2023年吉林省白山市长白县金华乡中学、八道沟镇中学等四校中考数学一模试卷（含解析）

2023年吉林省白山市长白县金华乡中学、八道沟镇中学等四校中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共6小题，共12.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列立体图形中，俯视图是三角形的是(    )

A.  B.
C.  D.

2.  (    )

A.  B.  C.  D.

3.  有一个数不小于，则这个数在数轴上表示正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  计算的结果，正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，在锐角三角形中，，按以下步骤作图：以点为圆心，长为半径作圆弧，交于点；分别以点、为圆心，大于长为半径作圆弧，两弧交于点；作射线，交于点若，则的大小为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数为(    )

 

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

7.  写出比小的正整数______ ．

8.  分解因式：______．

9.  鸡兔同笼，鸡只，兔只，则共有脚        只
 

10.  年，我国南宋数学家杨辉提出这样一个问题：直田积六百五十步，只云阔不及长一步，问阔及长各几步．意思如下：矩形面积平方步，宽比长少步，问宽和长各几步？若设长为步，则根据题意可列方程为______．

11.  如图，在一束平行光线中插入一张对边平行的纸板．如果图中是，那么的度数是______．

12.  如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，≌，在轴上，则点的坐标是______ ．

13.  如图，已知∽，且：：，则：______．

14.  如图，在正五边形中，，分别以顶点、、、、为圆心，的长为半径在正五边形内作圆弧，则图中阴影部分图形的面积为______ 结果保留
 

三、解答题（本大题共12小题，共84.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.  本小题分
如图，，，求证：≌．

16.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

17.  本小题分
某餐厅为了开展促销活动，设立一个可以自由转动的转盘如图，转盘被分成四等份规定凡在本餐厅就餐的顾客，可以连续转动转盘两次，如果两次指针指向同一个汉字所在区域，即可获得一份礼物请用画树状图或列表的方法，求顾客连续转动转盘两次能获得礼物的概率．

18.  本小题分
如图所示，网格纸中每个小正方形的边长均为，线段和线段的端点均在小正方形的顶点上．
在图中画出以为边的正方形，点和点均在小正方形的顶点上；
在图中画出以为边的等腰三角形，点在小正方形的顶点上，且的面积为．

19.  本小题分
某超市在中秋节前准备购进、两种品牌的月饼进行销售，据了解，用元购买品牌月饼的数量比用元购买品牌月饼的数量多袋，且每袋品牌月饼是每袋品牌月饼价格的倍．求每袋品牌月饼的价格．

20.  本小题分
如图所示，已知反比例函数的图象经过，两点．
求反比例函数的解析式；
当时，求反比例函数函数值的取值范围．

21.  本小题分
如图所示，无人机于空中处测得某建筑顶部处的仰角为，测得该建筑底部处的俯角为若无人机的飞行高度为，求该建筑的高度结果取整数参考数据：，，
 

22.  本小题分
某山区中学名学生参加植树活动，要求每人植至棵，活动结束后随机抽查了若干名学生每人的植树量，并分为四种类型，：棵；：棵；：棵；：棵将各类的人数绘制成扇形图如图和条形图如图．

回答下列问题：
这次调查一共抽查了______ 名学生的植树量；请将条形图补充完整；
被调查学生每人植树量的众数是______ 棵、中位数是______ 棵；
求被调查学生每人植树量的平均数，并估计这名学生共植树多少棵？

23.  本小题分
某市规定了每月用水量不超过立方米和超过立方米两种不同的收费标准．该市的用户每月应交水费元是用水量立方米的一次函数，其图象如图所示．
若某月用水量不超过立方米，则每立方米的水费为______元；
当时，求与之间的函数关系式；
若小敏家三月份交水费元，求这个月小敏家的用水量．

24.  本小题分
问题呈现：如图，在一次数学折纸活动中，有一张矩形纸片，点在上，点在上，小华同学将这张矩形纸片沿翻折得到四边形，交于点，小华认为是等腰三角形，你认为小华的判断正确吗？请说明理由．
问题拓展：如图，在“问题呈现”的条件下，当点的对应点落在上时，已知，，，写出、、满足的数量关系，并证明你的结论．
问题应用：如图，在▱中，，将▱沿对角线翻折得到，交于点若点为的中点，则▱的面积为______ ．
 

25.  本小题分
如图所示，在中，，，，点从点出发，沿方向以每秒个单位长度的速度向终点运动，，，点在射线上，，以，为邻边构造矩形，设点的运动时间为．
______ 用含的代数式表示；
当点落在上时，求的值；
连接，当是等腰三角形时，求的值．

 

