2022-2023学年重庆市二0三中学高一上学期期末数学试题（解析版）

2022-2023学年重庆市二0三中学高一上学期期末数学试题

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先求出集合A中的元素，再根据集合的交集运算，求得答案.

【详解】集合，而，

故，

故选：C

2．（    ）

A． B． C． D．—

【答案】C

【分析】结合诱导公式、两角和的正弦公式求得正确答案.

【详解】

.

故选：C

3．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由题意可得，，又由，可得，化简得，代入即可得答案.

【详解】解：因为，

所以，

所以，

又因为，

所以，

所以.

故选：A.

4．函数的部分图象大致是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】将函数写成分段函数，再根据特殊值判断即可.

【详解】解：因为，且，

，故符合题意的只有A.

故选：A

5．设，则的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】可以根据指数函数和对数函数的单调性得出的范围，然后即可得出的大小关系.

【详解】解：，，

∴．

故选：D

6．已知 是上的单调函数，则实数的取值范围是（    ）

A．  B．  C．  D．

【答案】D

【分析】根据的解析式判断出在上为减函数，从而得，求解即可．

【详解】解：因为当时，为减函数，

又因为在上为单调函数，

所以只能为单调递减函数，

当时，一次函数单调递减，

当时，指数函数，

所以将代入得：，

又因为在上为单调递减函数，

所以，

解得：，

故选：D．

7．若定义在的奇函数在上单调递增，且，则满足的的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】分析函数的单调性，结合已知条件可得出，然后对、的符号进行分类讨论，结合函数的单调性可得出不等式的解集.

【详解】因为定义在的奇函数在上单调递增，则该函数在上也为增函数，

且有，

当时，即当时，由可得，

此时，解得，此时；

当时，则，合乎题意；

当时，即当时，由可得，

可得，解得，此时；

当时，则有，合乎题意；

当时，即当时，由可得，

可得，解得，此时.

综上所述，满足不等式的的取值范围是.

故选：D.

8．已知函数，若（），则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由，可知由可得

根据基本不等式可求的取值范围.

【详解】 若由，则 与矛盾；同理 也可导出矛盾，故 而

即

故选B

【点睛】本题考查分段函数的性质以及基本不等式的应用，属中档题.

二、多选题

9．下列说法正确的是（    ）

A．命题“，”的否定是“，”

B．函数与的图象关于对称

C．为奇函数

D．函数单调递增区间为，

【答案】BCD

【分析】对于A，根据命题与命题的否定直接判断即可；对于B，根据互为反函数的两个函数图象关于原点对称判断即可；对于C，根据奇函数定义判断即可；对于D，根据二次函数单调性判断即可；

【详解】因为命题“，”的否定是“，”，故A错误；

函数与互为反函数，

故其图象关于对称，故B正确；

因为，可求得定义域为关于原点对称，

又，故函数为奇函数，故C正确；

因为，

所以函数的单调递增区间为，和，故D正确．

故选：BCD．

10．已知，，则下列结论正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABD

【分析】由题意得，可得，根据的范围，可得，的正负，即可判断A的正误；求得的值，即可判断D的正误，联立可求得，的值，即可判断B的正误；根据同角三角函数的关系，可判断C的正误，即可得答案.

【详解】因为，

所以，则，

因为，所以，，

所以，故A正确；

所以，

所以，故D正确；

联立，可得，，故B正确；

所以，故C错误.

故选：ABD.

11．已知实数均不为1，且满足，则下列关系式中恒成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AB

【分析】A，B选项利用基本不等式的性质即可；C选项利用函数的单调性即可；取判断D选项即可.

【详解】实数均不为1，且满足，

所以，

故A选项正确；

由，所以，

所以，

所以，

所以成立，故B选项正确；

由函数在R上单调递减，且

所以，故C选项错误；

当时，，

故D选项错误；

故选：AB.

12．已知函数，将函数图象上的所有点的纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的一半得到函数，且不等式对任意的恒成立，则下列说法正确的是（    ）

A． B．为的一个零点

C．在上单调递增 D．方程在上共有30个解

【答案】BC

【分析】确定得到A错误，计算得到B正确，，函数单调递增，C正确，计算共有9个根，D错误，得到答案.

【详解】，，故，

故，故，，

，故时，满足，故A错误；

，，B正确；

当时，，函数单调递增，C正确；

，或，，

当，即时，，是方程得到解；

当，即时，，是方程的解.

综上所述：共有9个解，D错误.

故选：BC

三、填空题

13．已知函数的图像经过，则______．

【答案】##0.5

【分析】根据函数的图像经过，可求得的值，可得，即可求的值.

【详解】解：函数的图像经过，所以，则

所以，则.

故答案为：.

14．已知，则的最小值为，取得最小值时，则______．

【答案】

【分析】利用基本不等式可求得的值，利用等号成立的条件可求得的值，进而可求得的值.

【详解】因为，所以，

当且仅当时取等号．故，，所以，．

故答案为：.

