2023年3月辽宁省普通高中学业水平合格性考试数学模拟卷（一）

2023年3月辽宁省普通高中学业水平合格性考试

数学仿真模拟试卷A

第I卷（共36分）

一、单选题：本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是复合题目要求的。

1．已知集合，，则（     ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用一元二次不等式化简集合B，然后利用交集的运算即可求解

【详解】因为，又，

所以，

故选：C.

2．已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由三角函数的定义可得，，然后根据二倍角公式即可得出答案.

【详解】根据三角函数的定义可得，，，

所以，.

故选：D.

3．设是定义在上的偶函数，当时，，则（    ）

A． B． C．1 D．

【答案】C

【分析】根据函数的奇偶性及函数解析式求解.

【详解】因为是定义在上的偶函数，

所以，

又当时，，

所以.

故选：C

4．已知命题：，，则是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【分析】根据存在量词命题的否定判断即可.

【详解】：，.

故选：C.

5．定义在上的函数满足，则（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】C

【分析】利用给定函数可得，结合解析式及对数运算求函数值即可.

【详解】由题设，当时，，即当时，函数的值每隔3个单位重复出现，

则.

故选：C

6．若平面向量与的夹角为60°， ,，则等于（    ）.

A． B． C．4 D．12

【答案】B

【分析】先根据数量积的定义求出 ，再根据模的计算法则求 .

【详解】由题意 ， ，

；

故选：B.

7．如图所示，在正方体中，是底面正方形的中心，是的中点，是的中点，则下列说法正确的是（    ）

A．直线与异面且垂直 B．直线与异面且不垂直

C．直线与相交且不垂直 D．直线与平行

【答案】A

【分析】由题意，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，取空间向量，由数量积的结果，可得直线与是否垂直，然后通过异面的判定可得直线与是否异面.

【详解】根据题意，以点A为原点，分别以AB，AD，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，作图如下：

设正方体的棱长为，

则O（，，0），N（，0，），A（0，0，0），M（0，，），

取，

由，

则，即ON⊥AM．

取的中点，连接，其中交于，如图：

明显，又，

，

即四点共面，

面，面，，

直线与异面，

直线与异面且垂直

故选：A.

8．已知函数图象的一条对称轴和一个对称中心的最小距离为，则下列区间中单调递增的是（    ）．

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】求出最小正周期，进而得到，利用整体法求解单调递增区间，得到答案.

【详解】设的最小正周期为，

由题意得：，解得，

因为，所以，

所以，

令，解得：，

当时，，B正确；

当时，，当时，，

故其他选项，均不满足要求.

故选：B

9．已知幂函数的图象经过原点，则（    ）

A．－1 B．1 C．3 D．2

【答案】C

【分析】令求解，再根据函数图象经过原点判断.

【详解】解：令，解得或.

当时，的图象不经过原点.

当时，的图象经过原点.

故选：C

10．已知各棱长均相等的直棱柱，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】通过平行关系平移异面直线相交，解三角形即可.

【详解】如图所示，连接交于点，取的中点为，

连接、，则且，

为异面直线与所成的角或补角.

已知各棱长均相等,

设棱长为：2，

则有：，，

,

在中，，

所以异面直线与所成角的余弦值为：.

故选：A.

11．一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4．从袋中随机抽取两个球，那么取出的球的编号之和不大于4的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用列举法列出所有可能情况，再根据古典概型的概率公式计算可得；

【详解】从编号为1、2、3、4的4个球中随机抽取两个球，

其可能结果有，，，，，共6个，

其中满足编号之和不大于4的有，共2个，

所以取出的球的编号之和不大于4的概率

故选：

12．的内角、、的对边分别为、、，已知，，的面积为，则等于（    ）

A．4 B． C． D．

【答案】D

【分析】先利用面积公式求出，再利用余弦定理求出.

【详解】因为，，的面积为，

所以,所以.

由余弦定理得：.

故选：D.

第II卷 非选择题（共64分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分。要求直接写出答案，不必写出计算过程或推证过程。

13．设，则的虚部为________

【答案】

【分析】经计算后再由虚部定义，可得答案·.

【详解】因为，所以的虚部为.

故答案为：.

14．已知向量，若，则__________.

【答案】

【分析】由得，进而可得，即可求解模长.

【详解】解：由得，即，解得，

所以.

故答案为：.

