固定在地面下），此时汽车可以进入车位；当车位锁上锁后，钢条按图1的方式立在地面上，以阻止底盘高度低于车位锁高度的汽车进入车位．图2是其示意图，经测量，钢条，．

（1）求车位锁的底盒长．

（2）若一辆汽车的底盘高度为，当车位锁上锁时，问这辆汽车能否进入该车位？

（参考数据：，，

【答案】（1）68cm；（2）见解析

【详解】（1）过点作于点，

，

，

在中，，，

，

．

（2）在中，

，

，

当车位锁上锁时，这辆汽车不能进入该车位．

4．（2022•宁波模拟）如图①，一台灯放置在水平桌面上，底座与桌面垂直，底座高，连杆，，与始终在同一平面内．

（1）如图②，转动连杆，，使成平角，，求连杆端点离桌面的高度．

（2）将图②中的连杆再绕点逆时针旋转，如图③，此时连杆端点离桌面的高度减小了多少？

（参考数据：，，

【答案】（1）；（2）

【详解】（1）作于点，则，

，，

．

四边形为矩形．

，，

，

，

，

，

在中，，

，

，

，

，

答：连杆端点离桌面的高度为；

（2）如图3，作于，于，于，于．则四边形是矩形，

，，

，

，，

，，

，

下降高度：．

答：此时连杆端点离桌面的高度减小了．

5．（2022•北仑区一模）某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条河上修建一座步行观光桥．如图，该河旁有一座小山，山高，坡面的坡比为（注坡比是指坡面的铅垂高度与水平宽度的比），点、与河岸，在同一水平线上，从山顶处测得河岸和对岸的俯角，分别为，．

（1）求山脚到河岸的距离；

（2）若在此处建桥，试求河宽的长度．（结果精确到

（参考数据：，，

【答案】（1）；（2）

【详解】（1）由题意得：

，，

，

在中，，

，

，

山脚到河岸的距离为；

（2）在中，，

，

，

河宽的长度为．

6．（2022•宁波模拟）宿迁市政府为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中、都与地面平行，车轮半径为，，，坐垫与点的距离为．

（1）求坐垫到地面的距离；

（2）根据经验，当坐垫到的距离调整为人体腿长的0.8时，坐骑比较舒适．小明的腿长约为，现将坐垫调整至坐骑舒适高度位置，求的长．

（结果精确到，参考数据：，，

【答案】（1）99.5cm；（2）3.9cm

【详解】（1）如图1，过点作于点，

由题意知、，

，

则单车车座到地面的高度为；

（2）如图2所示，过点作于点，

由题意知，

则，

．

7．（2022•宁波一模）如图，某社会实践活动小组实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸边点处，测得河的北岸边点在其北偏东方向，然后向西走35米到达点，测得点在点的北偏东方向．

（1）求的度数；

（2）求这段河的宽度约为多少米．

（参考数据：，，

【答案】（1）；（2）这段河的宽度约为55米

【详解】（1）如图，由题意得：，，

；

（2）过作于，则，

，

，

即，

设米，则米，

，

，

，

解得：，

（米，

答：这段河的宽度约为55米．

8．（2022•北仑区二模）我市准备在相距2千米的，两工厂间修一条笔直的公路，但在地北偏东方向、地北偏西方向的处，有一个半径为0.6千米的住宅小区（如图），问修筑公路时，这个小区是否有居民需要搬迁？（参考数据：，

【答案】见解析

【详解】过点作于

，

，

千米，

即千米，

（千米）

0.73千米千米．

答：修的公路不会穿越住宅小区，故该小区居民不需搬迁．

9．（2022•鄞州区模拟）图1是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形表示该车的后备箱，在打开后备箱的过程中，箱盖可以绕点逆时针方向旋转，当旋转角为时，箱盖落在的位置（如图2所示）．已知厘米，厘米，厘米．

