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    精品解析:湖南省长沙市长郡中学2022-2023学年高一上学期期末模拟数学试题

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    这是一份精品解析:湖南省长沙市长郡中学2022-2023学年高一上学期期末模拟数学试题,文件包含精品解析湖南省长沙市长郡中学2022-2023学年高一上学期期末模拟数学试题原卷版docx、精品解析湖南省长沙市长郡中学2022-2023学年高一上学期期末模拟数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共26页, 欢迎下载使用。

    1. 命题“”的否定是( )
    A B.
    C. D.
    【答案】A
    【解析】
    【分析】根据全称命题的否定理解判断.
    【详解】命题“”的否定是“”.
    故选:A.
    2. 已知集合,,则( )
    A. B. C. D.
    【答案】B
    【解析】
    【分析】解对数不等式求出集合A,再求出指数函数的值域即可求出集合B,进而根据交集的概念即可求出结果.
    【详解】因为,即,所以,
    而由于,则,即
    所以.
    故选:B.
    3. 下列说法正确的是( )
    A. 若,则B. 若则
    C. 若,,则D. 若,则
    【答案】D
    【解析】
    【分析】利用不等式的性质、结合特例法逐一判断即可.
    【详解】A:当时,显然不成立,因此本选项说法不正确;
    B:,而,所以有,因此本选项说法不正确;
    C:当时,显然满足,,但是不成立,因此本选项说法不正确;
    D:由,而,所以,即,因此本选项说法正确,
    故选:D
    4. 已知角终边上一点,则( )
    A. 2B. -2C. 0D.
    【答案】B
    【解析】
    【分析】通过坐标点得出角的正切值,化简式子,即可求出结果.
    【详解】解:由题意,
    角终边上一点,

    ∴,
    故选:B.
    5. 函数的图象大致形状是( )
    A. B.
    C. D.
    【答案】A
    【解析】
    【分析】根据函数的奇偶性可得函数为偶函数,可排除CD,然后根据时的函数值可排除B.
    【详解】因为,定义域为R,
    又,
    所以是偶函数,图象关于轴对称,故排除CD,
    又当时,,,故排除B.
    故选:A.
    6. 若正数、满足,若不等式的恒成立,则的最大值等于( )
    A. 4B. C. D. 8
    【答案】A
    【解析】
    【分析】由已知得出,将代数式与相乘,展开后利用基本不等式可求得的最小值,即可得出实数的最大值.
    【详解】已知正数、满足,可得,
    所以,
    当且仅当时,即时,等号成立,
    所以的最小值为,
    .
    因此,实数的最大值为.
    故选:A.
    7. 已知函数在内恰有3个最值点和4个零点,则实数的取值范围是( )
    A. B. C. D.
    【答案】B
    【解析】
    【分析】数形结合,由第4个正零点小于等于1,第4个正最值点大于1可解.
    【详解】,
    因为,所以,
    又因为函数在内恰有个最值点和4个零点,
    由图像得:,解得:,
    所以实数的取值范围是.
    故选:B
    8. 已知定义在R上的函数对于任意的x都满足,当时,,若函数至少有6个零点,则a的取值范围是( )
    A. B.
    C. D.
    【答案】A
    【解析】
    【分析】函数的根转化为两个新函数图像的焦点问题,再对对数函数的进行分类讨论即可.
    【详解】由知是周期为2的周期函数,
    函数至少有6个零点等价于函数 与的图象至少有6个交点,
    ①当时,画出函数与的图象如下图所示,
    根据图象可得,即.
    ②当时,画出函数与的图象如下图所示,
    根据图象可得,即 .
    综上所述,的取值范围是.
    故选:A
    二、多选题(共20分)
    9. 下列说法中,正确的是( )
    A. 集合和表示同一个集合
    B. 函数的单调增区间为
    C. 若,,则用,表示
    D. 已知是定义在上的奇函数,当时,,则当时,
    【答案】BC
    【解析】
    【分析】对于A,根据集合的定义即可判断;对于B,利用复合函数的单调性即可判断;对于C,利用对数的换底公式及运算性质即可判断;对于D,利用函数的奇偶性求对称区间上的解析式即可判断.
    【详解】对于A,集合中元素为数,集合为点,可知表示的不是同一个集合,所以A选项错误;
    对于B,根据解得函数的定义域为,
    令则,
    为二次函数,开口向下,对称轴为,所以函数在区间上单调递增,在区间上单调递减,
    函数为增函数,根据复合函数的单调性可知函数的单调增区间为,所以B选项正确;
    对于C,因为,,根据对数的换底公式可得,所以C选项正确;
    对于D,因为当时,,可令,则,所以,又因为是定义在上的奇函数,所以,与题干结果不符,所以D选项错误.
    故选:BC.
    10. 下列说法不正确的是( )
    A. 函数的零点是和
    B. 正实数a,b满足,则不等式的最小值为
    C. 函数的最小值为2
    D. 的一个必要不充分条件是
    【答案】ACD
    【解析】
    【分析】A:求出函数的零点即可判断;B:利用和基本不等式即可判断求解;C:令,利用换元法和基本不等式即可判断;D:判断从是否可得,结合充分条件和必要条件的概念即可判断.
    【详解】对于选项A:或,
    则函数的零点是或,故A错误;
    对于选项B:,

