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09第九章 概率——2023年高中数学学业水平考试专项精讲+测试（人教A版2019，新教材地区）
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这是一份09第九章 概率——2023年高中数学学业水平考试专项精讲+测试（人教A版2019，新教材地区），文件包含09第九章概率解析版docx、09第九章概率原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共27页， 欢迎下载使用。
第九章 概率
9.1随机事件与概率
9.2事件的相互独立性、频率与概率
9.3概率实战
9.1随机事件与概率
知识回顾
1、概率与频率
一般地,随着试验次数的增大,频率偏离概率的幅度会缩小,即事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率.我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此,我们可以用频率来估计概率.
2、古典概型
试验具有如下共同特征：
(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个；
(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等．
我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型．
3、古典概型的概率公式
一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率.
其中，和分别表示事件和样本空间包含的样本点个数．
4、概率的基本性质（性质1、性质2、性质5）
性质1：对任意的事件，都有；
性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即，；
性质5：如果，那么，由该性质可得，对于任意事件，因为，所以.
5、互斥事件的概率加法公式（性质3）
性质3：如果事件与事件互斥，那么；
注意：只有事件与事件互斥，才可以使用性质3，否则不能使用该加法公式.
6、对立事件的概率（性质4）
性质4：如果事件与事件互为对立事件，那么，；
高频考点
1．（2022·贵州·高二学业考试）同时抛掷两枚硬币，则两枚硬币都是“正面向上”的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】同时抛掷两枚硬币的所有实验情况为：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），
两枚硬币都是“正面向上”的实验情况为（正，正），
根据古典概型，概率为，
故选：A.
2．（2022·北京·高三学业考试）甲、乙两个学习小组各有5名同学，两组同学某次考试的语文、数学成绩如下图所示，其中“+”表示甲组同学，“*”表示乙组同学．
从这两个学习小组数学成绩高于80分的同学中任取一人，此人恰为甲组同学的概率是（ ）
A．0.25 B．0.3 C．0.5 D．0.75
【答案】C
【详解】根据图象可知，两个小组高于分的同学各有人，
所以从中任取一人，此人恰为甲组同学的概率是.
故选：C
3．（2022·四川·高三学业考试）若从中随机选取一个数记为，从中随机选取一个数记为，则的概率是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】从中随机选取一个数记为，从中随机选取一个数记为，
将取出的，记为，
所有可能出现的结果为： ，共个，
其中满足的有，共3个，
所以，的概率为．
故选：B．
4．（2022·湖南娄底·高二学业考试）甲､乙去同一家药店各购一种医用外科口罩，已知这家药店出售A，B､C三种医用外科口罩，则甲､乙购买的是同一种医用外科口罩的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】甲、乙在A，B，C三种医用外科口罩中各购一种的基本事件有,,,
，,,,,共9种，
其中甲，乙购买的是同一种医用外科口罩基本事件有,3种，
则其概率为.
故选:.
5．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）2021年某省新高考将实行“”模式，即语文、数学、外语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式.某同学已选了物理，记事件：“他选择政治和地理”，事件：“他选择化学和地理”，则事件与事件（ ）
A．是互斥事件，不是对立事件 B．是对立事件，不是互斥事件
C．既是互斥事件，也是对立事件 D．既不是互斥事件也不是对立事件
【答案】A
【详解】事件与事件不能同时发生，是互斥事件
他还可以选择化学和政治，不是对立事件
故答案选A
6．（2022·浙江·慈溪市三山高级中学高二学业考试）通苏嘉甬高速铁路起自南通西站， 经苏州市、嘉兴市后跨越杭州湾进入宁波市， 全线正线运营长度， 其中新建线路长度， 是《中长期铁路网规划》中 “八纵八横”高速铁路主通道之一的沿海通道的重要组成部分， 是长江三角洲城市群的重要城际通道， 沿途共设南通西、张家港、常熟西、 苏州北、汾湖、嘉兴北、嘉兴南、海盐西、慈溪、庄桥等 10 座车站.假设甲、乙两人从首发站（南通西） 同时上车， 在沿途剩余9站中随机下车， 两人互不影响， 则甲、乙两人在同一站下车的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：甲、乙两人从首发站（南通西） 同时上车，沿途经过剩余9个车站，甲、乙两人随机下车，互不影响，故甲、乙两人下车包含的基本事件个数为：
设“甲、乙两人在同一车站下车为事件M”，则事件M包含的基本事件个数为：
.
故选：D.
7．（2022·福建·高二学业考试）随机投掷一枚质地均匀的骰子，出现向上的点数为奇数的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】随机投掷一枚质地均匀的骰子，点数向上的结果有6种，其中向上的点数为奇数的有3种
所以出现向上的点数为奇数的概率是
故选：C
二、填空题
8．（2022·天津南开·高二学业考试）某班有60名学生，其中女生24人，现任选一人，则选中男生的概率为___________．
【答案】##
【详解】解：依题意选中男生的概率；
故答案为：
9．（2022·浙江·太湖高级中学高二学业考试）刘徽是魏晋时代著名数学家，是我国古代数学的集大成者，他给出了阶幻方的构作方法是数学史上算法的范例，他的阶幻方被称为“神农幻方”.所谓幻方，是把排成的方阵，使其每行、每列和对角线的数字之和均相等.下图是刘徽构作的3阶幻方，现从中随机抽取三个数，满足数字之和等于15，则含有数字5或6的概率为______.
8
1
6
3
5
7
4
9
2
【答案】##0.75
【详解】由题意得，
该3阶幻方每行、每列和对角线上的数字之和均等于15，
从中随机抽取三个数，数字之和等于15，基本事件总数为8，
易知事件“含有数字5或6”包含的基本事件数为6，
故所求事件的概率为.
故答案为：.
三、解答题
10．（2022·重庆·高一学业考试）某班有45名学生，其中选考化学的学生有23人，选考地理的学生有15人，选考化学或地理的学生有29人，从该班任选一名学生，则该生既选考化学又选考地理的概率为__________.
