01第一章 集合与常用逻辑用语——2023年高中数学学业水平考试专项精讲+测试（人教A版2019，新教材地区）

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第一章 集合与常用逻辑用语
1.1集合；
1.2常用逻辑用语
1.3集合与常用逻辑用语实战





1.1集合
知识回顾
1、元素与集合
（1）集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.
（2）元素与集合的关系：属于 或 不属于，数学符号分别记为：和.
（3）集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图（图）.
（4）常见数集和数学符号
数集
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号

或



①确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的；也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.给定集合，可知,在该集合中，,不在该集合中；
②互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的；也就是说，集合中的元素是不重复出现的.
集合应满足.
③无序性：组成集合的元素间没有顺序之分。集合和是同一个集合.
④列举法
把集合的元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法.
⑤描述法
用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法.
具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.
2、集合间的基本关系
（1）子集（subset）：一般地，对于两个集合、，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集 ，记作（或），读作“包含于”（或“包含”）.
（2）真子集（proper subset）：如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集，记作（或）.读作“真包含于 ”或“真包含 ”.
（3）相等：如果集合是集合的子集（，且集合是集合的子集（），此时，集合与集合中的元素是一样的，因此，集合与集合相等，记作.
（4）空集的性质： 我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作；是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
3、集合的基本运算
（1）交集：一般地，由属于集合且属于集合的所有元素组成的集合，称为与的交集，记作，即．
（2）并集：一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合，称为与的并集，记作，即．
（3）补集：对于一个集合，由全集中不属于集合的所有元素组成的集合称为集合相对于全集的补集，简称为集合的补集，记作，即．
高频考点
高频考点一：集合的含义与表示
1．（2022·广西·高二学业考试）已知M是由1，2，3三个元素构成的集合，则集合M可表示为（    ）
A．{x|x=1} B．{x|x=2} C．{1，2} D．{1，2，3}
【答案】D
【详解】由于集合是由三个元素构成，
所以.
故选：D
2．（2022·江苏·金陵中学高三学业考试）已知集合，集合，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】，，
,
故选：C
3．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）集合，用列举法可以表示为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：因为，可得；
所以.
故选：C
高频考点二：集合间的基本关系
1．（2021·辽宁大连·高三学业考试）已知集合，则有（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】集合．
对于不对．
对于对；
对于不对；
对于不对．
故选：．
2．（2022·全国·高一学业考试）已知集合，则集合的真子集的个数为（    ）
A．7 B．8 C．15 D．16
【答案】A
【详解】解：由题意得：
，
其真子集有：，，，，，，，共7个．
故选：A．
3．（2022·浙江·慈溪市三山高级中学高二学业考试）已知集合， 若， 则 （    ）
A．3 B．4 C． D．
【答案】D
【详解】解：因为且，
所以，且，
又，
所以和为方程的两个实数根，
所以；
故选：D
高频考点三：集合的基本运算
1．（2022·浙江·高三学业考试）已知集合，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由子集定义，可知.
故选：C
2．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）已知全集，设集合，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】，所以．
故选：A.
3．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）已知全集，若，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意得全集，若，
则，
故选:C
4．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）已知集合，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】.
故选：A.
5．（2022·贵州·高二学业考试）已知集合，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由得，.
故选：A.
6．（2022·福建·上杭一中高二学业考试）设全集，已知集合，则如图所示的阴影部分的集合等于（    ）

