2023年辽宁省普通高中学业水平合格性考试数学押题卷（三）

2023年辽宁省普通高中学业水平合格性考试押题卷（三）

数学

（本试卷分第I卷和第II卷两部分，满分100分，考试时间90分钟）

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（共36分）

一、单选题：本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是复合题目要求的。

1．已知复数 的实部和虚部分别为 和 4， 则实数 和 的值分别是 （    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据给定条件，利用复数的概念列式计算作答.

【详解】，复数 的实部和虚部分别为 和 4，

因此，解得，

所以实数 和 的值分别是.

故选：D

2．“”是“，”的（    ）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．既非充分也费必要条件

【答案】B

【分析】根据推出关系可直接判断出结果.

【详解】或，，；，，

“”是“，”的必要非充分条件.

故选：B.

3．已知集合，，则（    ）

A． B． C．， D．

【答案】D

【分析】根据已知条件及交集的定义即可求解.

【详解】由题意可知，解得，

所以.

故选：D.

4．已知，，与的夹角为，则（    ）．

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】B

【分析】先根据诱导公式结合向量模的坐标运算求得，再根据向量的夹角公式结合向量数量积的运算律运算求解.

【详解】因为，

所以，

又，与的夹角为，

所以，解得.

故选：B．

5．已知函数有两个不同零点，则实数a的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】将已知转化为方程有两个不同的根，令，转化为有两个不同的根，等价于函数与有两个不同的交点，数形结合可得解.

【详解】函数有两个不同零点，等价于方程有两个不同的根，

即方程有两个不同的根，

令，则转化为有两个不同的根，

等价于函数与有两个不同的交点，

作出两个函数的图像，如下图

数形结合可知，实数a的取值范围为

故选：C

6．已知角的终边过点，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据三角函数定义可求得，再利用诱导公式即可求得结果.

【详解】由已知可得，

由诱导公式可知，；

故选：C.

7．已知直线、，平面、，满足且，则“”是“”的（    ）条件

A．充分非必要 B．必要非充分条 C．充要 D．既非充分又非必要

【答案】A

【分析】利用空间中的垂直关系和充分条件、必要条件的定义进行判定.

【详解】因为，所以，

又因为，所以，

即“”是“”的充分条件；

如图，在长方体中，设面为面、面为面，

则，且与面不垂直，

即“”不是“”的必要条件；

所以“”是“”的充分不必要条件.

故选：A.

8．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】判断单调性和奇偶性得到A正确，根据单调性排除BD，根据奇偶性排除C，得到答案.

【详解】对选项A：函数定义域为，，，函数为偶函数，当时，函数单调递增，满足；

对选项B：当时，，函数单调递减，排除；

对选项C：的定义域为，是非奇非偶函数，排除；

对选项D：当时，单调递减，排除.

故选：A.

9．采购经理指数（PMI），是通过对企业采购经理的月度调查结果统计汇总、编制而成的指数，它涵盖了企业采购、生产、流通等各个环节，包括制造业和非制造业领域，是国际上通用的检测宏观经济走势的先行指数之一，具有较强的预测、预警作用．制造业PMI高于时，反映制造业较上月扩张；低于，则反映制造业较上月收缩．下图为我国2021年1月—2022年6月制造业采购经理指数（PMI）统计图．

根据统计图分析，下列结论最恰当的一项为（    ）

A．2021年第二、三季度的各月制造业在逐月收缩

B．2021年第四季度各月制造业在逐月扩张

C．2022年1月至4月制造业逐月收缩

D．2022年6月PMI重回临界点以上，制造业景气水平呈恢复性扩张

【答案】D

【分析】根据题意，将各个月的制造业指数与比较，即可得到答案.

【详解】对于A项，由统计图可以得到，只有9月份的制造业指数低于，故A项错误；

对于B项，由统计图可以得到，10月份的制造业指数低于，故B项错误；

对于C项，由统计图可以得到，1、2月份的制造业指数高于，故C项错误；

对于D项，由统计图可以得到，从4月份的制造业指数呈现上升趋势，且在2022年6月PMI超过，故D项正确.