【答案】
【详解】根据容斥原理，既选考化学又选考地理的人数为，
由古典概型的公式，可得，
故答案为：.
11．（2022·甘肃·天水市第一中学高二学业考试）某省会城市为了积极倡导市民优先乘坐公共交通工具绿色出行，切实改善城市空气质量，缓解城市交通压力，公共交通系统推出“2元换乘畅享公交”“定制公交”“限行日免费乘公交”“绿色出行日免费乘公交”等便民服务措施．为了更好地了解乘坐公共交通的乘客的年龄分布，交管部门对某线路公交车统计整理了某一天1200名乘客的年龄数据，得到的频率分布直方图如下图所示：
(1)求m的值和这1200名乘客年龄的中位数；
(2)现在从年龄分布在人中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中抽取2人进行问卷调查，求这2人中至少有一人年龄在的概率．
【答案】(1)，中位数为；
(2)
（1）
解：依题意可得，解得，
因为，所以中位数为于，
设中位数为，则，解得，故这1200名乘客年龄的中位数为；
（2）
解：从年龄分布在人中用分层抽样的方法抽取5人，则中抽取人，记作、，
中抽取人，记作、、，
则从这5人中抽取2人进行问卷调查有，，，，，，，，，共个基本事件；
满足这2人中至少有一人年龄在的有，，，，，，共个基本事件，
所以满足这2人中至少有一人年龄在的概率；
12．（2022·全国·高一学业考试）2022年将在成都举行“第31届世界大学生夏季运动会”，为迎接大运会，郫都区举行了“爱成都迎大运”系列活动.同时为了了解郫都区人民对体育运动的热情和对运动相关知识的掌握情况，郫都区总工会在各社区开展了有奖知识竞赛，参赛人员所得分数的分组区间为、、、、，由此得到总体的频率统计表，再利用分层抽样的方式随机抽取20名居民进行进一步调研.
分数区间
频率
0.1
0.4
0.2
a
(1)若从得分在80分以上的样本中随机选取2人，则选出的两人中至少有一人在90分以上的概率；
(2)郫都区总工会计划对此次参加活动的居民全部进行奖励，按照分数从高到低设置一等奖，二等奖，三等奖，参与奖，其得奖率分别为15%，20%，25%，40%，试根据上表估计得到二等奖的分数区间.
【答案】(1)
(2)，
（1）由题意得，所以.得分位于的共有人，分别为A，B，C，D，得分位于的共有人，分别为E，F从这6人中选出2人共有{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{D，E}，{D，F}，{E，F}这15种情况，其中含有至少一人为90分以上的情况是{A，E}，{A，F}，{B，E}，{B，F}，{C，E}，{C，F}，{D，E}，{D，F}，{E，F}共9种情况，所以选出的两人中至少有一人在90分以上的概率.
（2）设得一等奖的最低分数为x，二等奖的最低分数为y；则，解出，解出所以二等奖的分数区间为.（或：一等奖的最低分数为二等奖的最低分数为，从而二等奖的分数区间为）
13．（2022·全国·高一学业考试）从甲地到乙地沿某条公路行驶一共200公里，遇到红灯个数的概率如下表所示：
红灯个数
0
1
2
3
4
5
6个及6个以上
概率
0.02
0.1
0.35
0.2
0.1
0.03
(1)求表中字母的值；
(2)求至少遇到4个红灯的概率；
(3)求至多遇到5个红灯的概率.
【答案】(1)0.2；(2)0.33；(3)0.97.
【详解】(1)由题意可得，解得.
(2)设事件为遇到红灯的个数为4，事件为遇到红灯的个数为5，事件为遇到红灯的个数为6个及以上，则事件“至少遇到4个红灯”为，因为事件互斥，所以
，即至少遇到4个红灯的概率为0.33.
(3)设事件为遇到6个及6个以上红灯，则至多遇到5个红灯为事件.
则.
9.2事件的相互独立性、频率与概率
知识回顾
1、相互独立事件
对任意两个事件与，如果成立，则称事件与事件相互独立(mutually independent)，简称为独立．
性质1：必然事件、不可能事件与任意事件相互独立
性质2：如果事件与相互独立，则与，与，与也相互独立
则：，，
高频考点
1．（2022·湖南·怀化市辰溪博雅实验学校高二学业考试）甲地下雨的概率为，乙地下雨的概率为，两地是否下雨相互独立，则两地同时下雨的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：记“甲地下雨”为事件，则，
记“乙地下雨”为事件，则，
两地同时下雨的概率为.
故选：A.
2．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）坛子中放有3个白球、2个黑球，从中不放回地取球2次，每次取1个球，用表示“第一次取得白球”，表示“第二次取得白球”，则和是（ ）
A．互斥的事件 B．相互独立的事件
C．对立的事件 D．不相互独立的事件
【答案】D
【详解】设白球编号为，黑球的编号为，
从坛子中不放回地取球2次，基本事件有，
，,
，所以和是不相互独立的事件.
基本事件包括“第次取到白球，第次取到白球”，即和可以同时发生，
所以和不是互斥，也不是对立事件.
故选：D
3．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚硬币正面朝上”，事件“第二枚硬币反面朝上”，则下列结论中正确的为（ ）
A．与互为对立事件 B．与互斥
C．与相等 D．与互为独立事件
【答案】D
【详解】因为抛掷两枚质地均匀的硬币包含：
第一枚硬币正面朝上第二枚硬币正面朝上；第一枚硬币正面朝上第二枚硬币反面朝上；
第一枚硬币反面朝上第二枚硬币正面朝上；第一枚硬币反面朝上第二枚硬币反面朝上，共4种情况.
其中事件包含第一枚硬币正面朝上第二枚硬币正面朝上，第一枚硬币正面朝上第二枚硬币反面朝上2种情况，事件包含第一枚硬币正面朝上第二枚硬币反面朝上，第一枚硬币反面朝上第二枚硬币反面朝上2种情况，
所以与不互斥，也不对立，也不相等，且发生互不影响，故D正确.
