2023年安徽省马鞍山市和县中考数学二模试卷（含解析）

2023年安徽省马鞍山市和县中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  在，，，这四个数中，绝对值最小的数为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  近年来，我国能源保供稳价政策有力推进，能源先进产能平稳有序释放，规模以上工业原煤、原油、天然气和电力生产同比保持增长其中年月份，我国生产原煤亿吨亿用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图，是一个几何体的主视图，则该几何体可能是(    )

A.
B.
C.
D.

4.  下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  将两块三角板按如图所示位置摆放，若，点在上，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  晚上小明清洗两对只有颜色不同的有盖茶杯茶杯和茶杯盖形状不同，突然停电，一片漆黑，他把两个杯盖随机盖在两只茶杯上，则颜色搭配正确的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，点是的弦上一点若，，的弦心距为，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  在一条笔直的公路上、两地相，甲车从地开往地，乙车从地开往地，甲比乙先出发设甲、乙两车距地的路程为千米，甲车行驶的时间为小时，与之间的关系如图所示，下列说法错误的是(    )

A. 甲车的速度比乙的速度慢
B. 甲车出发小时后乙才出发
C. 甲车行驶了或时，甲、乙两车相距
D. 乙车达到地时，甲车离地
 

9.  二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的大致图象是(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图，在正方形中，，是的中点，是延长线上的一点，将沿折叠得到，连接并延长分别交、于、两点，若，则的长度为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

11.  不等式的最大整数解是        ．

12.  若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是        ．

13.  如图，点的坐标是，是等边三角形，点在第一象限，若反比例函数的图象经过点，则的值是______．

14.  如图，在中，，，点为射线上一动点，过点作于，交于，是的中点，则长度的最小值是______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.  本小题分
计算：．

16.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．
以点为位似中心，在第一象限作出的位似，且与的位似比为：；
以点为旋转中心，将顺时针旋转后得，请作出；
直接写出的值．

17.  本小题分
新冠肺炎疫情期间，某小区计划购买甲、乙两种品牌的消毒剂，甲品牌消毒剂每箱的价格比乙品牌消毒剂每箱价格的倍少元，已知用元购买甲品牌消毒剂的数量与用元购买乙品牌消毒剂的数量相同．
求甲、乙两种品牌消毒剂每箱的价格各是多少元？
若该小区从超市一次性购买甲、乙两种品牌的消毒剂共箱，且总费用为元，求购买了多少箱乙品牌消毒剂？

18.  本小题分
观察以下等式：
第个等式：；
第个等式：；
第个等式：；
第个等式：；

按照以上规律，解决下列问题：
写出第个等式：______；
写出你猜想的第取正整数个等式：______用含的等式表示，并验证等式的正确性．

19.  本小题分
如图，为的直径，是的一条弦，为弧的中点，过点作，垂足为的延长线上的点连接、．
求证：是的切线；
延长交的延长线于，若，，求的半径．

20.  本小题分
如图，某建筑物楼顶挂有广告牌，小华准备利用所学的在角函数知识估测该建筑的高度由于场地有限，不便测量，所以小华从点处滑坡度为：的斜坡步行米到达点处，测得广告牌底部的仰角为，广告牌顶部的仰角为，小华的身高忽略不计，已知广告牌米参考数据：，，
求处距离水平地面的高度；
求建筑物的高度．

21.  本小题分
学校在入团积极分子中开展了党史、团史知识竞赛，按成绩分成，分分，分分，分分，分以下五个等级，并根据成绩绘制了频数分布直方图和扇形统计图，部分信息如下：

该校入团积极分子的人数为______，扇形统计图中等级所在扇形的圆心角的度数为______．
这次竞赛成绩的中位数在哪个等级？直接写出结果
已知这次竞赛成绩为等级的人中男、女生各名，若从等级中任选名学生参加市级相关知识竞赛，求其中至少有名女生的概率．

22.  本小题分
某超市经销、两种商品商品每千克成本为元，经试销发现，该种商品每天销售量千克与销售单价元千克满足一次函数关系，其每天销售单价、销售量的对应值如表所示：

商品的成本为元千克，销售单价为元千克，但每天供货总量只有千克，且能当天销售完为了让利消费者，超市开展了“买一送一”活动，即买千克的商品，免费送千克的商品．
求千克与元千克之间的函数表达式；
设这两种商品的每天销售总利润为元，求出元与的函数关系式；
若商品的售价不低于成本，不高于成本的，当销售单价定为多少时，才能使当天的销售总利润最大？最大利润是多少？总利润两种商品的销售总额两种商品的成本
 