（1）求点到的距离；

（2）求、两点的距离．

【答案】（1）点到的距离为厘米；（2）厘米

【详解】（1）过点作，垂足为点，交于点，如图3所示．

由题意，得：厘米，．

四边形是矩形，

，

．

在△中，厘米．

又厘米，厘米，

厘米，

厘米．

答：点到的距离为厘米．

（2）连接，，，如图4所示．

由题意，得：，，

是等边三角形，

．

四边形是矩形，

．

在中，厘米，厘米，

厘米，

厘米．

答：、两点的距离是厘米．

10．（2022•海曙区一模）如图，岛在岛的北偏东方向，在岛的北偏西方向．

（1）从岛看，两岛的视角的度数是 　　．

（2）测量发现，岛与岛之间的距离为20海里，求岛与岛之间的距离．（结果精确到0.1海里）（参考数据：，，

【答案】（1）；（2）18.8海里

【详解】（1）两正北方向平行，

，

；

（2）由（1）可知：，

，

，

海里，

，

海里．

11．（2022•宁波模拟）在日常生活中我们经常会使用到订书机，如图是装订机的底座，是装订机的托板，始终与底座平行，连接杆的点固定，点从向处滑动，压柄可绕着转轴旋转．已知，．

（1）当托板与压柄夹角时，如图①，点从点滑动了，求连接杆的长度；

（2）当压柄从（1）中的位置旋转到与底座的夹角，如图②．求这个过程中点滑动的距离．（答案保留根号）（参考数据：，．

【答案】（1）连接杆的长度为；（2）这个过程中点滑动的距离为

【详解】（1）如图①，作于，

在中，，，，

，，

，．

，，

，

．

答：连接杆的长度为；

（2）如图②，作的延长线于点，

，

，，

在中，，

，

，

在中，，

，

，

点滑动的距离为：．

答：这个过程中点滑动的距离为．

12．（2022•海曙区校级一模）我们知道良好的坐姿有利于青少年骨骼生长，有利于身体健康，那么首先要有正确的写字坐姿，身子上半部坐直，头部端正、目视前方，两手放在桌面上，两腿平放，胸膛挺起，理想状态下，如图1所示，将图1中的眼睛记为点，腹记为点，笔尖记为点，且与桌沿的交点记为点

（1）若，，求到的距离及、两点间的距离（结果精确到．

（2）老师发现小红同学写字姿势不正确，眼睛倾斜至图2的点，点正好在的垂直平分线上，且，于是要求其纠正为正确的姿势．求眼睛所在的位置应上升的距离．（结果精确到

参考数据：，，，，

【答案】（1）到的距离为，、两点间的距离为；（2）眼睛所在的位置应上升的距离为

【详解】（1）过作于，

则，

，，

，，

，

，

，

，

，

答：到的距离为，、两点间的距离为；

（2）过作，

过作交的延长线于，

则四边形是矩形，

，

点正好在的垂直平分线上，

，

，

，

，

答：眼睛所在的位置应上升的距离为．

13．（2022•鄞州区校级一模）如图，为测量山高，一架无人机在山脚处）的正上方处），测得山顶处）的俯角为，若保持飞行高度不变继续行驶到达处，此时测得，两处的俯角为，．

（1）求无人机的飞行高度；

（2）求山高．

【答案】（1）无人机的飞行高度为；（2）

【详解】（1）在中，，，

，

无人机的飞行高度为；

（2）延长，，交于点，

则，，

设，

在中，，

，

在中，，

，

，

，

，

，

，

山高为．

14．（2022•江北区一模）图1，图2分别是一名滑雪运动员在滑雪过程中某一时刻的实物图与示意图，已知运动员的小腿与斜坡垂直，大腿与斜坡平行，为头部，假设，，三点共线，若滑雪杖长为，，，，求此刻运动员头部到斜坡的高度（精确到．（参考数据：，，

【答案】

【详解】如图，连接，则，．

在直角中，，，，

，

在直角中，，，，

，

．

故此刻运动员头部到斜坡的高度约为．

15．（2022•宁波模拟）据调查，超速行驶是引发交通事故的主要原因之一，所以规定以下情境中的速度不得超过．如图，在一条笔直公路的上方处有一探测仪，于，，第一次探测到一辆轿车从点匀速向点行驶，测得，2秒后到达点，测得，，