所以ABC错误，D正确，
故选：D
4．（2022·浙江·太湖高级中学高二学业考试）已知事件A､B相互独立，，则（ ）
A．0.58 B．0.9 C．0.7 D．0.72
【答案】A
【详解】由题意
故
故选：A
5．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）某大学的“篮球”“无人机”“戏剧”三个社团考核挑选新社员，已知大一某新生对这三个社团都很感兴趣，决定三个考核都参加，假设他通过“篮球”“无人机”“戏剧”三个社团考核的概率依次为、、，且他通过每个考核相互独立，若三个社团考核他都能通过的概率为，至少通过一个社团考核的概率为，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】因为三个社团考核他都能通过的概率为，至少通过一个社团考核的概率为，
所以，即，解得.
故选: D.
6．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】两位男同学和两位女同学排成一列，因为男生和女生人数相等，两位女生相邻与不相邻的排法种数相同，所以两位女生相邻与不相邻的概率均是．故选D．
7．（2022·全国·高一学业考试）2021年神舟十二号、十三号载人飞船发射任务都取得圆满成功，这意味着我国的科学技术和航天事业取得重大进步．现有航天员甲、乙、丙三个人，进入太空空间站后需要派出一人走出太空站外完成某项试验任务，工作时间不超过10分钟，如果10分钟内完成任务则试验成功结束任务，10分钟内不能完成任务则撤回再派下一个人，每个人只派出一次．已知甲、乙、丙10分钟内试验成功的概率分别为，，，每个人能否完成任务相互独立，该项试验任务按照甲、乙、丙顺序派出，则试验任务成功的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】试验任务成功的事件是甲成功的事件，甲不成功乙成功的事件，甲乙都不成功丙成立的事件的和，
事件，，互斥，，，，
所以试验任务成功的概率.
故选：D
8．（多选）（2022·浙江·杭州市余杭高级中学高二学业考试）从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是（ ）
A．个球都是红球的概率为 B．个球不都是红球的概率为
C．至少有个红球的概率为 D．个球中恰有个红球的概率为
【答案】ACD
【详解】解：由题可知，从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，
则从甲袋中摸出一个不是红球的概率是，从乙袋中摸出一个不是红球的概率是，
对于A选项，个球都是红球的概率为，A选项正确；
对于B选项，个球不都是红球的概率为，B选项错误；
对于C选项，至少有个红球的概率为，C选项正确；
对于D选项，个球中恰有个红球的概率，D选项正确.
故选：ACD.
9．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）城区某道路上甲、乙、丙三处设有信号灯，汽车在这三处因遇绿灯而通行的概率分别为，，则汽车在这三处因遇红灯或黄灯而停车一次的概率为________．
【答案】
【详解】∵设汽车分别在甲乙丙三处的通行为事件，停车为，
∴，，，
∵停车一次即为事件，
∴所求概率为：．
故答案为: .
10．（2022·全国·高二学业考试）计算机考试分理论考试与实际操作两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则计算机考试“合格”，并颁发合格证书甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为，，，在实际操作考试中“合格”的概率依次为，，，所有考试是否合格相互之间没有影响.
（1）假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试，谁获得合格证书的可能性最大？
（2）这三人进行理论与实际操作两项考试后，求恰有两人获得合格证书的概率.
【答案】（1）丙；（2）
【详解】（1）设“甲获得合格证书”为事件A，“乙获得合格证书”为事件B，“丙获得合格证书”为事件C，则，，.
因为，所以丙获得合格证书的可能性最大.
（2）设“三人考试后恰有两人获得合格证书”为事件D，则.
9.3概率实战
一、单选题
1．（2021·贵州·高二学业考试）从甲、乙、丙三名候选人中任选两人参加党史知识竞赛，则乙被选中的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：从甲、乙、丙三名候选人中任选两人参加党史知识竞赛，
共有（甲，乙），（甲，丙），（乙，丙）3种选法，
其中乙被选中有2种选法，
故乙被选中的概率为.
故选：C.
2．（2021·北京·高二学业考试）《北京2022年冬奥会——冰上运动》纪念邮票一套共有5枚，邮票图案名称分别为：短道速滑、花样滑冰、速度滑冰、冰壶、冰球.小冬买了一套该种纪念邮票，准备随机送给小冰等5位同学，每人1枚，则小冰收到邮票的图案名称是短道速滑的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：依题意，任何一位同学收到短道速滑图案的邮票概率都为，
故选：C
3．（2021·福建·高三学业考试）根据防疫要求，需从名男医生和名女医生中任选名参加社区防控服务，则选中的名都是男医生的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：将名男医生记为，，名女医生记为
从名男医生和名女医生中任选名参加社区防控服务，所有可能情况有：
，，共种
选中的名都是男医生的情况为：，共种
所以选中的名都是男医生的概率为：.
故选：B.
4．（2021·山东·高三学业考试）从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（ ）
A．至少有一个白球与都是红球 B．恰好有一个白球与都是红球
C．至少有一个白球与都是白球 D．至少有一个白球与至少一个红球
【答案】B
【详解】解：对于A，事件：“至少有一个白球”与事件：“都是红球”不能同时发生，但是对立，故A错误；
对于B，事件：“恰好有一个白球”与事件：“都是红球”不能同时发生，但从口袋内任取两个球时还有可能是两个都是白球，
所以两个事件互斥而不对立，故B正确；
对于C，事件：“至少有一个白球”与事件：“都是白球”可以同时发生，所以这两个事件不是互斥的，故C错误；
对于D，事件：“至少有一个白球”与事件：“至少一个红球”可以同时发生，即“一个白球，一个红球” ，所以这两个事件不是互斥的，故D错误.
故选：B.