15．折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，㓞纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1．其平面图如图2的扇形，其中，，则扇面（曲边四边形ABDC）的面积是______．

【答案】##

【分析】根据题意和扇形的面积公式分别求出扇形AOB、COD的面积即可.

【详解】由题意可得，扇形AOB的面积是，

扇形COD的面积是．

则扇面（曲边四边形ABDC）的面积是．

故答案为：

16．函数的图象如图，则的值为______．

【答案】

【分析】根据图象可确定最小正周期，由此可得，由此可求得结果.

【详解】由图象可知：最小正周期，，

.

故答案为：.

四、解答题

17．集合.

(1)当时，求；

(2)问题：已知______，求的取值范围.

从下面给出的三个条件中任选一个，补充到上面的问题中，并进行解答.（若选择多个方案分别解答，则按第一个解答记分）

①；②；③.

【答案】(1)

(2)答案见解析

【分析】（1）先解得，再根据集合的并集计算即可；（2）分，两种情况解决即可.

【详解】（1）由题知，，

因为，解得，

所以，

当时，，

所以.

（2）选①或②，由题知，

由（1）得，，

由题得，，

当时，，解得，

当时，，解得，

综上，或.

选③，

当时，，解得，

当时，，或，解得，或，

综上，或.

18．（1）已知，为第三象限角，求的值；

（2）已知，计算的值.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）利用同角三角函数的平方关系可求得的值；

（2）利用弦化切可求得所求代数式的值.

【详解】解：（1）因为为第三象限角，则；

（2）.

19．已知二次函数（a，且），．

(1)若函数的最小值为，求的解析式，并写出单调区间；

(2)在（1）的条件下，在区间上恒成立，试求的取值范围．

【答案】(1)，减区间（−∞，−1]，增区间 [−1，＋∞）

(2)

【分析】（1）根据函数的最小值为，可得，且，可得的值，从而得到的解析式，根据对称轴和开口方向写单调区间；

（2）分离参数,求解二次函数在区间上的最小值，即可得的范围．

【详解】（1）由题意知，且，

∴．

∴，

因为函数对称轴，开口向上，

∴单调减区间为（−∞，−1]，单调增区间为[−1，＋∞）；

（2）在区间上恒成立，

转化为在上恒成立．

设，

则在上递减．

∴．

∴，

即的取值范围为．

20．已知函数且.

(1)当，求函数的单调区间；

(2)若函数的定义域为，求的取值范围；

【答案】(1)函数在上单调递减，在上单调递增.

(2)

【分析】(1)根据函数解析式，先求出函数的定义域，然后利用复合的单调性即可求解；

(2)根据对数函数的性质可知：恒成立，根据一元二次不等式恒成立的条件即可求解.

【详解】（1）因为，所以函数，

要使函数有意义，则有，解得：或，

所以函数定义域为.

令，开口向下，对称轴为，

则在上单调递增，在上单调递减，

又因为在上单调递增，由复合函数的单调性可知：

当，函数在上单调递减，在上单调递增.

（2）因为函数且的定义域为，

也即在上恒成立，所以，解得：，

所以实数的取值范围为.

21．已知函数，.

(1)求函数的值域；

(2)求函数严格增区间；

(3)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）首先化简函数，再代入函数的定义域，求函数的值域；

（2）由（1）可知，，结合正弦函数的单调性，即可求解；

（3）参变分离得恒成立；转化为求函数的最值.

【详解】（1）.

因为，所以，

所以，所以的值域为；

（2）因为，又在上严格增，

所以当时，严格增，解得

所以函数的严格增区间为；

（3）因为，所以不等式等价于恒成立；即，

因为，

所以当时，有最大值；

所以实数的取值范围为.

22．定义在上的函数，对任意的，恒有，且时，有

(1)判断的奇偶性并证明；

(2)若，函数有三个不同的零点，求的取值范围.

【答案】(1)奇函数，证明过程见详解.

(2)

【分析】(1)奇函数，令，求得，令，进行证明即可；

(2)先证明函数的单调性，利用单调性将方程化简为有三个不同的零点，令换元，再利用根的分布即可求解.

【详解】（1）奇函数，证明如下：

因为定义在上的函数，对任意的，恒有，

令，可得：，则有，

令，则有，所以，

所以函数为上的奇函数.

（2）令，则，不妨令，

因为对任意的，恒有，

所以，则，

因为当时，有，所以，也即，

所以，则函数为上的单调递增函数，

因为，令，则，

因为，

即，又函数为上的单调递增函数，

由题意可知，也即有三个不同的零点，

令，则有，因为，所以，

因为与的交点个数为，

所以的解得个数为，

因为函数有三个不同的零点，

所以必有两个不同的解，

且，或.

①当时，，此时方程为，解得：不满足题意，故舍去；

②当时，，则有，此时方程为，解得：满足题意；

③当时，由根的分布可知：，解得：，

综上，实数的取值范围为.