15．设函数则满足的x的取值范围是______．

【答案】

【分析】作出图象，由数形结合结合函数单调性列不等式求解即可.

【详解】函数的图象如图所示，

满足可得或.

解得.

故答案为：.

16．已知函数，则其值域为__________.

【答案】

【分析】根据换元法将函数变为，结合二次函数的单调性即可求解最值,进而求解值域.

【详解】，令，则，，由于在单调递增，在单调递减，故的最小值为，故值域为，

故答案为：

三、解答题（共5题，共52分）

17．（10分）已知函数的部分图象如图所示．

(1)求函数的单调递增区间；

(2)求函数在上的最值．

【答案】(1)

(2)最小值是1，最大值是2．

【分析】（1）根据图象，利用周期公式求得函数解析式，再根据整体思想求解函数的单调区间即可；

（2）根据整体思想，结合正弦函数的图象和性质求解即可.

【详解】（1）由函数图象可得，解得，

又，所以，

所以，

令，

解得，

所以的单调递增区间为．

（2）当时，，

所以，所以，

所以当或即或时，取得最小值，最小值是1，

当即时，取得最大值，最大值是2．

18．（10分）已知向量，.

(1)求与的夹角：

(2)若满足，，求的坐标.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据向量的坐标运算得出、，进而得到它们的模，根据数量积运算公式即可得出夹角的余弦值；

（2）设，表示出.根据向量垂直以及平行的坐标表示可得出，解方程组即可得出结果.

【详解】（1）解：设与的夹角为.

由已知可得，，

则，，，

所以，

又，所以，

所以与的夹角为.

（2）解：设，则.

由（1）知，又，

所以.

又，所以.

联立可得，，

所以.

19．（10分）如图，在正方体中，分别是的中点.

(1)求证：平面；

(2)求证：平面平面.

【答案】(1)证明见解析；

(2)证明见解析.

【分析】（1）连接，证明E是中点，再利用三角形中位线定理及线面平行的判定推理作答.

（2）利用线面垂直的性质及判定证明平面，再利用面面垂直的判定作答.

【详解】（1）在正方体中, 连接，如图，

因为为的中点，则是的中点，而是的中点，

则有，又平面平面，

所以平面.

（2）在正方体中，平面，四边形是正方形，

因此，又，于是平面，而 平面，

所以平面平面.

20．（10分）某地区为了调查年龄区间在岁的居民的上网时间，从该地区抽取了名居民进行调查，并将调查结果按年龄分组，得到的频率分布直方图如图所示.

(1)若用分层抽样的方法进一步从被调查的名居民中抽取60人进行深度调研，则年龄在以及年龄在的居民分别有多少人?

(2)在中抽取4人，中抽取2人，若从这6人中再次随机抽取2人调查浏览新闻的时间，求两人年龄都在上的概率.

【答案】(1)12人，6人

(2)

【分析】（1）利用分层抽样的方法分析即可；

（2）列举出满足事件的事件的基本总数，和找出满足条件的事件数，利用古典概型求解概率即可.

【详解】（1）依题意，各组的比例为1：7：6：4：2，

故抽取的60名居民中，

年龄在的人数为人，

年龄在的人数为人.

（2）记在中的4个人分别为，，，，

在中的2个人分别为，，

则从6人中抽取2人，所有的情况为：

，，，，，，，，，，，，，，共15种；

其中满足条件的有，，，，，共有6种；

故所求概率为是：.

21．（12分）某企业生产某种环保产品月生产量最少为300吨，最多为600吨，月生产成本y（元）与月生产量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为，且每生产一吨产品获利为100元．

(1)该单位每月生产量为多少吨时，才能使每吨的平均生产成本最低？

(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？

【答案】(1)400吨

(2)该单位每月不能获利，国家至少需要补贴35000元才能使该单位不亏损．

【分析】（1）由题意得出每吨平均生产成本为，再由均值不等式求最值即可；

（2）求出每月的获利函数，由二次函数的单调性求出函数最大值，据此可得解.

【详解】（1）由题意可知，

于是得每吨平均生产成本为，

由基本不等式可得：（元），

当且仅当，即时，等号成立，

所以该单位每月生产量为400吨时，才能使每吨的平均生产成本最低．

（2）该单位每月的获利

，

因，函数在区间上单调递减，

从而得当时，函数取得最大值，即，

所以，该单位每月不能获利，国家至少需要补贴35000元才能使该单位不亏损．