5．（2021·北京·高二学业考试）掷一枚均匀的骰子，观察朝上的面的点数.记事件 “点数为奇数”，事件 “点数大于4”，则事件（ ）
A．“点数为3” B．“点数为4”
C．“点数为5” D．“点数为6”
【答案】C
【详解】由题意，可知，，
即事件“点数为5”
故选：C
6．（2021·天津红桥·高一学业考试）一个袋子装有四个形状、大小完全相同的球，球的编号分别为1、2、3、4，从袋中随机抽取两个球，则取出的球的编号之和等于5的概率为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：从编号为1、2、3、4的4个球中随机抽取两个球，其可能结果有，，，，，共6个，其中满足编号之和等于5的有，共2个，
所以取出的球的编号之和等于5的概率
故选：B
7．（2021·湖北·高二学业考试）中国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”．如4＝2＋2，6＝3＋3，8＝3＋5，…，现从3，5，7，11，13这5个素数中，随机选取两个不同的数，其和等于16的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：从3，5，7，11，13这5个素数中，随机选取两个不同的数共有钟可能，
其和等于16的结果（3，13），（5，11）2种等可能的结果，
所以概率.
故选：B.
8．（2021·辽宁大连·高三学业考试）掷一个骰子的试验，事件表示“出现小于5的偶数点”，事件表示“出现小于5的点数”.若表示的对立事件，则一次试验中，事件发生的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】掷一个骰子的试验有6种可能结果．
依题意，，，
因为表示“出现5点或6点”的事件，表示“出现小于5的偶数点”，
所以与互斥，
故.
故选：C
9．（2021·贵州·高二学业考试）掷一枚均匀的硬币，如果连续抛掷1000次，那么第999次出现正面向上的概率是
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】每一次出现正面朝上的概率相等都是，故选D.
二、填空题
10．（2021·贵州·高二学业考试）从1，2，3，4，5这五个数中任取一个数，则取到的数是偶数的概率为_____.
【答案】
【详解】由已知1，2，3，4，5这五个数中，
偶数为2，4，所以偶数的概率为，
故答案为：.
11．（2021·山东·高三学业考试）一张方桌有四个座位，先坐在如图所示的座位上，，，三人随机坐到其他三个位置上，则与相邻的概率为___________.
【答案】
【详解】，，三人随机坐到其他三个位置上，共有种等可能情况，
要使与不相邻，则必坐在的对面，此时与的坐法共有2种情况，
所以根据古典概型求概率公式可知与相邻的概率为.
故答案为：
三、解答题
12．（2021·湖南省邵东市第三中学高二学业考试）某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这 50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为
（1）求频率分布图中的值，并估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；
（2）从评分在的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在 的概率.
【答案】（1）; （2）
试题解析：（1）由频率分布直方图知，
所以.
该企业的职工对该部分评分不低于80的概率为.
（2）受访职工中评分在的有：人，记为a，b，c；受访职工中评分在的有：人，记为A，B，从这5名受访职工中随机抽取2人，所有的可能结果有10种，分别为：{a，b}，{a，c}，{a，A}，{a，B}，{b，c}，{b，A}，{b，B}，{c，A}，{c，B}，{A，B}，此2人评分都在包含的基本事件有{a，b}，{a，c}，{b，c}，共3个，
∴从评分在的受访职工中，随机抽取2人，此2人评分都在的概率.
13．（2021·广西·高二学业考试）为了庆祝中国共产党百年华诞，某学校党支部举行了党史学习教育知识竞赛，其中甲、乙两个小组各选拔7名党员参赛，参赛党员的成绩用茎叶图表示如下：
(1)已知甲小组的平均数是87，乙小组的中位数是88，求x，y的值；
(2)若从甲、乙两个小组成绩在90分以上的党员中抽取2人参加市级比赛，求这2人来自不同的小组的概率.
【答案】(1)；；
(2).
(1)
∵甲小组的平均数是87，
∴，
∴，又乙小组的中位数是88，
∴；
(2)
由题可知甲小组成绩在90分以上的党员有3人，设为，
乙小组成绩在90分以上的党员有3人，设为，
则从这6人中抽取2人，
包括
共15种，
其中这2人来自不同的小组的有共9种，
故2人来自不同的小组的概率为.
14．（2021·辽宁大连·高三学业考试）在抗击新冠肺炎疫情期间，某校开展了“名师云课”活动，活动自开展以来获得广大家长和学生的高度关注.在“名师云课”中，数学学科共计推出72节云课，为了更好地将课程内容呈现给学生，现随机抽取某一时段数学学科的云课点击量进行统计：
点击量
[0,700]
（700,1400]
（1400,2100]
节数
12
36
24
(1)现从数学学科72节云课中采用分层抽样的方式选出6节，求选出云课的点击量在（700,1400]内的节数；
(2)为了更好地搭建云课平台，现将数学学科云课进行剪辑，若点击量在 [0,700]内，则需要花费40分钟进行剪辑，若点击量在（700,1400]内，则需要花费20分钟进行剪辑，若点击量在（1400,2100]内，则不需要剪辑.现从（1）问选出的6节课中任意选出2节课进行剪辑，求剪辑时间为60分钟的概率.
【答案】(1)3；
(2).
(1)
设选出云课的点击量在内的节数为n，按分层抽样，解得n=3.
(2)
按分层抽样，由点击量分别在、、节数比为12:36:24=1:3:2
所以6节课中，选出云课点击量在、、节数分别为1、3、2，点击量在的一节课设为，点击量在设为， 点击量在的设为，
又由题知选出2节课剪辑时间为60分钟的选法是选出一节点击量在内，另一节在内，共3种选法，为，，，其中从6节课中任意选出2节课进行剪辑共15种选法，分别为，，，，，，，，，，，，，，
所以，剪辑时间为60分钟的概率为.
15．（2021·天津河东·高二学业考试）一个口袋内装有大小相同的6个小球，其中2个红球记为，，4个黑球记为，，，，从中一次摸出2个球.
（1）写出这个试验的样本空间及样本点总数；
（2）求摸出的2个球颜色不同的概率.
【答案】（1）答案见解析；（2）.
【详解】（1）这个试验的样本空间：，共15个样本点.