A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为，阴影部分表示的集合为，
故选：B
7．（2022·全国·高一学业考试）已知集合A＝， ．
(1)当m＝1时，求AB，(A)B；
(2)若AB＝A，求实数m的取值范围．
试从以下两个条件中任选一个补充在上面的问题中，并完成解答．
① 函数的定义域为集合B；② 不等式的解集为B．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)；
(2)
（1）选条件①：（1）当时，，选条件②：此时集合与①相同，其余答案与①一致；
（2）若，则当时，，解得当时，，即，解得综上，实数m的取值范围为
1.2常用逻辑用语
知识回顾
1、充分条件、必要条件与充要条件的概念
（1）若，则是的充分条件，是的必要条件；
（2）若且，则是的充分不必要条件；
（3）若且，则是的必要不充分条件；
（4） 若，则是的充要条件；
（5）若且，则是的既不充分也不必要条件.
2、全称量词与存在量词
（1）全称量词
短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示.
（2）存在量词
短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示.
（3）全称量词命题及其否定
①全称量词命题：对中的任意一个，有成立；数学语言：.
②全称量词命题的否定：.
（4）存在量词命题及其否定
①存在量词命题：存在中的元素，有成立；数学语言：.
②存在量词命题的否定：.
高频考点
高频考点一：充分条件与必要条件
1．（2022·福建·上杭一中高二学业考试）下列有关命题的说法正确的是（    ）
A．命题“存在，”的否命题是：“存在，”
B．“”是“”的必要不充分条件
C．命题“存在，使得”的否定是：“任意，均有”
D．命题“若，则”的为真命题
【答案】D
【详解】A选项，命题“存在，”的否命题是：“不存在，”，所以A选项错误.
B选项，，或，
所以“”是“”的充分不必要条件，B选项错误.
C选项，命题“存在，使得”的否定是：“任意，均有”，所以C选项错误.
D选项，命题“若，则”的逆否命题为：“若，则”，
这是一个真命题，所以原命题也是真命题，所以D选项正确.
故选：D
2．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）“0 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
【答案】A
【详解】解：“0 “”成立时，“0 所以“0 故选：A
3．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）设，则“”是“”的（    ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
【答案】B
【详解】解：因为，故由可得或，
由，可得，故“”是“”必要不充分条件.
故选：B.
4．（2022·全国·高一学业考试）条件p：－2 A．(4，＋∞) B．(－∞，－4) C．(－∞，－4] D．[4，＋∞)
【答案】B
【详解】因为q是p的必要而不充分条件
所以，
所以，即，答案选B．
5．（2022·全国·高一学业考试）已知集合，．
(1)若a＝1，求；
(2)给出以下两个条件：①A∪B＝B；②““是“”的充分不必要条件．
在以上两个条件中任选一个，补充到横线处，求解下列问题：
若_____________，求实数a的取值范围．（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
【答案】(1)
(2)
（1）当时，集合，因为，
所以；
（2）若选择①，则由A∪B＝B，得．
当时，即，解得，此时，符合题意；
当时，即，解得，所以，解得：；
所以实数的取值范围是．
若选择②，则由““是“”的充分不必要条件，得A⫋B．
当时，，解得，此时A⫋B，符合题意；
当时，，解得，所以且等号不同时取，解得；
所以实数的取值范围是．
高频考点二：全称量词与存在量词
1．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）命题：“，”的否定是（   ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【详解】全称命题的否定是特称命题，
命题：“，”的否定是：，．
故选：B
2．（2022·浙江·太湖高级中学高二学业考试）命题“，”的否定是（    ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【详解】解：命题“，”为存在量词命题，其否定为：，；
故选：C
3．（2022·安徽师范大学附属中学高一学业考试）已知命题，，则是（    ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【详解】命题为全称命题，该命题的否定为，，
故选：D.
4．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）已知命题，则的否定是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】因为特称命题的否定是全称命题，
所以的否定是：.
故选：C
5．（2022·浙江·高三学业考试）已知函数，，若对，，使得，则实数的取值范围为______.
【答案】
【详解】因为若对，，使得，
所以，
因为的对称轴为，
所以，
因为，，
所以
所以，
即
所以
6．（2022·浙江·高三学业考试）已知函数，若存在实数，使得成立，则实数的取值范围是_______.
【答案】
【详解】因为，
所以可化为：
，
整理得：，
将代入上式整理得：，
令，，则，不等式可化为：
，，
所以存在实数，使得成立可转化成：
存在，使得成立，
由函数，可得：，
所以，解得：.
1.3集合与常用逻辑用语实战
一、单选题
1．（2022·江苏·海安市曲塘中学高一开学考试）下列各组对象不能构成集合的是（    ）
A．上课迟到的学生 B．小于π的正整数
C．2022年高考数学试卷上的难题 D．所有有理数
【答案】C
【详解】上课迟到的学生属于确定的互异的对象，所以能构成集合；
小于的正整数分别为，所以能够组成集合；
2022年高考数学试卷上的难题界定不明确，所以不能构成集合；
任意给一个数都能判断是否为有理数，所以能构成集合.
故选：C.
2．（2022·湖南·永兴县童星学校高一阶段练习）下列结论不正确的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：由表示自然数集，知，故A正确；
由表示有理数集，知，故B正确；
由表示实数集，知，故C错；
由表示整数集，知，故D正确.
故选：C
3．（2022·全国·高一课时练习）以下五个写法中：①；② ；③；④ ；⑤；正确的个数有（    ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】B
【详解】对于①：是集合与集合的关系，应该是，①不对；
对于②：空集是任何集合的子集，，②对；
对于③：是一个集合，是集合与集合的关系，，③不对；
对于④：根据集合的无序性可知，④对；
对于⑤：是空集，表示没有任何元素，应该是，⑤不对；
正确的是：②④．
故选：B．
4．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）命题“，”的否定为（    ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【详解】全称命题的否定为特称命题,
“，”的否定为“，”.
故选：C.
5．（2022·湖南·怀化市辰溪博雅实验学校高二学业考试）设全集，，（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为全集，，
所以.
故选：C
6．（2022·福建·高二学业考试）已知集合，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：因为集合，
所以，
故选：A.
7．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）设，则“”是“”的（    ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】由于不等式的解集为，则可推出，反之不成立，
所以“”是“”的充分而不必要条件．
故选：A.
8．（2022·广西河池·模拟预测（理））设集合M={5，x2}，N={5x，5}．若M=N，则实数x的值组成的集合为（    ）
A．{5} B．{1} C．{0，5} D．{0，1}
【答案】C
【详解】解：因为，
所以，
解得或，
的取值集合为，
故选：C
9．（2022·全国·高一学业考试）命题“，”的否定为（    ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【详解】根据全量词命题的否定为存在量词命题，可得命题“”的否定为“”.
故选: C.
10．（2022·全国·高一课时练习）设计如图所示的四个电路图，则能表示“开关A闭合”是“灯泡B亮”的必要不充分条件的一个电路图是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
合C闭合，灯泡B也亮，即“开关A闭合”是“灯泡B亮”的充分不必要条件；
对于B，灯泡B亮当且仅当开关A闭合，即“开关A闭合”是“灯泡B亮”的充要条件；
对于C，开关A闭合，灯泡B不一定亮，而开关A不闭合，灯泡B一定不亮，即“开关A闭合”是“灯泡B亮”的必要不充分条件；
对于D，开关A闭合与否，只要开关C闭合，灯泡B就亮，“开关A闭合”是“灯泡B亮”的既不充分也不必要条件．
故选：C
二、多选题
11．（2022·宁夏·银川二中高一阶段练习）已知集合，，集合A与的关系如图，则集合可能是（    ）