（1）求，的长度．

（2）通过计算，判断此轿车是否超速．

【答案】（1），；（2）见解析

【详解】在中，，，

，

在中，，，

，

答：，；

（2），

汽车行驶的速度为，

，

超速了．

16．（2022•鄞州区一模）如图1是可调节高度和桌面角度的电脑桌，它的左视图可以抽象成如图2所示的图形，底座长为，支架垂直平分，桌面的中点固定在支架处，宽为．身高为的使用者站立处点与点，在同一条直线上，．点到点的距离是视线距离．

（1）如图2，当，时，求视线距离的长；

（2）如图3，使用者坐下时，高度下降，当桌面与的夹角为时，恰有视线，问需要将支架调整到多少？

（参考数据：，，

【答案】（1）；（2）

【详解】（1）如图，连接，延长交于点，

根据题意可得四边形是矩形，，，

，，

，

在中，，

视线距离的长为；

（2）如图，连接，延长交于点，

由题意可得：，，，，

在中，，即，

，

，

需要将支架调整到．

17．（2022•慈溪市一模）图1为科研小组研制的智能机器，水平操作台为，底座固定，高为，始终与平台垂直，连杆长度为，机械臂长度为，点，是转动点，，与始终在同一平面内，张角可在与之间（可以达到与变化，可以绕点任意转动．

（1）转动连杆，机械臂，使张角最大，且，如图2，求机械臂臂端到操作台的距离的长．

（2）转动连杆，机械臂，要使机械臂端能碰到操作台上的物体，则物体离底座的最远距离和最近距离分别是多少？

【答案】（1）机械臂臂端到操作台的距离的长为；（2）物体离底座的最近距离为，物体离底座的最远距离为

【详解】（1）过点作，垂足为，

则，，

，

，

在中，，

，

，

，

机械臂臂端到操作台的距离的长为；

（2）当时，此时，物体在点位置与底座最近，如图：

过点作，垂足为，过点作，垂足为，

则，，，

在中，，

，

，

，

，

，

，

在中，，

，

，

物体离底座的最近距离为，

当、、三点共线时，此时点与底座距离最远，如图：

，，

，

在中，，

，

物体离底座的最远距离为．

18．（2022•镇海区二模）随着科学技术的不断进步，无人机被广泛应用到实际生活中，小星利用无人机来测量翡翠湖某处东西岸边，两点之间的距离．如图所示，小星站在湖边的处遥控无人机，无人机在处距离地面的飞行高度是，此时从无人机测得岸边处的俯角为，他抬头仰视无人机时，仰角为，若小星的身高，（点，，，在同一平面内）．

（1）求仰角的正弦值；

（2）求，两点之间的距离（结果精确到．

，，，，，

【答案】（1）；（2）

【详解】（1）如图，过点作于，过点作于，

，

四边形为矩形，

，，

，

在中，，

即．

答：仰角的正弦值为；

（2）在中，，

在中，，，

，

，

．

答：，两点之间的距离约为．

19．（2022•余姚市一模）如图，某渔船向正东方向以10海里时的速度航行，在处测得岛在北偏东的方向，1小时后渔船航行到处，测得岛在北偏东方向，已知该岛周围9海里内有暗礁．

（1）处离岛有多远？

（2）如果渔船继续向东航行，有无触礁危险？

（3）如果渔船在处改为向东偏南方向航行，有无触礁危险？参考数据：，，．

【答案】（1）10海里；（2）有危险；（3）没有

【详解】（1）如图，过点作，垂足为，

由题意得，，，

，

（海里）；

（2）在中，，，

（海里）海里海里，

有危险；

（3）如图，过点作于，

在中，

，，

（海里）海里，

没有触礁的危险．

20．（2022•江北区模拟）桔槔俗称“吊杆”“称杆”，如图1，是我国古代农用工具，桔槔始见于（墨子备城门），是一种利用杠杆原理的取水机械．如图2所示的是桔槔示意图，是垂直于水平地面的支撑杆，是杠杆，且米，．当点位于最高点时，；当点从最高点逆时针旋转到达最低点．（结果精确到；参考数据：，，