（2）由15个样本点出现的可能性是相等的，且事件“2个球颜色不同”包含的样本点有，，，，，，，，共8个，∴所求事件的概率.
第九章 概率
9.1随机事件与概率
9.2事件的相互独立性、频率与概率
9.3概率实战
9.1随机事件与概率
知识回顾
1、概率与频率
一般地,随着试验次数的增大,频率偏离概率的幅度会缩小,即事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率.我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此,我们可以用频率来估计概率.
2、古典概型
试验具有如下共同特征：
(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个；
(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等．
我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型．
3、古典概型的概率公式
一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率.
其中，和分别表示事件和样本空间包含的样本点个数．
4、概率的基本性质（性质1、性质2、性质5）
性质1：对任意的事件，都有；
性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即，；
性质5：如果，那么，由该性质可得，对于任意事件，因为，所以.
5、互斥事件的概率加法公式（性质3）
性质3：如果事件与事件互斥，那么；
注意：只有事件与事件互斥，才可以使用性质3，否则不能使用该加法公式.
6、对立事件的概率（性质4）
性质4：如果事件与事件互为对立事件，那么，；
高频考点
1．（2022·贵州·高二学业考试）同时抛掷两枚硬币，则两枚硬币都是“正面向上”的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】同时抛掷两枚硬币的所有实验情况为：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），
两枚硬币都是“正面向上”的实验情况为（正，正），
根据古典概型，概率为，
故选：A.
2．（2022·北京·高三学业考试）甲、乙两个学习小组各有5名同学，两组同学某次考试的语文、数学成绩如下图所示，其中“+”表示甲组同学，“*”表示乙组同学．
从这两个学习小组数学成绩高于80分的同学中任取一人，此人恰为甲组同学的概率是（ ）
A．0.25 B．0.3 C．0.5 D．0.75
【答案】C
【详解】根据图象可知，两个小组高于分的同学各有人，
所以从中任取一人，此人恰为甲组同学的概率是.
故选：C
3．（2022·四川·高三学业考试）若从中随机选取一个数记为，从中随机选取一个数记为，则的概率是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】从中随机选取一个数记为，从中随机选取一个数记为，
将取出的，记为，
所有可能出现的结果为： ，共个，
其中满足的有，共3个，
所以，的概率为．
故选：B．
4．（2022·湖南娄底·高二学业考试）甲､乙去同一家药店各购一种医用外科口罩，已知这家药店出售A，B､C三种医用外科口罩，则甲､乙购买的是同一种医用外科口罩的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】甲、乙在A，B，C三种医用外科口罩中各购一种的基本事件有,,,
，,,,,共9种，
其中甲，乙购买的是同一种医用外科口罩基本事件有,3种，
则其概率为.
故选:.
5．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）2021年某省新高考将实行“”模式，即语文、数学、外语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式.某同学已选了物理，记事件：“他选择政治和地理”，事件：“他选择化学和地理”，则事件与事件（ ）
A．是互斥事件，不是对立事件 B．是对立事件，不是互斥事件
C．既是互斥事件，也是对立事件 D．既不是互斥事件也不是对立事件
【答案】A
【详解】事件与事件不能同时发生，是互斥事件
他还可以选择化学和政治，不是对立事件
故答案选A
6．（2022·浙江·慈溪市三山高级中学高二学业考试）通苏嘉甬高速铁路起自南通西站， 经苏州市、嘉兴市后跨越杭州湾进入宁波市， 全线正线运营长度， 其中新建线路长度， 是《中长期铁路网规划》中 “八纵八横”高速铁路主通道之一的沿海通道的重要组成部分， 是长江三角洲城市群的重要城际通道， 沿途共设南通西、张家港、常熟西、 苏州北、汾湖、嘉兴北、嘉兴南、海盐西、慈溪、庄桥等 10 座车站.假设甲、乙两人从首发站（南通西） 同时上车， 在沿途剩余9站中随机下车， 两人互不影响， 则甲、乙两人在同一站下车的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：甲、乙两人从首发站（南通西） 同时上车，沿途经过剩余9个车站，甲、乙两人随机下车，互不影响，故甲、乙两人下车包含的基本事件个数为：
设“甲、乙两人在同一车站下车为事件M”，则事件M包含的基本事件个数为：
.
故选：D.
7．（2022·福建·高二学业考试）随机投掷一枚质地均匀的骰子，出现向上的点数为奇数的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】随机投掷一枚质地均匀的骰子，点数向上的结果有6种，其中向上的点数为奇数的有3种
所以出现向上的点数为奇数的概率是
故选：C
二、填空题
8．（2022·天津南开·高二学业考试）某班有60名学生，其中女生24人，现任选一人，则选中男生的概率为___________．
【答案】##
【详解】解：依题意选中男生的概率；
故答案为：
9．（2022·浙江·太湖高级中学高二学业考试）刘徽是魏晋时代著名数学家，是我国古代数学的集大成者，他给出了阶幻方的构作方法是数学史上算法的范例，他的阶幻方被称为“神农幻方”.所谓幻方，是把排成的方阵，使其每行、每列和对角线的数字之和均相等.下图是刘徽构作的3阶幻方，现从中随机抽取三个数，满足数字之和等于15，则含有数字5或6的概率为______.
8
1
6
3
5
7
4
9
2
【答案】##0.75
【详解】由题意得，
该3阶幻方每行、每列和对角线上的数字之和均等于15，
从中随机抽取三个数，数字之和等于15，基本事件总数为8，
易知事件“含有数字5或6”包含的基本事件数为6，
故所求事件的概率为.
故答案为：.
三、解答题
10．（2022·重庆·高一学业考试）某班有45名学生，其中选考化学的学生有23人，选考地理的学生有15人，选考化学或地理的学生有29人，从该班任选一名学生，则该生既选考化学又选考地理的概率为__________.
【答案】
【详解】根据容斥原理，既选考化学又选考地理的人数为，
由古典概型的公式，可得，
故答案为：.