26.  本小题分
在平面直角坐标系中，点，点为常数，且，将点绕线段中点顺时针旋转得到点经过、、三点的抛物线记为．
当时，求抛物线所对应的函数表达式．
用含的式子分别表示点的坐标和抛物线所对应的函数表达式．直接写出即可
当抛物线在直线和之间的部分包括边界点的最高点与最低点的纵坐标之差为时，直接写出的取值范围．
连结，点在线段上，过点作轴的平行线与抛物线交于、两点，连结、当点将线段分成：两部分，且的面积为时，求的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：俯视图是三角形，故本选项符合题意；
B.俯视图是有圆心的圆，故本选项不合题意；
C.俯视图是四边形，四边形的内部有一点与四个顶点相连，故本选项不合题意；
D.俯视图是正方形，故本选项不合题意．
故选：．
根据俯视图是从物体上面看，所得到的图形，分别得出四个几何体的俯视图，即可解答．
本题考查了简单几何体的三视图，熟记常见几何体的三视图是解题关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
根据负数的相反数是正数解答即可．
本题考查相反数等知识，掌握相反数的概念是解题的关键．正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，的相反数数是．
 

3.【答案】 

【解析】解：设这个数为，
则．
故选：．
设这个数为，则，所以画实心圆点，方向向右，从而得出答案．
本题考查了在数轴上表示不等式的解集，掌握若边界点含于解集为实心点，不含于解集为空心点；小于向左，大于向右是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
直接利用同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加得出答案．
此题主要考查了同底数幂的乘法，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：由作法得，
，
，
．
故选：．
利用基本作图可判断，然后利用直角三角形的两锐角互余可计算出的度数．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
 

6.【答案】 

【解析】解：四边形是的内接四边形，
，
，
，
故选：．
根据圆的内接四边形对角互补得到，根据圆周角定理即可得到的度数．
本题考查了圆内接四边形，圆周角定理，掌握圆的内接四边形对角互补是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
，
比小的正整数为，
故答案为：．
先估算出的范围，然后写出比小的正整数即可．
本题主要考查了无理数的估算，正确估算出的范围是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
直接提取公因式分解因式即可．
此题考查的是提取公因式分解因式，关键是找出公因式．
 

9.【答案】 

【解析】解：依题意：．
共有脚鸡的只数兔的只数．
解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系．注意：每只鸡有只脚，每只兔有只脚．
 

10.【答案】 

【解析】解：若设长为步，则宽为步，
依题意得：．
故答案为：．
若设长为步，则宽为步，根据矩形面积平方步，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：如图所示，由题意可知，

，
两直线平行，同旁内角互补，
又，
，
两直线平行，内错角相等．
故答案为：．
根据平行线的性质，找到同旁内角、内错角进行推理即可得出度数．
本题考查平行线的性质，会找同旁内角、内错角并利用性质进行推理是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，，≌，
，，
点的坐标是，
故答案为：．
根据全等三角形的性质和点的坐标得出，，即可得出答案．
本题考查了坐标与图形性质，全等三角形的性质的应用，解此题的关键是求出，，数形结合思想的运用．
 

13.【答案】： 

【解析】解：∽，
，
故答案为：．
根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可解决问题．
本题考查相似三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质解决问题，记住相似三角形的面积比等于相似比的平方．
 

14.【答案】 

【解析】解：五边形是正五边形，
，
，
，
图中阴影部分图形的面积为，
故答案为：．
先求出正五边形的内角和，再由扇形面积公式求解即可．
本题考查了正多边形的性质以及扇形面积公式；熟练掌握正五边形的性质和扇形面积公式是解题的关键．
 

15.【答案】证明：，
，即．
又，
．
在与中，，
≌． 

【解析】根据平行线的性质全等三角形的判定定理证得结论．
该题主要考查了全等三角形的判定问题；解题的关键是准确找出图形中的对应元素，灵活选用全等三角形的判定方法．
 

16.【答案】解：


，
当，时，原式． 

【解析】根据单项式乘多项式、平方差公式、完全平方公式可以将题目中的式子展开，然后合并同类项，再将、的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查整式的混合运算化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 

17.【答案】解：画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中两次指针指向同一个汉字所在区域占种，
所以． 

【解析】先画树状图，展示所有种等可能的结果，其中两次指针指向同一个汉字所在区域占种，然后根据概率的定义计算即可．
本题考查了利用列表法与树状图法求概率：先通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果数，然后找出某事件所占有的结果数，再利用概率的概念计算出这个事件的概念．
 

18.【答案】解：如图，正方形即为所求；


如图，即为所求．
 

【解析】根据正方形的判定作出图形即可；
作一个腰为的等腰三角形即可．
本题考查作图应用与设计作图，等腰三角形的判定，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
 

19.【答案】解：设每袋品牌月饼的价格为元，则每袋品牌月饼的价格为元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，
答：每袋品牌月饼的价格为元． 

【解析】设每袋品牌月饼的价格为元，则每袋品牌月饼的价格为元，由题意：用元购买品牌月饼的数量比用元购买品牌月饼的数量多袋，列出分式方程，解方程即可．
本题考查了分式方程的应用；找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

