2020版江苏高考数学一轮复习学案：第15章 第7课《二项式定理》(含解析)

第7课__二项式定理____

　基础诊断　

1. 的展开式中的第4项为________．

2. 在中第3项的二项式系数为________；系数为________．

3. 在的展开式中，所有奇数项的二项式系数之和等于1 024，则中间项的二项式系数是________．

4. 已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，则a1＋a2＋…＋a7为________．

　范例导航　

　　例1　在展开式中，

(1) 求第4项的二项式系数及第4项的系数；

(2) 求展开式中的常数项并说明它是展开式的第几项．

已知数列{an}是等差数列，且a1，a2，a3是展开式的前三项的系数．

(1) 求m的值；

(2) 求展开式的中间项．

　　例2　已知展开式的前三项的系数成等差数列．

(1) 求展开式中所有的有理项；

(2) 求展开式中系数的绝对值最大的项．

设(a>0)的展开式中x3的系数为A，常数项为B，若B＝4A，求展开式中第4项的系数．

　　例3　(1) 设a∈Z，且0≤a<13，若512 012＋a能被13整除，则a＝________；

(2) S＝C＋C＋…＋C除以9的余数为________．

9191除以100的余数是________．

　自测反馈　

1. 若的展开式中x5的系数为－80，则实数a＝________．

2. (1－2x)5(2＋x)展开式中含x3的系数为________．

3. 已知(t2－4)10＝a0＋a1t＋a2t2＋…＋a20t20，则a1＋a3＋a5＋…＋a19＝________．

4. 若二项式(n∈N*)的展开式中含有常数项，则n的最小值为________．

1. 通项公式Tr＋1＝Can－rbr体现了展开式中的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心．

2. 二项式系数的性质，主要是“赋值法”的运用，在具体问题中求关于系数和通常转化为二项式中字母的特殊值．

3. 你还有哪些体悟，写下来：

第7课　二项式定理

　基础诊断　

1. －　解析：第四项为C·23·＝－.

2. 10　40　解析：由题意可知第三项为C()3·，则二项式系数为C＝10，系数为C·(－2)2＝40.

3. 462　解析：奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，且都等于所有项二项式系数之和的一半，即×2n＝1 024，解得n＝11，所以中间的两项是第6项、第7项，它们的二项式系数都为462.

4. －2　解析：令x＝0，得a0＝1；令x＝1得a0＋a1＋a2＋…＋a7＝－1，所以a1＋a2＋…＋a7＝－2.

　范例导航　

例1　解析：(1) 因为第4项的二项式系数为C＝120，又T4＝C·x·＝－15x，所以第4项的系数为－15.

(2) Tr＋1＝C·x·＝C·x，当＝0，即r＝6时，为常数项C＝，它是展开式的第7项．

解析：(1) 展开式为＝1＋C＋C＋…，依题意a1＝1，a2＝m，a3＝，由2a2＝a1＋a3可得m＝1(舍去)或m＝8，即m的值为8.

(2) 由(1)可知m＝8，那么展开式的中间项是第5项为T5＝C＝x4.

例2　解析：(1) T1＝C()n，第一项系数为1，T2＝C()n－1，第二项系数为n，T3＝C()n－2，第三项系数为n(n－1)，若前三项系数成等差数列，则有n＝1＋，则n＝8，因此的展开式中，有理项有T1＝x4，T5＝x，T9＝x－2.

(2) 展开式的通项为Tr＋1＝C(－2)r·x4－r，　

再由C·|(－2)r|≥C·|(－2)r－1|及C·|(－2)r|≥C·|(－2)r＋1|得5≤r≤6.

因此系数绝对值最大的项为T6和T7，T6＝－1 792x－，T7＝1 792x－11.

解析：的展开式的通项为Tr＋1＝C·x6－r·＝(－a)rC·x6－r.

令6－r＝3，则r＝2，所以A＝15a2.

令6－r＝0，则r＝4，所以B＝15a4.

由题意得15a4＝4×15a2，又a>0，所以a＝2，

此时展开式中第4项的系数为(－2)3C＝－160.

例3　(1) 12　解析：题中512 012数据较大，无法研究与13的整除问题，考虑到512 012＋a＝(52－1)2 012＋a，按二项式定理展开，根据题意可得(52－1)2 012＋a＝C522 012＋C522 011·(－1)1＋C522 010·(－1)2＋…＋C521(－1)2 011＋C(－1)2 012＋a，除最后两项外，其余各项都有13的倍数52，故由题意可得C(－1)2 012＋a＝1＋a 能被13整除，再由0≤a<13，可得a＝12，故答案为12.

(2) 7　解析：S＝C＋C＋…＋C＝227－1＝89－1＝(9－1)9－1＝C×99－C×98＋…＋C×9－C－1＝9(C×98－C×97＋…＋C)－2，

因此S被9除的余数为7.

91　解析：9191＝(1＋90)91＝1＋C90＋C902＋…＋C9091，因此，9191除以100的余数就是1＋C×90除以100的余数，为91.

　自测反馈　

1. －2　解析：由题意可知的展开式的通项为Tr＋1＝C·(ax2)5－r·＝a5－r·C·x10－2r·x－＝a5－rCx10－r.当10－r＝5时，r＝2，a3C＝10a3＝－80，则a＝－2.

2. －120　解析：(1－2x)5＝C＋C(－2x)1＋…＋C(－2x)5，则(1－2x)5(2＋x)展开式包含x3的系数为2·C·(－2)3＋C·(－2)2＝－120.

3. 0　解析：因为(t2－4)10的展开式不包含t的奇次幂，所以a1＝a3＝…＝a19＝0，则a1＋a3＋…＋a19＝0.

4. 5　解析：该二项式的展开式通项为Tr＋1＝C(3x2)n－r·＝·3n－rCx2n－2r·＝·3n－rCx2n－5r，展开式含有常数项，则令2n－5r＝0，得2n＝5r，所以展开式含有常数项的n的最小值是5.