11．（2022·甘肃·天水市第一中学高二学业考试）某省会城市为了积极倡导市民优先乘坐公共交通工具绿色出行，切实改善城市空气质量，缓解城市交通压力，公共交通系统推出“2元换乘畅享公交”“定制公交”“限行日免费乘公交”“绿色出行日免费乘公交”等便民服务措施．为了更好地了解乘坐公共交通的乘客的年龄分布，交管部门对某线路公交车统计整理了某一天1200名乘客的年龄数据，得到的频率分布直方图如下图所示：
(1)求m的值和这1200名乘客年龄的中位数；
(2)现在从年龄分布在人中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中抽取2人进行问卷调查，求这2人中至少有一人年龄在的概率．
【答案】(1)，中位数为；
(2)
（1）
解：依题意可得，解得，
因为，所以中位数为于，
设中位数为，则，解得，故这1200名乘客年龄的中位数为；
（2）
解：从年龄分布在人中用分层抽样的方法抽取5人，则中抽取人，记作、，
中抽取人，记作、、，
则从这5人中抽取2人进行问卷调查有，，，，，，，，，共个基本事件；
满足这2人中至少有一人年龄在的有，，，，，，共个基本事件，
所以满足这2人中至少有一人年龄在的概率；
12．（2022·全国·高一学业考试）2022年将在成都举行“第31届世界大学生夏季运动会”，为迎接大运会，郫都区举行了“爱成都迎大运”系列活动.同时为了了解郫都区人民对体育运动的热情和对运动相关知识的掌握情况，郫都区总工会在各社区开展了有奖知识竞赛，参赛人员所得分数的分组区间为、、、、，由此得到总体的频率统计表，再利用分层抽样的方式随机抽取20名居民进行进一步调研.
分数区间
频率
0.1
0.4
0.2
a
(1)若从得分在80分以上的样本中随机选取2人，则选出的两人中至少有一人在90分以上的概率；
(2)郫都区总工会计划对此次参加活动的居民全部进行奖励，按照分数从高到低设置一等奖，二等奖，三等奖，参与奖，其得奖率分别为15%，20%，25%，40%，试根据上表估计得到二等奖的分数区间.
【答案】(1)
(2)，
（1）由题意得，所以.得分位于的共有人，分别为A，B，C，D，得分位于的共有人，分别为E，F从这6人中选出2人共有{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{D，E}，{D，F}，{E，F}这15种情况，其中含有至少一人为90分以上的情况是{A，E}，{A，F}，{B，E}，{B，F}，{C，E}，{C，F}，{D，E}，{D，F}，{E，F}共9种情况，所以选出的两人中至少有一人在90分以上的概率.
（2）设得一等奖的最低分数为x，二等奖的最低分数为y；则，解出，解出所以二等奖的分数区间为.（或：一等奖的最低分数为二等奖的最低分数为，从而二等奖的分数区间为）
13．（2022·全国·高一学业考试）从甲地到乙地沿某条公路行驶一共200公里，遇到红灯个数的概率如下表所示：
红灯个数
0
1
2
3
4
5
6个及6个以上
概率
0.02
0.1
0.35
0.2
0.1
0.03
(1)求表中字母的值；
(2)求至少遇到4个红灯的概率；
(3)求至多遇到5个红灯的概率.
【答案】(1)0.2；(2)0.33；(3)0.97.
【详解】(1)由题意可得，解得.
(2)设事件为遇到红灯的个数为4，事件为遇到红灯的个数为5，事件为遇到红灯的个数为6个及以上，则事件“至少遇到4个红灯”为，因为事件互斥，所以
，即至少遇到4个红灯的概率为0.33.
(3)设事件为遇到6个及6个以上红灯，则至多遇到5个红灯为事件.
则.
9.2事件的相互独立性、频率与概率
知识回顾
1、相互独立事件
对任意两个事件与，如果成立，则称事件与事件相互独立(mutually independent)，简称为独立．
性质1：必然事件、不可能事件与任意事件相互独立
性质2：如果事件与相互独立，则与，与，与也相互独立
则：，，
高频考点
1．（2022·湖南·怀化市辰溪博雅实验学校高二学业考试）甲地下雨的概率为，乙地下雨的概率为，两地是否下雨相互独立，则两地同时下雨的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：记“甲地下雨”为事件，则，
记“乙地下雨”为事件，则，
两地同时下雨的概率为.
故选：A.
2．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）坛子中放有3个白球、2个黑球，从中不放回地取球2次，每次取1个球，用表示“第一次取得白球”，表示“第二次取得白球”，则和是（ ）
A．互斥的事件 B．相互独立的事件
C．对立的事件 D．不相互独立的事件
【答案】D
【详解】设白球编号为，黑球的编号为，
从坛子中不放回地取球2次，基本事件有，
，,
，所以和是不相互独立的事件.
基本事件包括“第次取到白球，第次取到白球”，即和可以同时发生，
所以和不是互斥，也不是对立事件.
故选：D
3．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚硬币正面朝上”，事件“第二枚硬币反面朝上”，则下列结论中正确的为（ ）
A．与互为对立事件 B．与互斥
C．与相等 D．与互为独立事件
【答案】D
【详解】因为抛掷两枚质地均匀的硬币包含：
第一枚硬币正面朝上第二枚硬币正面朝上；第一枚硬币正面朝上第二枚硬币反面朝上；
第一枚硬币反面朝上第二枚硬币正面朝上；第一枚硬币反面朝上第二枚硬币反面朝上，共4种情况.
其中事件包含第一枚硬币正面朝上第二枚硬币正面朝上，第一枚硬币正面朝上第二枚硬币反面朝上2种情况，事件包含第一枚硬币正面朝上第二枚硬币反面朝上，第一枚硬币反面朝上第二枚硬币反面朝上2种情况，
所以与不互斥，也不对立，也不相等，且发生互不影响，故D正确.