20.【答案】解反比例函数的图象经过，
，
解得，
反比例函数的解析式为：；
把代入解析式得：，
由函数图可知，当时，
反比例函数函数值的取值范围是：． 

【解析】根据待定系数法，将代入即可求出的值；
将代入反比例函数解析式，即可求出的值，然后根据图象即可求得．
本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数的性质及反比例函数图象上点的坐标特点，熟知以上知识是解题的关键．
 

21.【答案】解：如图所示，过点作，垂足为．

由题意可知，，，，
在中，，
，
在中，，
，
，
，
答：该建筑的高度为． 

【解析】过点作，垂足为，则，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出可得结论．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

22.【答案】     

【解析】解：这次调查一共抽查植树的学生人数为人，
类人数人．

故答案为：；

众数是，中位数是，
故答案为：、；

棵，
棵．
答：估计这名学生共植树棵．
由类型的人数及其所占百分比可得总人数，总人数乘以类型的对应的百分比即可求出其人数，据此可补全图形；
根据众数和中位数的概念可得答案；
先求出样本的平均数，再乘以总人数即可．
本题考查条形统计图，扇形统计图，众数，中位数等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

23.【答案】 

【解析】解：若某月用水量不超过立方米，则每立方米的水费为：元．
故答案为：；

设函数解析式为，
直线经过点，
，
解得，
函数的解析式为  ；

当时，，
解得．
答：这个月用水量为立方米．
根据图象数据列式计算即可求解；
根据待定系数法，可得函数解析式；
根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．
本题考查了一次函数的应用，利用待定系数法求出函数解析式是解题关键．
 

24.【答案】 

【解析】解：问题呈现：小华的判断是正确的．
在矩形中，，
．
由折叠，得，
．
．
是等腰三角形．
问题拓展：．
在矩形中，，
由折叠，得，，，
由问题呈现，得．
在中，，
；
问题应用：

四边形为平行四边形，，，
，，，
由折叠性质可知，
，，，
，，
点为的中点，
，
，
≌，
．
，
如图，过点作于，
则，
在中，，
，
．
故答案为．
问题呈现：根据矩形性质可知由折叠，得，进而得到所以是等腰三角形．
问题拓展：由矩形性质可知，由折叠，得，，，，由问题呈现，得在中，利用勾股定理得到；
问题应用：先证明与全等，得到，，过点作于，则，在中，由勾股定理求出，从而求出，最后求▱的面积．
此题属于四边形的综合题．考查了矩形的性质、平行四边形的判定以及折叠的性质．注意掌握折叠前后图形的对应关系是解此题的关键．
 

25.【答案】 

【解析】解：提示：由点的运动可知，，
，
；
故答案为：；

当点落在上时，如图所示．

由题意可知，，
四边形是矩形，
，即，
．

在中，，，，
由勾股定理可得，，
若是等腰三角形，则需要分，
，三种情况：
当时，如图所示，

此时，则．

当时，如图所示，

，
点是的中点，即，
，
；
当时，如图所示，

此时点在的垂直平分线上．
，
，，
∽，
：：，即，
解得，
综上，当是等腰三角形时，的值为的值为或或．
由点的运动可知，，，进而可得；
当点落在上，易得四边形是矩形，则，可求出的值；
先分析，可知，；根据题意需要分类讨论，，，三种情况，再结合等腰三角形三线合一的性质，可求解．
本题是在三角形背景下的动点问题，主要考查等腰三角形的性质，相似三角形的性质与判定，垂直平分线的性质等，同时考查分类讨论思想和数形结合思想，结合分类讨论思想画出对应图形是解题关键．本题也可建立平面直角坐标系进行解答．
 

26.【答案】解：由题意可知，点为抛物线的顶点，
当时，，
设所对应的函数的表达式为，
将点代入得，
解得．
．
抛物线对称轴为直线，
点坐标为，
设抛物线解析式为，
把代入得，
解得，
．
时，在直线和之间的部分的抛物线最高点为顶点，最低点为直线与抛物线交点，
时，解得．
当时，图象最高点为直线与抛物线交点，最低点为直线与抛物线交点，
，
符合题意，
．
作于点，

点将线段分成：两部分，
，
，
，
，
设，则，
点的坐标为，
．
解得
点坐标为，，
的面积为，
，
解得或舍．
． 

【解析】利用旋转的性质，求出点，利用顶点式，将点代入式中求解即可；
根据旋转的性质可知，点的横坐标为、的中点，纵坐标在原来的基础上加上，再利用顶点求出解析式即可；
分两种情况来讨论，第一类，当函数的对称轴时；第二类，当函数的对称轴 时来讨论，分别求出的取值，再和在一起；
当将线段分成：两部分，可得出线段之间的关系，引进含的坐标，根据的面积建立的等式，求解即可．
本题考查函数的综合应用，解题关键是熟练掌握二次函数的性质，掌握待定系数法求函数解析式，通过数形结合的方法求解．