故选：D.

10．在空间四边形ABCD中， M，G分别是BC， CD的中点，则 （    ）

A． B．2 C．3 D．3

【答案】D

【分析】利用中位线的性质可以得出：，然后利用向量的线性运算即可求解.

【详解】因为M，G分别是BC， CD的中点，由三角形中位线的性质可得：，

又因为，所以，

故选：.

11．将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，则的值可以是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先化简，再得到平移后的解析式，即可得到，逐个检验即可得出答案.

【详解】因为.

将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，

所以有，所以，

所以有，.

对于A项，令，即，解得，A项错误；

对于B项，令，即，解得，B项正确；

对于C项，令，即，解得，C项错误；

对于D项，令，即，解得，D项错误.

故选：B.

12．设，则a，b，c的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据指数函数、幂函数和对数函数的单调性可得出，，然后即可得出，，的大小关系

【详解】，，

．

故选：D．

第II卷 非选择题（共64分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分。要求直接写出答案，不必写出计算过程或推证过程。

13．若不等式的解集为，则实数的取值范围是______．

【答案】

【分析】考虑与两种情况，根据根的判别式得到不等式，求出实数的取值范围.

【详解】当时，，满足要求，

当时，要想满足解集为R，

则要，解得：，

综上：实数的取值范围是.

故答案为：

14．已知 ， 且 ， 则 与 的夹角 的余弦值 ______________________________．

【答案】##-0.5

【分析】利用，得到，根据，列出方程，可求出.

【详解】，，得

，

解得

故答案为：

15．一个正方体，它的表面涂满了红色，把它切割成27个完全相等的小正方体，从中任取1个，恰有两面涂有红色的概率为______.

【答案】

【分析】根据古典概型的概率计算公式求得正确答案.

【详解】原正方体每条棱上有个小正方体的两面涂有红色，

所以共有个小正方体的两面涂有红色，

所以恰有两面涂有红色的概率为.

故答案为：

16．已知m、n是不同的直线，是不重合的平面，给出下列命题：

①若，则；

②若，则；

③若，则；

④m，n是两条异面直线，若，则．

上面的命题中，真命题的序号是____________．（写出所有真命题的序号）

【答案】③④

【分析】利用平面与平面平行的判定和性质可判断各命题的真假．

【详解】若，则m与n平行或异面，故①错误；

，但m与n不一定相交，不一定成立，故②错误；

若，则，又由，则，故③正确；

m，n是两条异面直线，若，则过m的平面与平面相交于直线，有，过n的平面与平面相交于直线，有，m，n异面，一定相交，，如图所示，

由面面平行的判定可知，故④正确；

故答案为：③④

三、解答题：共5题，共52分。

17．（10分）已知函数．

(1)试判断函数在上的单调性，并给予证明；

(2)试判断函数在上的最大值和最小值．

【答案】(1)函数在上是增函数，证明见解析

(2)最大值是，最小值是

【分析】（1）判定函数的单调性并用定义证明出来；

（2）由函数的单调性求出在上的最值．

【详解】（1）∵，

∴函数在上是增函数，

证明：任取，，且，

则

，

∵，∴，，

∴，即，

∴在上是增函数；

（2）∵在上是增函数，

∴在上单调递增，

它的最大值是，

最小值是.

18．（10分）如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，，点是的中点.

求证：

(1)平面；

(2).

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）利用线面垂直的判定定理即可得证；

（2）结合（1）中结论及线面垂直的判定定理证得平面，从而得证.

【详解】（1）∵底面为矩形，∴，

∵底面，底面，∴，

又∵，平面，

∴平面.

（2）∵平面，平面，∴，

∵，是的中点，∴，

又∵，平面，∴平面，

∵平面，∴.