23.  本小题分
如图，在中，，，点是的中点，连接，点是上一点，连接并延长交于点．
若点是中点，求证：；
如图，若，
求证：；
猜想的值并写出计算过程．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，，，，
，
在，，，这四个数中，绝对值最小的数为，
故选：．
先求出每个数的绝对值，再比较大小，最后得出选项即可．
本题考查了绝对值和有理数的大小比较，能求出每个数的绝对值是解此题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：亿．
故选：．
科学记数法：用科学记数法表示较大的数时，注意中的范围是，是正整数，
本题考查科学记数法的应用，掌握该方法是解题关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：由该几何体的主视图可知，该几何体可能是圆锥．
故选：．
主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．依题意，该几何体的主视图为三角形，易判断该几何体是一个圆锥．
本题考查了由三视图判断几何体，考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也考查了空间想象能力．
 

4.【答案】 

【解析】解：、不是同类项不能合并，故A错误；
B、底数不变指数相减，故B错误；
C、底数不变指数相乘，故C正确；
D、不是同类项不能合并，故D错误；
故选：．
根据合并同类项，可判断、，根据同底数幂的除法，可判断，根据幂的乘方，可判断．
本题考查了幂的运算，根据法则计算是解题关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：由题意得，
，，
，
是的外角，
，
．
故选：．
由题意可得，再由平行线的性质得，利用三角形的外角性质即可求．
本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等．
 

6.【答案】 

【解析】解：用和分别表示第一个有盖茶杯的杯盖和茶杯；用和分别表示第二个有盖茶杯的杯盖和茶杯．
经过搭配所能产生的结果如下：
、、、．
所以颜色搭配正确的概率是，
故选：．
根据概率的计算公式．颜色搭配总共有种可能，分别列出搭配正确和搭配错误的可能，进而求出各自的概率即可．
此题考查概率的求法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率．
 

7.【答案】 

【解析】解：作于点，如图所示，
由题意可知：，，，
，
，
，
，
故选：．
根据垂径定理可以得到的长，根据题意可知，然后根据勾股定理可以求得的长．
本题考查垂径定理、勾股定理，解答本题的关键是求出的长．
 

8.【答案】 

【解析】解：由图象知，甲车速度为，
乙车速度为，
甲车的速度比乙车速度慢，
故A正确，不符合题意；
甲乙两车相遇时乙车所用时间为，
乙车比甲车晚出发小时，
故B正确，不符合题意；
根据题意甲车距地的路程与行驶时间的函数解析式为，
设乙车距地的路程与行驶时间的函数解析式为，
则，
解得，
，
两车相距，
，
即或，
解得或，
甲行驶或时，甲乙相距，
故C正确，不符合题意；
乙到达地所需时间为，
甲走的路程为，
当乙车到达地时，甲车距地，
故D错误，符合题意．
故选：．
由图象直接求出甲、乙速度，从而判断；根据甲、乙速度和相遇时间即可判断；先求出甲、乙两车距地的路程与行驶时间的函数解析式，再作差，即可判断；求出乙车到达地时甲走的路程即可判断．
本题考查一次函数的应用，关键是读取图中信息，利用速度，时间，路程之间的关系解答．
 

9.【答案】 

【解析】解：抛物线开口向上，
，
抛物线对称轴在轴左侧，
，
抛物线与轴交点在轴下方，
，
直线经过第一，二，四象限，反比例函数图象分布在第二、四象限，
故选：．
由抛物线开口方向，对称轴位置及抛物线与轴交点位置判断，，的符号，从而可得直线与反比例函数图象的大致图象．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握函数图象与系数的关系．
 

10.【答案】 

【解析】解：四边形是正方形，，是的中点，
，，
，
沿折叠得到，
垂直平分，
，，
设，则，，
，，
∽，
，
，
，
，
，
，，
∽，
，
，
．
故选：．
根据四边形是正方形，，是的中点，得，，根据折叠的性质，得垂直平分，设，则，，证明∽，可得，求出，，所以，再证明∽，得，即可求出答案．
此题考查了正方形的性质、轴对称的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明∽及∽是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
，
，
最大整数解是，
故答案为：．
根据不等式的性质即可求解．
本题主要考查不等式的求解，解题的关键是熟知不等式的性质．
 

12.【答案】且 

【解析】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
且．
故答案为：且．
根据一元二次方程的定义和根的判别式进行求解即可．
本题主要考查了一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．
 

13.【答案】 

【解析】解：过点作垂直于，
点的坐标是，
，
是等边三角形，
，，
点的坐标是，
把代入，得．
故答案为：．
首先过点作垂直于，根据，是等边三角形，得出点坐标，进而求出反比例函数解析式．
此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点、等边三角形的性质等知识，根据已知表示出点坐标是解题关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图，取的中点，连接、，

是的中点，是的中点，
，，
，
，
，
，
点为射线上一动点，，即，
点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆，
，
的最小值为．
故答案为：．
取的中点，连接、，利用三角形的中位线定理求出的值，再由直角三角形斜边上中线的性质求出，并确定点的运动轨迹，然后由即可获得结论．
本题主要考查了点与圆的位置关系、三角形中位线定理、直角三角形斜边上中线的性质等知识，解题关键是正确作出辅助线，构造三角形中位线，直角三角形斜边上的中线解决问题．
 

