2023年广东省珠海市香洲区中考数学二模试卷（含解析）

2023年广东省珠海市香洲区中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  将向上平移个单位后所得的抛物线的解析式为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图，直线，，则(    )

A.
B.
C.
D.

4.  圆锥的底面半径为，母线长为则这个圆锥的侧面积为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  若一元二次方程有一根为，则另一根为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，电线杆的中点处有一标志物，在地面点处测得标志物的仰角为，若拉线的长度是米，则电线杆的长可表示为(    )

A. 米
B. 米
C. 米
D. 米

8.  如图，在和中，，，添加一个条件后，仍然不能证明≌，这个条件可能是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  一个小球沿一个斜坡上下滚动，其速度单位：与时间单位：的图象如图所示下列说法错误的是(    )

A. 小球的初始速度为
B. 小球先沿斜坡向上滚动，再沿斜坡向下滚动
C. 当时，小球的速度每秒增加
D. 小球在整个滚动过程中，当时，到达斜坡的最低处

10.  边长为的等边三角形中，于，为线段上一动点，连接于点，分别交，于点，当为中点时，；；点从点运动到点，点经过路径长为；的最小值正确结论是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  足球、篮球、排球，“三大球”单列成为体育中考必考项目之一，考生需任选一项参加考试，甲生选择考排球的概率为______ ．

12.  一个正数的两个平方根为和，则的值为______ ．

13.  不等式组的解集为______ ．

14.  如图，已知点是轴正半轴上一点，点在反比例函数的图象上，，，则 ______ ．

15.  我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理验证观察图，接下来，观察图，通过类比思考，因式分解 ______ ______ ．

 

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：．

17.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

18.  本小题分
如图，在中，，用尺规作图，在线段上作点，使得不写作法，保留作图痕迹．

如图，小明的作法是：以点为圆心，为半径作弧，交于点，连接请你帮助小明说明这样作图的理由；
请用另一种作法完成作图．

19.  本小题分
某校对初三年级甲班的数学期中考试成绩进行统计．
甲班所有同学的成绩分布如下：

分数的名同学的成绩：
，，，，，，，，，，，，，，．
根据以上信息请回答下列问题：
求出表格中 ______ ， ______ ；并补充完整频数分布直方图．
甲班成绩的中位数为______ ；分数的名同学成绩的众数为______ ；如果分数大于等于分定为优秀，请计算出甲班成绩的优秀率为______ ．
甲班整体平均分估计为多少分？

20.  本小题分
如图，将矩形绕点旋转得到矩形，点在上，连接，．
求证：平分；
若，，求的长度．

21.  本小题分
某水果店用元购进一批水果，受到消费者的欢迎，于是又用了元购进第二批由于第二批的价格在第一批的基础上提高了，所以比第一批的采购量少了斤．
求第一批和第二批水果的进价；
在销售过程中，水果店以每斤元的价格销售完了第一批水果和第二批水果的，为了尽快卖完剩下的水果，决定降价销售若两批水果的总利润不低于元，求降价后的水果每斤售价至少为多少元？

22.  本小题分
在平面直角坐标系中中，已知抛物线：和线段，其中点，点，点是抛物线与轴的交点，点是抛物线的顶点．
求直线的解析式；
点在抛物线上，且与点关于对称轴对称，连接，，，求证：为等腰直角三角形；
在的条件下，射线交轴于点，连接，，四边形是否能构成平行四边形？如果能，请求的值；如果不能，说明理由；
若抛物线与线段只有一个交点请结合函数图象，直接写出的取值范围______ ．

23.  本小题分
小辉同学观看卡塔尔世界杯时发现，优秀的球员通常都能选择最优的点射门仅从射门角度大小考虑这引起了小辉同学的兴趣，于是他展开了一次有趣的数学探究．

【提出问题】如图所示球员带球沿直线奔向球门，
探究：是否存在一个位置，使得射门角度最大．
【分析问题】因为线段长度不变，我们联想到圆中的弦和圆周角．
如图，射线与相交，点，点，点分别在圆外、圆上、圆内，连接，，，，，．
【解决问题】
如图，比较、、的大小：______ 用“”连接起来．
如图，点是射线上一动点点不与点重合证明：当的外接圆与射线相切时，最大．
【延伸拓展】在的条件下，如果，，当最大时证明：．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数是．
故选：．
只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．
本题考查相反数，关键是掌握相反数的定义．
 

2.【答案】 

【解析】解：抛物线的顶点坐标为，把点向上平移个单位得到的点的坐标为，所以平移后的抛物线的解析式为．
故选：．
先得到抛物线的顶点坐标为，由于点向上平移个单位得到的点的坐标为，则利用顶点式可得到平移后的抛物线的解析式为．
本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
 