（1）求此时水桶所经过的路径长；

（2）求此时水桶上升的高度．

【答案】（1）1.7米；（2）此时水桶上升的高度为1.6米

【详解】（1）米，，

米，

水桶所经过的路径为圆心角度数为54.5度，半径为1.8米的弧长，

（米）；

（2）过作，过作于，过作于，

，，

，

，，

（米），

在中，（米），

在△中，（米），

（米），

此时水桶上升的高度为1.6米．

21．（2022•宁波模拟）图1是停车场入口处的升降杆，当汽车刷牌照进入时，升降杆就会从水平位置升起．图2是其示意图，其中，，，，．现由于故障，不能完全升起，最大为．

（1）求故障时点最高可距离地面多少（精确到．

（2）若一辆箱式小货车宽，高，请问这辆车能否在升降杆故障时进入停车场？（参考数据：，，

【答案】（1）3.3米；（2）一辆箱式小货车宽，高不能在升降杆故障时进入停车场

【详解】（1）过点作于点，则，

当故障时点最高时，，

在中，，即，

，

此时点离地面长为：；

（2）在上取点，使得，

过点作，交于点，交于点，则，，

在中，，即，

，

，

一辆箱式小货车宽，高不能在升降杆故障时进入停车场．

22．（2022•宁波模拟）为了保证人们上下楼的安全，楼梯踏步的宽度和高度都要加以限制．中小学楼梯宽度的范围是含，高度的范围是（含．如图是某中学的楼梯扶手的截面示意图，测量结果如下：，分别垂直平分踏步，，各踏步互相平行，，，，试问该中学楼梯踏步的宽度和高度是否符合规定．（结果精确到，参考数据：，

【答案】见解析

【详解】连接，作于点，

，，分别垂直平分踏步，，

，，

四边形是平行四边形，

，，

，，

，，

，，

，，

该中学楼梯踏步的高度符合规定，

，，

该中学楼梯踏步的宽度符合规定，

由上可得，该中学楼梯踏步的宽度和高度都符合规定．

23．（2022•鄞州区校级三模）小华同学将笔记本电脑水平放置在桌子上，当显示屏的边缘线与底板的边缘线所在水平线的夹角为时，感觉最舒适（如图①．侧面示意图为图②；使用时为了散热，他在底板下面垫入散热架，如图③，点、、在同一直线上，，，．

（1）求的长；

（2）如图④，垫入散热架后，要使显示屏的边缘线与水平线的夹角仍保持，求点到的距离．（结果保留根号）

【答案】（1）12cm；（2）

【详解】（1）如图③，在中，，．

；

（2）如图④，过点作，垂足为，过点作，垂足为，

由题意得，，

当显示屏的边缘线与水平线的夹角仍保持，可得，

，

，

在△中，，

又，

，

即：点到的距离为．

24．（2022•鄞州区模拟）如图是由梯子 和梯子搭成的脚手架，其中米，．

（1）求梯子顶端离地面的高度的长和两梯脚之间的距离的长．

（2）生活经验告诉我们，增大两梯脚之间的距离可降低梯子的高度，若长达到6米，则梯子的高度下降多少米？（以上结果均精确到0.1米，供参考数据：，，

【答案】（1）3.4米；（2）0.7米

【详解】（1）米，，

，

在中，米，

米，

米，

（2）米，米，

米，

梯子的高度下降米．

25．（2022•海曙区校级三模）某同学利用数学知识测量建筑物的高度．他从点出发沿着坡度为的斜坡步行26米到达点处，用测角仪测得建筑物顶端的仰角为，建筑物底端的俯角为．若为水平的地面，测角仪竖直放置，其高度米．

（1）求点到水平地面的距离．

（2）求建筑物的高度．（精确到0.1米）

（参考数据：，，，

【答案】（1）10米；（2）27.6米

【详解】（1）延长交于点，

斜坡的坡度为，

，

设米，米，

在中，米，

，

，

或（舍去），

（米，

点到水平地面的距离为10米；

（2）过点作，垂足为，

则（米），

在中，，

（米），

在中，，

（米），

（米），

建筑物的高度约为27.6米．