15.【答案】解：


． 

【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地化简各式是解题的关键．
 

16.【答案】解：如图，为所作；
如图，为所作；

，，
，
取的中点，则，
在中，，
． 

【解析】把、、点的横纵坐标都乘以得到、、的坐标，然后描点即可；
利用网格特点和旋转的性质画出、、的对应点、、即可；
先计算出，取的中点，根据等腰三角形的性质得到，然后根据余弦的定义求解．
本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或也考查了旋转变换和解直角三角形．
 

17.【答案】解：设乙品牌消毒剂每箱的价格是元，则甲品牌消毒剂每箱的价格是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
．
答：甲品牌消毒剂每箱的价格是元，乙品牌消毒剂每箱的价格是元；
设购买了箱乙品牌消毒剂，则购买了箱甲品牌消毒剂，
根据题意得：，
解得：．
答：购买了箱乙品牌消毒剂． 

【解析】设乙品牌消毒剂每箱的价格是元，则甲品牌消毒剂每箱的价格是元，利用数量总价单价，结合用元购买甲品牌消毒剂的数量与用元购买乙品牌消毒剂的数量相同，可得出关于的分式方程，解之经检验后，可得出乙品牌消毒剂每箱的价格，再将其代入中，即可求出甲品牌消毒剂每箱的价格；
设购买了箱乙品牌消毒剂，则购买了箱甲品牌消毒剂，利用总价单价数量，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；找准等量关系，正确列出一元一次方程．
 

18.【答案】  

【解析】解：第个等式为：，
故答案为：；
，
证明：左边





．
右边，左边右边，
原等式成立．
故答案为：．
根据所给的等式的形式进行求解即可．
分析所给的等式的形式，总结出规律，再对等式的左边进行整理即可．
本题主要考查数字的变化规律，有理数的混合运算，解答的关键是对由所给的等式总结出存在的规律．
 

19.【答案】证明：连接，

为的中点，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
为半圆的切线；
解：，
，
又，
，
，
，
，
，
，
，
的半径为． 

【解析】连接，由圆周角定理及等腰三角形的性质可得出，则可得出结论；
由等腰三角形的性质及直角三角形的性质得出，则得出答案．
本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
 

20.【答案】解：过点作于，

，
设，，
，
从点处滑坡度为的斜坡步行米到达点处，
，
，
．
解：过点作于，

，
四边形为矩形，
，
，
，
，
设，
，
在中，，，
，
，即，
． 

【解析】过点作于，根据坡比设，，用勾股定理求得，求解得出即可．
过点作于，先证四边形为矩形，得，在利用三角形函数解可得的长，从而得解．
本题考查了解直角三角形的应用仰角与坡比问题，熟练掌握仰角与坡比的定义，勾股定理，三角函数，矩形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质是解题的关键．
 

21.【答案】   

【解析】解：、、、这四组的频数之和为人，
所以该校入团积极分子的人数为人，
，
故答案为：，；
将这名学生的竞赛成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数都在组，因此中位数在组，
从男女中任意选取人，所有可能出现的结果情况如下：

共有种等可能出现的结果，其中一男一女的有种，
所以其中至少有名女生的概率为．
求出、、、这四组的频数之和，再根据频率进行计算即可；求出组所占的百分比即可；
根据中位数的定义进行判断即可；
利用列表法表示所有可能出现的结果情况，进而求出至少有名女生的概率．
本题考查列表法树状图法求简单随机事件的概率，频数分布表，中位数以及扇形统计图，理解频率，掌握列表法求概率的方法是解决问题的关键．
 

22.【答案】解：设与之间的函数表达式为，将表中数据、代入得：
，
解得：，
与之间的函数表达式为；
由，得，
由，得，
．

；
，
由题意知，
，
，
时，随的增大而增大，
时，的最大值，
答：当销售单价定为元时，才能使当天的销售总利润最大，最大利润是元． 

【解析】利用待定系数法可求出一次函数的解析式；
利用每件的利润销售量免费送的成本总利润，即可求出元与的函数关系式；
先根据已知求出的取值范围，再将的解析式化为配方式，然后根据二次函数的性质来进行计算即可．
本题考查了待定系数法求一次函数的解析式和二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系是解题的关键．
 

23.【答案】证明：，
，
点是的中点，点是中点，
，，
≌，
，
；
证明：连接，

，
，
，
，
，
∽，
，
即，
，；
设，则，，
，，
；
解：猜想：，
理由如下：
，
，
． 

【解析】证明≌，由全等三角形的性质得出，则可得出答案；
连接，证明∽，由相似三角形的性质得出，设，则，，得出，则可得出结论；
由可得出和的值，化简的比值则可得出答案．
本题是三角形综合题，考查了直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．