    当且仅当,即时,等号成立,故的最小值为,故B正确;
    对于选项C:令,则,
    则函数化为,当且仅当,即时等号成立,
    ∵t≥2,故等号不成立,即,故C错误;
    对于选项D:若,则,即是的充分条件,故D错误.
    故选:ACD.
    11. 已知函数(其中)的部分图象如图所示,则下列结论正确的是( )
    A.
    B. 要想得到的图象,只需将的图象向左平移个单位
    C. 函数在区间上单调递增
    D. 函数在区间上的取值范围是
    【答案】AC
    【解析】
    【分析】由图得、,点在图象上求得及的解析式可判断A;根据图象平移规律可判断B;利用正弦函数的单调性可判断C;根据的范围求得可判断D.
    【详解】由图得,所以,,
    所以,因为点在图象上,所以,
    ,因为,所以,可得,故A正确;
    对于B,将的图象向左平移个单位,得到的图象,故B错误;
    对于C,由得,
    所以函数在区间上单调递增,故C正确;
    对于D,时,,所以,
    函数在区间上的取值范围是,故D错误.
    故选:AC.
    12. 已知函数若方程有三个不同的解,且,则下列说法正确的是( )
    A. B. C. D.
    【答案】BC
    【解析】
    【分析】画出的图象,结合图象以及对数运算确定正确答案.
    【详解】由题意可知,,作出的图象,如图所示:
    因为方程有三个不同的解,由图可知,故D错误;
    且,,
    所以,故A错误,B正确;
    所以,故C正确;
    故选:BC
    【点睛】关于形如、等函数图象的画法,可结合绝对值的意义、函数的奇偶性、函数的单调性进行作图,作图过程中要注意曲线“弯曲”的方向,也要注意函数定义域的影响.
    三、填空题(共20分)
    13. 函数的最小正周期,则__________.
    【答案】±2
    【解析】
    【分析】根据正弦型函数的周期公式求解.
    【详解】因,
    所以,解得,
    故答案为:.
    14. 函数的值域为______.
    【答案】
    【解析】
    【分析】利用换元法结合二次函数的性质求值域.
    【详解】令,则,
    可得:,
    ∵函数的对称轴为,
    ∴当时,函数取到最大值,
    即函数的最大值为,故函数的值域为.
    故答案为:.
    15. 已知,,且,,则的值是___________.
    【答案】
    【解析】
    【分析】由平方关系求得,,再求出即可得解.
    【详解】解:因为,,且,,
    所以,,且,
    则,
    所以.
    故答案为:.
    16. 若函数与对于任意,都有,则称函数与是区间上的“阶依附函数”.已知函数与是区间上的“2阶依附函数”,则实数的取值范围是______.
    【答案】
    【解析】
    【分析】由题意得在上恒成立,又,所以在上恒成立,即在上恒成立,令,,设,研究的最小值即可.
    【详解】因为函数与是区间上的“2阶依附函数”,
    所以在上恒成立,
    又在上单调递增,则,
    所以在上恒成立,即在上恒成立,

    令,,设,
    ,则在上单调递增,
    所以,
    所以.
    故答案为:.
    四、解答题(共70分)
    17. 已知函数的定义域为A,的值域为B.
    (1)求A和B;
    (2)若,求的最大值.
    【答案】(1)A为,B为
    (2)3
    【解析】
    【分析】(1)根据函数的解析式有意义,得到满足,即可求解函数的定义域A;根据在定义域内为增函数,即可求出值域B.
    (2)由(1)可知,根据集合间的包含关系可求出参数a的范围,则可得出的最大值.
    【小问1详解】
    解:由题意,函数,满足,
    解得,所以函数的定义域为,
    而函数在R上是增函数,
    ,,
    所以函数的值域为,
    故定义域A为,值域B为.
    【小问2详解】
    解:由(1)可知,若,
    则,解得,
    所以的最大值为3,此时满足,
    故最大值为3.
    18. 已知函数的图象关于点对称.
    (1)求,m的值;
    (2)将的图象向左平移个单位长度,再将所得图象的横坐标伸长到原来的3倍,纵坐标不变,得到函数的图象,求在上的值域.
    【答案】(1),
    (2)
    【解析】
    【分析】(1)由二倍角公式降幂后,由余弦函数的对称性可求得值;
    (2)由图象变换得出的表达式,再由余弦函数值域得结论.
    【小问1详解】