19．（10分）某城市户居民的月平均用电量（单位：度），以，，，，，，分组的频率分布直方图如图．

（1）求直方图中的值；

（2）求月平均用电量的众数和中位数；

（3）在月平均用电量为，，，的四组用户中，用分层抽样的方法抽取户居民，则月平均用电量在的用户中应抽取多少户？

【答案】（1）；（2），；（3）．

【详解】试题分析：（1）由直方图的性质可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20=1，解方程可得；（2）由直方图中众数为最高矩形上端的中点可得，可得中位数在[220，240）内，设中位数为a，解方程（0.002+0.0095+0.011）×20+0.0125×（a-220）=0.5可得；（3）可得各段的用户分别为25，15，10，5，可得抽取比例，可得要抽取的户数

试题解析：(1)由直方图的性质可得(0.002＋0.0095＋0.011＋0.0125＋x＋0.005＋0.0025)×20＝1得：

x＝0.0075，所以直方图中x的值是0.0075. ------------- 3分

(2)月平均用电量的众数是＝230. ------------- 5分

因为(0.002＋0.0095＋0.011)×20＝0.45<0.5，所以月平均用电量的中位数在[220,240)内，

设中位数为a，

由(0.002＋0.0095＋0.011)×20＋0.0125×(a－220)＝0.5

得：a＝224，所以月平均用电量的中位数是224. ------------ 8分

(3)月平均用电量为[220,240)的用户有0.0125×20×100＝25户，

月平均用电量为[240,260)的用户有0.0075×20×100＝15户，

月平均用电量为[260,280)的用户有0. 005×20×100＝10户，

月平均用电量为[280,300]的用户有0.0025×20×100＝5户， -------------10分

抽取比例＝＝，所以月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取25×＝5户．-- 12分

考点：频率分布直方图及分层抽样

20．（10分）记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，.

（1）证明：；

（2）若，求.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】（1）根据正弦定理的边角关系有，结合已知即可证结论.

（2）方法一：两次应用余弦定理，求得边与的关系，然后利用余弦定理即可求得的值.

【详解】（1）设的外接圆半径为R，由正弦定理，

得，

因为，所以，即．

又因为，所以．

（2）[方法一]【最优解】：两次应用余弦定理

因为，如图，在中，，①

在中，．②

由①②得，整理得．

又因为，所以，解得或，

当时，（舍去）．

当时，．

所以．

[方法二]：等面积法和三角形相似

如图，已知，则，

即，

而，即，

故有，从而．

由，即，即，即，

故，即，

又，所以，

则．

[方法三]：正弦定理、余弦定理相结合

由（1）知，再由得．

在中，由正弦定理得．

又，所以，化简得．

在中，由正弦定理知，又由，所以．

在中，由余弦定理，得．

故．

[方法四]：构造辅助线利用相似的性质

如图，作，交于点E，则．

由，得．

在中，．

在中．

因为，

所以，

整理得．

又因为，所以，

即或．

下同解法1．

[方法五]：平面向量基本定理

因为，所以．

以向量为基底，有．

所以，

即，

又因为，所以．③

由余弦定理得，

所以④

联立③④，得．

所以或．

下同解法1．

[方法六]：建系求解

以D为坐标原点，所在直线为x轴，过点D垂直于的直线为y轴，

长为单位长度建立直角坐标系，

如图所示，则．

由（1）知，，所以点B在以D为圆心，3为半径的圆上运动．

设，则．⑤

由知，，

即．⑥

联立⑤⑥解得或（舍去），，

代入⑥式得，

由余弦定理得．

【整体点评】(2)方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题；

方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路；

方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路；

方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择；

方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起；

方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化.

21．（12分）已知，，（，）.

(1)求关于的表达式，并求的最小正周期；

(2)若当时，求的单调递增区间；

(3)若当时，的最小值为7，求的值.

【答案】(1)；

(2)和，.

(3)

【分析】(1)首先化简函数，根据公式求周期；

(2)由（1）可知，令，解之，结合即可求解；

(3)根据（1）可知先求的范围，求出函数的最小值，进而求出结果.

【详解】（1）因为，，

所以，

所以函数的最小正周期,

（2）由（1）知：，

令，解得：，

又因为，所以和，，

得到：和，，

所以函数在区间的单调增区间为和，.

（3）当时，，

所以，所以，

因为函数的最小值为7，所以，则，

所以的值为.