A． B． C． D．
【答案】BD
【详解】由图知：，，根据选项可知或．
故选：BD.
12．（2022·全国·高一单元测试）已知集合，若，则的取值可以是（    ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】AB
【详解】解：因为，所以Ü，所以或；
故选：AB
13．（2022·江苏·高一课时练习）（多选）下列命题的否定中，是全称量词命题且为真命题的是（    ）
A．， B．所有的正方形都是矩形
C．， D．至少有一个实数x，使
【答案】AC
【详解】A.原命题的否定为：，，是全称量词命题；因为，所以原命题的否定为真命题，所以该选项符合题意；
B. 原命题为全称量词命题，其否定为存在量词命题. 所以该选项不符合题意；
C. 原命题为存在量词命题，所以其否定为全称量词命题，对于方程，，所以，所以原命题为假命题，即其否定为真命题，所以该选项符合题意；.
D. 原命题的否定为：对于任意实数x，都有，如时，，所以原命题的否定不是真命题，所以该选项不符合题意.
故选：AC
14．（2022·江苏·高一单元测试）命题“∀1≤x≤3，－a≤0”是真命题的一个充分不必要条件是（    ）
A．a≥9 B．a≥11 C．a≥10 D．a≤10
【答案】BC
【详解】由得，因为命题为真，所以，记为，因为要求命题为真的充分不必要条件，所以所选答案中a的范围应为集合A的真子集.
故选：BC
三、填空题
15．（2022·全国·高一学业考试）若命题p是命题“”的充分不必要条件，则p可以是___________.（写出满足题意的一个即可）
【答案】，（答案不唯一）.
【详解】因为当时，一定成立，
而当时，可能，可能，
所以是的充分不必要条件，
故答案为：（答案不唯一）
16．（2022·江西·修水中等专业学校模拟预测）用列举法表示______．
【答案】
【详解】解：因为且，所以或或或，
解得或或或，
所以对应的分别为、、、，
即；
故答案为：
17．（2022·重庆·临江中学高三开学考试）已知集合，，若是假命题，则实数a的取值范围是______．
【答案】
【详解】若是真命题，则，
∴当是假命题时，．
故答案为：.
18．（2022·全国·高一课时练习）已知命题“，”是假命题，则实数a的取值范围是________.
【答案】
【详解】由题意得，“，”是真命题，
则对恒成立，
在区间上，的最小值为，
所以，
即a的取值范围是.
故答案为：