3.【答案】 

【解析】解：如图所示，

，，
，
，
故选：．
根据平行线的性质得出，然后根据邻补角互补即可求解．
本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：圆锥的侧面积，
故选：．
根据圆锥的侧面展开图是扇形、扇形的面积公式计算，得到答案．
本题考查的是圆锥的计算，理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：、与不能合并，故A不符合题意．
B、原式，故B不符合题意．
C、原式，故C不符合题意．
D、原式，故D符合题意．
故选：．
根据整式的加减运算、乘除运算以及积的乘方运算即可求出答案．
本题考查整式的混合运算，解题的关键是熟练运用整式的加减运算、乘除运算以及积的乘方运算，本题属于基础题型．
 

6.【答案】 

【解析】解法一：解：一元二次方程有一根为，
，
，
，
解得：，，
另一根为．
故选：．
解法二：解：设一元二次方程的两根分别为，，
，
，
故选：．
解法一：根据题意将代入方程求出的值，再解方程即可求解．
解法二：根据根与系数的关系的关系：，即可求即．
本题主要考查解一元二次方程、根与系数的关系，熟练掌握，是一元二次方程的两根时，，是解题关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
在中，，米，
米，
点是的中点，
米，
故选：．
根据题意可得：，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再利用线段的中点定义可得，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：，，
当时，由可得≌，故A不符合题意；
当时，则，由可得≌，故B不符合题意；
当时，则，由可得≌，故C不符合题意；
当时，不能得出≌，故D符合题意；
故选：．
根据全等三角形的判定，利用、、即可得出答案．
本题主要考查全等三角形的判定，解答的关键是熟记全等三角形的判定条件并灵活运用．
 

9.【答案】 

【解析】解：时速度为，故A选项不符合题意；
由函数图象可得速度先减小后增加，所以小球先沿斜坡向上滚动，再沿斜坡向下滚动，故B选项不符合题意；
当时，小球的速度每秒增加，故C选项不符合题意；
当时，到达斜坡的最高处，故D选项符合题意；
故选：．
根据函数图象结合图形分析即可．
本题考查动点问题函数图象，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

10.【答案】 

【解析】解：当时结合可得平分，
过作于，
为中点，
，

不可能平分，
，故错误；
连接，
，
、、、四点共圆，
，
，故正确；
，
点的运动轨迹是以中点为圆心，半径为的圆，
点从点运动到点，点经过路径长为，故错误；
取中点，连接，，则，
，
，
，
的最小值，故正确．
故选：．
当时结合可得平分；即可判断；
连接，由、、、四点共圆，得出；即可判断；
计算点经过路径长为，即可判断；
取中点，连接，，利用勾股定理求出，利用两边之和大于第三边得出，即可得答案．
本题考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，四点共圆，圆周角定理等知识，解题的关键是准确处理，属于中考压轴题．
 

11.【答案】 

【解析】解：足球、篮球、排球中甲生选择考排球的概率为，
故答案为：．
根据概率公式计算即可．
本题考查概率公式求概率，注意概率所求情况数与总情况数之比．
 

12.【答案】 

【解析】解：一个正数的两个平方根为和，
，
解得，
故答案为：．
根据平方根的性质解决此题．
本题主要考查平方根，解题的关键是掌握正数的平方根互为相反数的性质．
 

13.【答案】 

【解析】解：解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组的解集为：．
故答案为：．
分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：过作轴于，


，

，
，
，
把代入得，
故答案为：．
过作轴于，根据，，即可求得，进而求得，最后代入解析式计算即可．
本题考查了直角三角形的性质，待定系数法求反比例函数的解析式，求得是解题的关键．
 

15.【答案】   

【解析】解：将图看作三个长方体相加时，可得式子：；
原式两边提取，可得原式．
故答案为：；．
把图可有两种计算方法：三个长方体相加；大正方体减去小正方体，按要求列出式子，即可解答．
本题考查了整式的乘法，因式分解，观察图形的体积如何计算是解题的关键．
 

16.【答案】解：

． 

【解析】先根据零指数幂、负整数指数幂、绝对值化简，再计算即可．
本题考查实数的混合运算，解题的关键是先根据零指数幂、负整数指数幂、绝对值化简．
 

17.【答案】解：

，
，
原式． 

【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把代入计算即可求出值．
本题考查了分式的化简求值，掌握分式的化简运算法则是解本题的关键．
 

18.【答案】解：理由如下：
，，
，
由作图可知，，
，
，
，
，
；

如图所示：
 或． 

【解析】分别求出，即可得到；
可以作的垂直平分线或者的角平分线都可以．
本题主要考查了线段垂直平分线的性质定理，等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等，掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键．
 