所以ABC错误，D正确，
故选：D
4．（2022·浙江·太湖高级中学高二学业考试）已知事件A､B相互独立，，则（ ）
A．0.58 B．0.9 C．0.7 D．0.72
【答案】A
【详解】由题意
故
故选：A
5．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）某大学的“篮球”“无人机”“戏剧”三个社团考核挑选新社员，已知大一某新生对这三个社团都很感兴趣，决定三个考核都参加，假设他通过“篮球”“无人机”“戏剧”三个社团考核的概率依次为、、，且他通过每个考核相互独立，若三个社团考核他都能通过的概率为，至少通过一个社团考核的概率为，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】因为三个社团考核他都能通过的概率为，至少通过一个社团考核的概率为，
所以，即，解得.
故选: D.
6．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】两位男同学和两位女同学排成一列，因为男生和女生人数相等，两位女生相邻与不相邻的排法种数相同，所以两位女生相邻与不相邻的概率均是．故选D．
7．（2022·全国·高一学业考试）2021年神舟十二号、十三号载人飞船发射任务都取得圆满成功，这意味着我国的科学技术和航天事业取得重大进步．现有航天员甲、乙、丙三个人，进入太空空间站后需要派出一人走出太空站外完成某项试验任务，工作时间不超过10分钟，如果10分钟内完成任务则试验成功结束任务，10分钟内不能完成任务则撤回再派下一个人，每个人只派出一次．已知甲、乙、丙10分钟内试验成功的概率分别为，，，每个人能否完成任务相互独立，该项试验任务按照甲、乙、丙顺序派出，则试验任务成功的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】试验任务成功的事件是甲成功的事件，甲不成功乙成功的事件，甲乙都不成功丙成立的事件的和，
事件，，互斥，，，，
所以试验任务成功的概率.
故选：D
8．（多选）（2022·浙江·杭州市余杭高级中学高二学业考试）从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是（ ）
A．个球都是红球的概率为 B．个球不都是红球的概率为
C．至少有个红球的概率为 D．个球中恰有个红球的概率为
【答案】ACD
【详解】解：由题可知，从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，
则从甲袋中摸出一个不是红球的概率是，从乙袋中摸出一个不是红球的概率是，
对于A选项，个球都是红球的概率为，A选项正确；
对于B选项，个球不都是红球的概率为，B选项错误；
对于C选项，至少有个红球的概率为，C选项正确；
对于D选项，个球中恰有个红球的概率，D选项正确.
故选：ACD.
9．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）城区某道路上甲、乙、丙三处设有信号灯，汽车在这三处因遇绿灯而通行的概率分别为，，则汽车在这三处因遇红灯或黄灯而停车一次的概率为________．
【答案】
【详解】∵设汽车分别在甲乙丙三处的通行为事件，停车为，
∴，，，
∵停车一次即为事件，
∴所求概率为：．
故答案为: .
10．（2022·全国·高二学业考试）计算机考试分理论考试与实际操作两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则计算机考试“合格”，并颁发合格证书甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为，，，在实际操作考试中“合格”的概率依次为，，，所有考试是否合格相互之间没有影响.
（1）假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试，谁获得合格证书的可能性最大？
（2）这三人进行理论与实际操作两项考试后，求恰有两人获得合格证书的概率.
【答案】（1）丙；（2）
【详解】（1）设“甲获得合格证书”为事件A，“乙获得合格证书”为事件B，“丙获得合格证书”为事件C，则，，.
因为，所以丙获得合格证书的可能性最大.
（2）设“三人考试后恰有两人获得合格证书”为事件D，则.
9.3概率实战
一、单选题
1．（2021·贵州·高二学业考试）从甲、乙、丙三名候选人中任选两人参加党史知识竞赛，则乙被选中的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：从甲、乙、丙三名候选人中任选两人参加党史知识竞赛，
共有（甲，乙），（甲，丙），（乙，丙）3种选法，
其中乙被选中有2种选法，
故乙被选中的概率为.
故选：C.
2．（2021·北京·高二学业考试）《北京2022年冬奥会——冰上运动》纪念邮票一套共有5枚，邮票图案名称分别为：短道速滑、花样滑冰、速度滑冰、冰壶、冰球.小冬买了一套该种纪念邮票，准备随机送给小冰等5位同学，每人1枚，则小冰收到邮票的图案名称是短道速滑的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：依题意，任何一位同学收到短道速滑图案的邮票概率都为，
故选：C
3．（2021·福建·高三学业考试）根据防疫要求，需从名男医生和名女医生中任选名参加社区防控服务，则选中的名都是男医生的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：将名男医生记为，，名女医生记为
从名男医生和名女医生中任选名参加社区防控服务，所有可能情况有：
，，共种
选中的名都是男医生的情况为：，共种
所以选中的名都是男医生的概率为：.
故选：B.
4．（2021·山东·高三学业考试）从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（ ）
A．至少有一个白球与都是红球 B．恰好有一个白球与都是红球
C．至少有一个白球与都是白球 D．至少有一个白球与至少一个红球
【答案】B
【详解】解：对于A，事件：“至少有一个白球”与事件：“都是红球”不能同时发生，但是对立，故A错误；
对于B，事件：“恰好有一个白球”与事件：“都是红球”不能同时发生，但从口袋内任取两个球时还有可能是两个都是白球，
所以两个事件互斥而不对立，故B正确；
对于C，事件：“至少有一个白球”与事件：“都是白球”可以同时发生，所以这两个事件不是互斥的，故C错误；
对于D，事件：“至少有一个白球”与事件：“至少一个红球”可以同时发生，即“一个白球，一个红球” ，所以这两个事件不是互斥的，故D错误.
故选：B.
