高考数学一轮复习第10章第5节条件概率与全概率公式学案

第五节　条件概率与全概率公式

考试要求：理解条件概率和全概率公式，并能利用条件概率公式与全概率公式解决一些简单的实际问题．

一、教材概念·结论·性质重现

1．条件概率

2．全概率公式

一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝，称上面的公式为全概率公式．

3．贝叶斯公式

设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，P(B)＞0，

二、基本技能·思想·活动经验

1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．

(1)相互独立事件就是互斥事件．  (　×　)

(2)对于任意两个事件，公式P(AB)＝P(A)P(B)都成立． (　×　)

(3)P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，P(AB)表示事件A，B同时发生的概率．                            (　√　)

(4)若事件A，B相互独立，则P(B|A)＝P(B)． (　√　)

2．已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们的大小和形状完全相同．甲每次从中任取一个球不放回，则在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为(　　)

A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．

B　解析：设“第一次拿到白球”为事件A，“第二次拿到红球”为事件B．依题意P(A)＝＝，P(AB)＝＝．

故在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率P(B|A)＝＝．

3．抛掷两枚质地均匀的骰子，则在点数之和为6的条件下，其中一枚点数为2的概率为(　　)

A．   B． 

C．   D．

B　解析：设“抛掷两枚骰子，两枚骰子的点数之和为6”为事件A，“抛掷两枚骰子，其中一枚骰子的点数为2”为事件B，则P(A)＝，P(AB)＝，所以P(B|A)＝＝＝．

4．(2022·济南月考)抛掷甲、乙两颗骰子，若事件A：“甲骰子的点数大于3”；事件B：“甲、乙两骰子的点数之和等于8”，则P(B|A)的值等于________．

　解析：由题意得，P(B|A)为抛掷甲，乙两颗骰子，甲骰子的点数大于3时，甲、乙两骰子的点数之和等于8的概率．

因为抛掷甲、乙两骰子，甲骰子点数大于3的样本点有3×6＝18个，

甲骰子点数大于3时，甲、乙两骰子的点数之和等于8，样本点有(4,4)，(5,3)，(6,2)，共3个，所以P(B|A)＝＝＝．

考点1　条件概率——基础性

(1)现有四个医疗小组甲、乙、丙、丁和4个需要援助的国家可供选择，每个医疗小组只去一个国家．设事件A＝“4个医疗小组去的国家各不相同”，事件B＝“小组甲独自去一个国家”，则P(A|B)＝(　　)

A．　　　　　　　　　 B．

C．　　　   D．

A　解析：事件A＝“4个医疗小组去的国家各不相同”，事件B＝“小组甲独自去一个国家”，

则P(AB)＝＝，P(B)＝＝，

P(A|B)＝＝．故选A．

(2)从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽出2张，将其中1张放到验钞机上检验发现是假钞，则另1张也是假钞的概率为(　　)

A．   B． 

C．   D．

C　解析：记事件A：抽到的至少1张钞票是假钞，记事件B：抽到的2张钞票都是假钞，

则P(A)＝＝＝，P(AB)＝＝，

因此，P(B|A)＝＝×＝．

1．已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形都相同且灯口向下放着．现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为(　　)

A．   B． 

C．   D．

D　解析：设事件A为“第1次抽到的是螺口灯泡”，事件B为“第2次抽到的是卡口灯泡”，则P(A)＝，P(AB)＝×＝，则所求的概率为P(B|A)＝＝＝．

2．将三颗骰子各掷一次，设事件A为“三个点数都不相同”，B为“至少出现一个6点”，则条件概率P(A|B)＝________，P(B|A)＝__________．

　　解析：P(A|B)的含义是在事件B发生的条件下，事件A发生的概率，即在“至少出现一个6点”的条件下，“三个点数都不相同”的概率．因为“至少出现一个6点”有6×6×6－5×5×5＝91(种)情况，“至少出现一个6点且三个点数都不相同”共有C×5×4＝60(种)情况，所以P(A|B)＝．

P(B|A)的含义是在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，即在“三个点数都不相同”的条件下，“至少出现一个6点”的概率．因为“三个点数都不相同”有6×5×4＝120(种)情况，所以P(B|A)＝．

考点2　全概率公式——应用性

(1)设某医院仓库中有10盒同样规格的X光片，已知其中有5 盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的，且甲、乙、丙三厂生产该种X光片的次品率依次为，，．现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一张X光片，则取得的X光片是次品的概率为(　　)

A．0.08   B．0.1 

C．0.15   D．0.2

A　解析：以A1，A2，A3分别表示取得的这盒X光片是由甲厂、乙厂、丙厂生产的，

B表示取得的X光片为次品，P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，

P(B|A1)＝，P(B|A2)＝，P(B|A3)＝．

则由全概率公式，所求概率为P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)

＝×＋×＋×＝0.08．

(2)2021年初葫芦山庄播种用的一等亚腰葫芦种子中混有2%的二等种子，1.5%的三等种子，1%的四等种子，一、二、三、四等种子长出的葫芦秧结出50颗以上果实的概率分别为0.5，0.15，0.1,0.05，则这批种子所生长出葫芦秧结出50颗以上果实的概率为_________．

0.482 5　解析：设这批种子中任选一颗是一、二、三、四等种子的事件是A1，A2，A3，A4，则Ω＝A1∪A2∪A3∪A4，且A1，A2，A3，A4两两互斥，设B＝从这批种子中任选一颗，所生长出葫芦秧结出50颗以上果实，

则P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)·P(B|A3)＋P(A4)P(B|A4)

＝95.5%×0.5＋2%×0.15＋1.5%×0.1＋1%×0.05＝0.482 5．

一个盒子中有6个白球、4个黑球，从中不放回地每次任取1个，连取2次，求第二次取到白球的概率．

解：A＝{第一次取到白球}，B＝{第二次取到白球}．

因为B＝AB∪B，且AB与B互斥，所以P(B)＝P(AB)＋P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()·P(B|)＝×＋×＝0.6．

考点3　贝叶斯公式——应用性

根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有如下的效果：若以A表示事件“试验反应为阳性”，以C表示事件“被诊断者患有癌症”，则有P(A|C)＝0.9，P(|)＝0.9．现在对自然人群进行普查，设被试验的人患有癌症的概率为0.01，即P(C)＝0.01，则P(C|A)＝________．

　解析：因为P(|)＝0.9，所以P(A|)＝1－P(|)＝1－0.9＝0.1．因为P(C)＝0.01，所以P()＝0.99．由全概率公式可得P(A)＝ P(A|C)P(C)＋P(A|)P()，因为P(AC)＝ P(C|A)·P(A)＝P(A|C)P(C)，所以P(C|A)＝＝＝＝．

某卡车为乡村小学运送书籍，共装有10个纸箱，其中5箱英语书、2箱数学书、3箱语文书．到目的地时发现丢失一箱，但不知丢失哪一箱．现从剩下9箱中任意打开两箱，结果都是英语书，则丢失的一箱也是英语书的概率为(　　)

A．　　　B．　　　C．　　　D．

B　解析：用A表示丢失一箱后任取两箱是英语书，用Bk表示丢失的一箱为k，k＝1,2,3分别表示英语书、数学书、语文书．由全概率公式得P(A)＝(Bk)P(A|Bk)＝×＋×＋×＝，

P(B1|A)＝＝＝÷＝．故选B．