19.【答案】         

【解析】解：总人数人，
分数的频率，
分数的频率，
分数的频数，
补充完整频数分布直方图如下：

故答案为：；；

甲班成绩分以下的有人，所以第名成绩为，第名成绩为，
甲班成绩的中位数为；
分数的名同学成绩中出现次数最多，
分数的名同学成绩众数为；
如果分数大于等于分定为优秀，甲班成绩的优秀率为．
故答案为：，，；



分，
答：甲班整体平均分估计为分．
根据分数的频数和频率求出样本总人数，再求出，，求出分数的频数后即可补全图形；
根据中位数、众数的定义计算即可；
根据加权平均数的方法计算即可．
本题考查频数分布直方图、频数分布表、中位数、众数、平均数等知识，解题的关键是掌握基本概念，熟练应用所学知识解决问题．
 

20.【答案】证明：矩形绕点旋转得到矩形，
，
四边形是矩形，
，
，
，
平分；
作于点，设与交于点，

又，，
，
平分，，，
，
又，，，
，
在与中，
，
≌，
，
在中，，
． 

【解析】根据旋转性质得出，推出，由四边形是矩形可得，得出，从而得到，可证得结果；
作于点，设与交于点，先证明≌，得到，由勾股定理求出，再计算即可得出答案．
本题考查矩形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正确得出三角形全等是解题的关键．
 

21.【答案】解：设第一批水果进价为每斤元，列方程得，
解得，
经检验：是原方程的解．，
答：第一批水果进价为每斤元，第二批水果进价为每斤元．
，
设降价后的水果每斤售价为元，列不等式得：，
解得．
答：降价后的水果每斤售价至少为元． 

【解析】设第一批水果的进价为每斤元，则第二批水果的进价为每斤元，由题意：第二批的采购量比第一批的采购量少了斤，列出分式方程，解方程即可；
设降价后的水果售价每斤为元，由题意：两批水果的总利润不低于元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
 

22.【答案】或 

【解析】解：设的解析式为，把点，点代入解析式得，
，
解得
直线的解析式为

顶点
当时，
顶点
、都在抛物线上，且关于对称轴对称
，则
，

，且
，
为等腰直角三角形；
四边形能构成平行四边形．理由如下：
，，
向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到，
当向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到时，四边形是平行四边形，
在轴上，

；
联立，
整理得：，
当时，，此时直线与抛物线只有一个交点，交点坐标为，在线段上；
当时，，此时直线与抛物线有两个交点，
当抛物线过时，，解得，此时直线与抛物线有两个交点坐标分别为，都在线段上；
当抛物线过时，，解得，此时直线与抛物线有两个交点坐标分别为，，只有一个点在线段上；
综上所述，抛物线与线段只有一个交点时或．
设的解析式为，把点，点代入解析式计算即可；
分别求出、、的坐标即可证明；
利用平行四边对边平行且相等，结合平移求出点坐标，再根据在轴上计算即可；
先求出直线与抛物线只有一个交点，再求出直线与抛物线有两个交点时，分别经过，点的值，即可得出结论．
本题主要考查二次函数的综合问题，会用待定系数法求函数的解析式，平行四边形的性质，勾股定理，注意分类讨论是解题的关键．
 

23.【答案】 

【解析】解：设与交于点，与交于点，连接，

，
，，
，，
．
故答案为：．
解：由中的规律可得：点在圆内时最大，其次是在圆上，最后是在圆外，
当的外接圆与射线相切时，点要么在圆上为切点要么在圆外，
当点在圆上时，最大，
即当的外接圆与射线相切时，最大；
证明：方法一：如图过点作，垂足为点，交于点，连接，，．
由垂径定理得，，则，

在中，，

设的半径为，
，
，
，
，
，
，
中，，
即，
解得：舍去，
，，
，
，
，
又，
，
方法二：过点作，垂足为点，由切割线定理得，

，
在中，，
，，，
，
，
是等腰直角三角形，
，由先切角定理得，，
，即，
，．
设与交于点，与交于点，连接，由圆周角的性质可得，再由三角形的外角进行比较即可；
由中的规律可得点在圆内时最大，其次是在圆上，最后是在圆外，故当的外接圆与射线相切时最大；
过点作，垂足为点，交于点，连接，，，在中求出半径长，即可根据得到，再由即可得到．
本题主要考查圆的综合应用，涉及圆周角定理的应用，三角形外角大于与它不相邻的内角，解直角三角形等知识，根据条件证明是解决问题的关键．