5．（2021·北京·高二学业考试）掷一枚均匀的骰子，观察朝上的面的点数.记事件 “点数为奇数”，事件 “点数大于4”，则事件（ ）
A．“点数为3” B．“点数为4”
C．“点数为5” D．“点数为6”
【答案】C
【详解】由题意，可知，，
即事件“点数为5”
故选：C
6．（2021·天津红桥·高一学业考试）一个袋子装有四个形状、大小完全相同的球，球的编号分别为1、2、3、4，从袋中随机抽取两个球，则取出的球的编号之和等于5的概率为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：从编号为1、2、3、4的4个球中随机抽取两个球，其可能结果有，，，，，共6个，其中满足编号之和等于5的有，共2个，
所以取出的球的编号之和等于5的概率
故选：B
7．（2021·湖北·高二学业考试）中国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”．如4＝2＋2，6＝3＋3，8＝3＋5，…，现从3，5，7，11，13这5个素数中，随机选取两个不同的数，其和等于16的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：从3，5，7，11，13这5个素数中，随机选取两个不同的数共有钟可能，
其和等于16的结果（3，13），（5，11）2种等可能的结果，
所以概率.
故选：B.
8．（2021·辽宁大连·高三学业考试）掷一个骰子的试验，事件表示“出现小于5的偶数点”，事件表示“出现小于5的点数”.若表示的对立事件，则一次试验中，事件发生的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】掷一个骰子的试验有6种可能结果．
依题意，，，
因为表示“出现5点或6点”的事件，表示“出现小于5的偶数点”，
所以与互斥，
故.
故选：C
9．（2021·贵州·高二学业考试）掷一枚均匀的硬币，如果连续抛掷1000次，那么第999次出现正面向上的概率是
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】每一次出现正面朝上的概率相等都是，故选D.
二、填空题
10．（2021·贵州·高二学业考试）从1，2，3，4，5这五个数中任取一个数，则取到的数是偶数的概率为_____.
【答案】
【详解】由已知1，2，3，4，5这五个数中，
偶数为2，4，所以偶数的概率为，
故答案为：.
11．（2021·山东·高三学业考试）一张方桌有四个座位，先坐在如图所示的座位上，，，三人随机坐到其他三个位置上，则与相邻的概率为___________.
【答案】
【详解】，，三人随机坐到其他三个位置上，共有种等可能情况，
要使与不相邻，则必坐在的对面，此时与的坐法共有2种情况，
所以根据古典概型求概率公式可知与相邻的概率为.
故答案为：
三、解答题
12．（2021·湖南省邵东市第三中学高二学业考试）某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这 50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为
（1）求频率分布图中的值，并估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；
（2）从评分在的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在 的概率.
【答案】（1）; （2）
试题解析：（1）由频率分布直方图知，
所以.
该企业的职工对该部分评分不低于80的概率为.
（2）受访职工中评分在的有：人，记为a，b，c；受访职工中评分在的有：人，记为A，B，从这5名受访职工中随机抽取2人，所有的可能结果有10种，分别为：{a，b}，{a，c}，{a，A}，{a，B}，{b，c}，{b，A}，{b，B}，{c，A}，{c，B}，{A，B}，此2人评分都在包含的基本事件有{a，b}，{a，c}，{b，c}，共3个，
∴从评分在的受访职工中，随机抽取2人，此2人评分都在的概率.
13．（2021·广西·高二学业考试）为了庆祝中国共产党百年华诞，某学校党支部举行了党史学习教育知识竞赛，其中甲、乙两个小组各选拔7名党员参赛，参赛党员的成绩用茎叶图表示如下：
(1)已知甲小组的平均数是87，乙小组的中位数是88，求x，y的值；
(2)若从甲、乙两个小组成绩在90分以上的党员中抽取2人参加市级比赛，求这2人来自不同的小组的概率.
【答案】(1)；；
(2).
(1)
∵甲小组的平均数是87，
∴，
∴，又乙小组的中位数是88，
∴；
(2)
由题可知甲小组成绩在90分以上的党员有3人，设为，
乙小组成绩在90分以上的党员有3人，设为，
则从这6人中抽取2人，
包括
共15种，
其中这2人来自不同的小组的有共9种，
故2人来自不同的小组的概率为.
14．（2021·辽宁大连·高三学业考试）在抗击新冠肺炎疫情期间，某校开展了“名师云课”活动，活动自开展以来获得广大家长和学生的高度关注.在“名师云课”中，数学学科共计推出72节云课，为了更好地将课程内容呈现给学生，现随机抽取某一时段数学学科的云课点击量进行统计：
点击量
[0,700]
（700,1400]
（1400,2100]
节数
12
36
24
(1)现从数学学科72节云课中采用分层抽样的方式选出6节，求选出云课的点击量在（700,1400]内的节数；
(2)为了更好地搭建云课平台，现将数学学科云课进行剪辑，若点击量在 [0,700]内，则需要花费40分钟进行剪辑，若点击量在（700,1400]内，则需要花费20分钟进行剪辑，若点击量在（1400,2100]内，则不需要剪辑.现从（1）问选出的6节课中任意选出2节课进行剪辑，求剪辑时间为60分钟的概率.
【答案】(1)3；
(2).
(1)
设选出云课的点击量在内的节数为n，按分层抽样，解得n=3.
(2)
按分层抽样，由点击量分别在、、节数比为12:36:24=1:3:2
所以6节课中，选出云课点击量在、、节数分别为1、3、2，点击量在的一节课设为，点击量在设为， 点击量在的设为，
又由题知选出2节课剪辑时间为60分钟的选法是选出一节点击量在内，另一节在内，共3种选法，为，，，其中从6节课中任意选出2节课进行剪辑共15种选法，分别为，，，，，，，，，，，，，，
所以，剪辑时间为60分钟的概率为.
15．（2021·天津河东·高二学业考试）一个口袋内装有大小相同的6个小球，其中2个红球记为，，4个黑球记为，，，，从中一次摸出2个球.
（1）写出这个试验的样本空间及样本点总数；
（2）求摸出的2个球颜色不同的概率.
【答案】（1）答案见解析；（2）.
【详解】（1）这个试验的样本空间：，共15个样本点.
（2）由15个样本点出现的可能性是相等的，且事件“2个球颜色不同”包含的样本点有，，，，，，，，共8个，∴所求事件的概率.
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