高考数学一轮复习第3章思维深化微课堂构造法解f(x)与f′(x)共存问题学案

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这是一份高考数学一轮复习第3章思维深化微课堂构造法解f(x)与f′(x)共存问题学案，共3页。

类型一　构造F(x)＝f(x)－g(x)型可导函数

已知定义在R上的函数f(x)满足f(2)＝20，且f(x)的导函数f′(x)满足f′(x)＞6x2＋2，则不等式f(x)＞2x3＋2x的解集为(　　)

A．{x|x＞－2}　　　　 B．{x|x＞2}

C．{x|x＜2} D．{x|x＜－2或x＞2}

[思维架桥]　构造函数F(x)＝f(x)－2x3－2x，求导得F′(x)＝f′(x)－6x2－2>0，可知函数F(x)单调递增．再结合已知条件得到F(x)>F(2)，即得不等式的解集．

B　解析：令函数F(x)＝f(x)－2x3－2x，则F′(x)＝f′(x)－6x2－2>0, 所以F(x)在R上单调递增．因为F(2)＝f(2)－2×23－2×2＝0，故原不等式等价于F(x)>F(2)，所以所求不等式的解集为{x|x>2}．

若已知f′(x)>G(x)，解不等式f(x)＞g(x)，其中g(x)，G(x)都是具体函数，且g′(x)＝G(x)，可构造函数F(x)＝f(x)－g(x)．

[应用体验]

设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f′(x)－cos x<0，则不等式f(x)<sin x的解集为________．

(0，＋∞)　解析：令F(x)＝f(x)－sin x，则当x≥0时，F′(x)＝f′(x)－cos x<0，所以F(x)在[0，＋∞)上是减函数．又f(x)是R上的奇函数，所以F(x)＝f(x)－sin x也是R上的奇函数，故F(x)是减函数且F(0)＝0．原不等式等价于f(x)－sin x<0，即F(x)<0＝F(0)，所以x>0．

类型二　构造f(x)与xn的积或商型可导函数

(2021·广元模拟)已知定义在R上的偶函数f(x)，其导函数为f′(x)．若xf′(x)－2f(x)＞0，f(－3)＝1，则不等式＜x的解集是(　　)

A．(－∞，－3)∪(0,3)

B．(－3,3)

C．(－3,0)∪(0,3)

D．(－∞，－3)∪(3，＋∞)

[思维架桥]　构造函数g(x)＝，求导得g′(x)＝>0，x∈(0，＋∞)，所以函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减．当x>0时，由<x，得<，即g(x)<g(3)；当x<0时，由<x，得>，即g(x)>g(－3)．分别解不等式可得答案．

A　解析：构造函数g(x)＝，g′(x)＝x·＝，当x>0时，xf′(x)－2f(x)>0，故g′(x)>0，g(x)在(0，＋∞)上单调递增．

又f(x)为偶函数，y＝为偶函数，

所以g(x)＝为偶函数，在(－∞，0)上单调递减．

f(－3)＝1，则f(3)＝1，g(－3)＝g(3)＝＝；

<x，

当x>0时，即<，g(x)<＝g(3)，所以x∈(0,3)；

当x<0时，即>，g(x)>＝g(－3), 所以x∈(－∞，－3)．

综上所述，x∈(－∞，－3)∪(0,3)．

故选A．

1．已知xf′(x)＋nf(x)>0的形式，构造函数F(x)＝f(x)·xn．

2．已知xf′(x)－nf(x)>0的形式，构造函数F(x)＝．

[应用体验]

设f(x)是定义在R上的偶函数，当x<0时，f(x)＋xf′(x)<0，且f(－4)＝0，则不等式xf(x)>0的解集为________．

(－∞，－4)∪(0,4)　解析：令F(x)＝xf(x)，则F′(x)＝f(x)＋xf′(x)，当x<0时，f(x)＋xf′(x)<0，所以当x<0时，F′(x)<0，F(x)在(－∞，0)上是减函数；因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以F(x)＝xf(x)是奇函数，所以F(x)在(0，＋∞)上也是减函数；又F(－4)＝(－4)f(－4)＝0，根据函数图象可知，不等式xf(x)>0的解集为(－∞，－4)∪(0,4)．