    依题意可得,,,
    则,.
    【小问2详解】
    由(1)知,则.
    当时,,
    则,
    故在上的值域为.
    19. 已知函数是定义在上的奇函数.
    (1)判断函数的单调性并用定义加以证明;
    (2)求使成立的实数的取值范围.
    【答案】(1)在上是增函数,证明见解析;
    (2).
    【解析】
    【分析】(1)根据奇函数利用求出,再验证即可,由函数单调性定义证明即可;
    (2)根据函数的单调性列出不等式组求解即可.
    【小问1详解】
    定义在上的奇函数,所以,所以,
    当时,,满足,故满足题意.
    在上是增函数,证明如下:
    设且,
    则;
    因为且,所以,
    所以,所以,所以在上是增函数;
    【小问2详解】
    由,得
    由(1)知在上是增函数,
    所以,即,解得.
    所以实数的取值范围是.
    20. 如图,风景区的形状是如图所示的扇形OAB区域,其半径为4千米,圆心角为60°,点C在弧AB上.现在风景区中规划三条商业街道DE、CD、CE,要求街道DC与OA平行,交OB于点D,街道DE与OA垂直(垂足E在OA上).
    (1)如果弧BC的长为弧CA长的三分之一,求三条商业街道围成的△CDE的面积;
    (2)试求街道CE长度的最小值.
    【答案】(1)平方千米
    (2)千米
    【解析】
    【分析】(1)结合已知角及线段长,利用三角形的面积公式可求;
    (2)由已知结合解三角形的知识,利用三角函数恒等变换可表示,然后结合正弦函数性质可求.
    【小问1详解】
    如下图,连接,过作,垂足为.当弧的长为弧长的三分之一时,,在中,,,故,.在中,,,所以,则,所以,可得的面积(平方千米);
    【小问2详解】
    设,则,,,
    又,则,所以.在直角三角形中,,其中.因为,所以,又,所以当时,有最小值为,即.综上,街道长度的最小值为千米.
    21. 用打点滴的方式治疗“新冠”病患时,血药浓度(血药浓度是指药物吸收后,在血浆内的总浓度,单位:)随时间(单位:小时)变化的函数符合,其函数图象如图所示,其中为药物进入人体时的速率,k是药物的分解或排泄速率与当前浓度的比值.此种药物在人体内有效治疗效果的浓度在到之间,当达到上限浓度时(即浓度达到时),必须马上停止注射,之后血药浓度随时间变化的函数符合,其中c为停药时的人体血药浓度.
    (1)求出函数的解析式;
    (2)一病患开始注射后,最多隔多长时间停止注射?为保证治疗效果,最多再隔多长时间开始进行第二次注射?(结果保留小数点后一位,参考数据:)
    【答案】(1)
    (2)从开始注射后,最多隔16小时停止注射,为保证治疗效果,最多再隔7.7小时后开始进行第二次注射
    【解析】
    【分析】(1)根据图象可知,两个点,在函数图象上,代入后求解参数,求;
    (2)由(1)求中的范围;求得后,再求中的范围.
    【小问1详解】
    解:由图象可知点函数图象上,
    则两式相除得,解得:,
    ∴函数.
    【小问2详解】
    解:由,得,解得,,
    ∴从开始注射后,最多隔16小时停止注射;
    由题意可知,又,∴,
    由,得,
    即,
    所以解得:,
    ∴为保证治疗效果,最多再隔7.7小时后开始进行第二次注射.
    22. 设函数的定义域为D,若存在,使得成立,则称为的一个“不动点”,也称在定义域D上存在不动点.已知函数.
    (1)若函数在区间上存在不动点,求实数a的取值范围;
    (2)设函数,若,都有成立,求实数a的取值范围.
    【答案】(1);
    (2).
    【解析】
    【分析】(1)由题可得[0,1]上有解,令,可得在[1,2]上有解,分离参数即可求解;
    (2)将问题转化为,利用单调性求出的最值,令,,可得恒成立,分离参数求解即可.
    【小问1详解】
    由题意知,即在[0,1]上有解,
    令,,则,则在[1,2]上有解,
    则,
    当时,在递减,在递增,则
    则,即,
    故实数a的取值范围为.
    【小问2详解】
    ,即,

    又在[-1,0]上是减函数,
    则,
    ∴,
    令,,则,,

    又在上递增,则,又
    ∴,
    ∴,
    ∴实数a的取值范围为.
    【点睛】方法点睛:本题考查不等式恒成立与有解问题,可按如下规则转化:
    一般地,已知函数,
    (1)若,,总有成立,故;
    (2)若,,有成立,故;
    (3)若,,有成立,故;
    (4)若,,有,则的值域是值域的子集 .
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